現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net

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285: １３２人目の素数さん [sage] 2016/02/28(日) 23:44:46.52 ID:TRx0RPe2

与えられた方程式はh(x)=x^3-6x^2+11x-6=0である。
根をa=1,b=2,c=3とし、一次式V=2a+3b+5cを考える。

[根と係数の関係]
与えられた方程式の左辺は(x-a)で割り切れることから
x^3-6x^2+11x-6 = (x-a)(x^2-(6-a)x+(a^2-6a+11))と書ける。
根と係数の関係からb+c=6-a, bc=a^2-6a+11と書けることに注意する。

[Vの方程式Π{V-ψ(a,b,c)}=0]
>>170のΠ{V-ψ(a,b,c)}=0において、aを固定し、b,cについて置換を取ったものをF(V,a)とする。
このとき（置換を取っているので）b,cについては対称式で表せる。
したがって根と係数の関係を用いれば、Vの多項式F(V,a)の係数はaのみで表せることが分かる。
実際、
F(V,a)={V-(2a+3b+5c)}{V-(2a+3c+5b)}=(V-2a)^2-8(b+c)(V-2a)+15(b+c)^2+4bc
=(V-2a)^2-8(6-a)(V-2a)+15(6-a)^2+4(a^2-6a+11)
=V^2+4aV-48V+7a^2-108a+584
=7a^2+(4V-108)a+V^2-48V+584
とaのみで書ける。
ここでaをxに置き換えれば、F(V,x)=0はaを根にもつxの方程式とみなせる。

[a=f(V)なるfを求める]
Vの置換がすべて異なることから、F(V,x)と与えられた方程式は唯1つの給､通根aをもつ。
したがってh(x)とF(V,x)に互除法を適用すれば最後にはxの一次式で割ることになる。
この一次式からa=f(V)なるfが求まる。実際、h(x)をF(V,x)で割ると余りは
(4V^3+x(9V^2-360V+3579)-258V^2+5504V-38838)/49
となる。これが求める1次式であり、xについて解けば
x=-(4V^3-258V^2+5504V-38838)/(9V^2-360V+3579)≡f(V)であり、a=f(V)を満たす。

[Vの置換を代入する]
>>279の{V1,V2,V3,V4,V5,V6}={23,21,22,18,19,17}に対して、
{f(V1),f(V2),f(V3),f(V4),f(V5),f(V6)}={a,a,b,b,c,c}
となることは容易に確かめられる。

以上

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当然ではあるが、V1,V2,V3,V4,V5,V6は
Vの可約方程式Π{V-ψ(a,b,c)}=(V-V1)(V-V2)(V-V3)(V-V4)(V-V5)(V-V6)の根である。
各々の既約多項式は当然ながら唯1つの根をもち、他の根をもたない。
しかしV=V1の置換V’に対してf(V')は与えられた方程式の根となるのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/285

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