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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net (718ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
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641: １３２人目の素数さん [sage] 2016/05/05(木) 16:31:06.33 ID:pY2PAdlC スレ主にピッタリのサイトを挙げよう。正規数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%95%B0 の定義のところを見て、 >Σ を r個の文字の集合（アルファベット）とする。Σ∞ で Σ の元からなる無限列全体の集合を、 >Σ* で有限列全体の集合を表すものとする。これらの集合の元は文字列 (string) とみなす。 >自然数（本記事では 1 以上の整数を意味する）n、Σ∞ の元 S、Σ* の元 w に対し、 >N_S(w,n) で「S の最初の n 個の列に w が現れる回数」を表すものとする。 >例えば、S = 01010101... に対して N_S(010,8) = 3 である。 のところを見て、Σ＝R、r＝card(R)、Σ∞を無限実数列の空間、Σ*を有限実数列の空間 としたときに、lim_{n→+∞}N_S(w,n) がどうなるか考えてみ。 Σ＝R、r＝card(R)、Σ∞が無限実数列の空間、Σ*が有限の実数列の空間 のときは、N_S(w,n) は「無限実数列S の最初の n 個の列に 有限実数列w が現れる回数」となる。 n→+∞ のときは、lim_{n→+∞}N_S(w,n) が、無限実数列Sの最初の無限個の箱にwが入っている回数となる。 有限実数列wはどのように取っても構わない。勿論、wは唯1つの実数としてもよい。 だが、lim_{n→+∞}N_S(w,n)＝0 なので、n→+∞ とすると、最初の無限個の箱に入っていた実数が消えて、 パラドックスが生じる。スレ主はこのような場合を考えていて、スレ主の考えに則って確率を0とすることは不可能。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/641
643: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 17:45:30.94 ID:tEqEfy29 >>641 どうも。スレ主です。 面白いね GJ！ 考えてみるよ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/643
645: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/05/05(木) 17:57:53.01 ID:tEqEfy29 >>641 どうも。スレ主です。 考えてみた が、「数学における正規数（せいきすう、normal number）とは、無限小数表示において数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質を持つ実数である。」とあるよね また、「正規数であることが判明している具体的な数は非常に限られている。例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数はそれぞれ正規数だと信じられているが、その通りか否かは未だ謎である。」とも 一方、時枝記事P36冒頭では、「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.」とある だから、時枝記事では「どんな実数を入れるかはまったく自由」であって、正規数の「無限小数表示において数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質」は、保証できないと思うけど、どうよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/645
654: １３２人目の素数さん [sage] 2016/05/06(金) 04:44:51.53 ID:GuJKcL8E >>645 >が、「数学における正規数（せいきすう、normal number）とは、無限小数表示において数字が >一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質を持つ実数である。」とあるよね そのあとに、 >より正確な定義については「定義」の節を参照のこと。 と書いてあるだろう。そこで、>>641を書いた。具体的な例の1つとして、10進小数で表された実数を 文字と見なし、実数体Rを非可算無限個の10進小数で表された実数全体の集合と見なすことで、 可算無限個の実数を並べるようなことがある。尚、card(R)＝c なので、実数体Rを非可算無限個の 10進小数で表された実数全体の集合と見なすことは出来る。そのようにして>641で挙げた具体例が、 >「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかは >まったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.」 の場合に当たる。具体例を挙げただけである。そのようにしてスレ主の方針に倣い n→+∞ とすると、 lim_{n→+∞}N_S(w,n)＝(+∞)・0＝0 となり、最初から可算無限個の箱の中の実数はすべて消える。このように、 スレ主の方針で考えようとすると、仮定に反して矛盾が生じるので、スレ主の方針では n→+∞ とすることは出来ない。 >時枝記事では「どんな実数を入れるかはまったく自由」であって、正規数の「無限小数表示において >数字が一様に分布しており、数字の列が現れる頻度に偏りがないという性質」は、保証できないと思うけど、どうよ 可算無限個ある箱に実数を入れて出来るような実数列(モドキ)が正規かどうか を考えるときは、このような実数列(モドキ)が正規かどうかを定める必要がある。 有理数のように或る小数点以下の桁の数字の列が循環するような10進正規数を考えることもあれば、 無理数のように小数点以下の桁の数字の列が循環しないような10進正規数を考えることもある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/654
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