現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net

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39: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:01:43.86 ID:AaUSB/SH

>>3-4
記事の内容を埋めたりして書くけど、スレ主が書いた文章は以下のような解釈でよい？
>4の途中から分かりにくかったけど、間違っていたら悪いな。

>２．続けて時枝はいう
>
>　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかたに
>似ている. 「いわゆる,カントールの実数の構成の手法に似たことである. 記事の都合上詳細は
>省くが, このあらましの要点を書くと大体以下の通りである.
>有理コーシー列の全体をXとする. 実数列全体の集合をR^Nとする.
>有理コーシー列の集合Xは可算無限集合である. Xに属する任意の有理コーシー列は,
>或る1つの実数rに収束する. そこで, {r_n},{s_n}∈X に対して,
>有理コーシー列 {r_n}－{s_n} が0に収束するという関係を～とする.
>すると, Xの～による商環 X/～ は一意に決まることが知られている.
>この X/～ を R と書き, 実数体とよぶ.
>実数rを任意に取る. rに収束する有理コーシー列 {x_n} は, 可算無限個存在する.
>rに収束する有理コーシー列の全体を X(r) と書く. X(r) は可算無限集合である.
>X(r) に属し, rに収束する有理コーシー列 {r_n},{s_n}∈X(r) に対し,
>有理コーシー列 {r_n}－{s_n} が0に収束するという関係を ∽ と書く.
>X(r)の∽による商集合 X(r)/∽ の代表元は一意に決まる. 逆に, このような
>商集合 X(r)/∽ が与えられたとき, 元の実数rは存在する.
>だから, 実数体Rと, 集合{X(r)/∽|r∈R}との間には全単射が存在することになる.
>X(r)/∽ の代表元はrと考えられる. そこで, 有理コーシー列 {x_n} を X(r)/∽ の代表元とし,
>{x_n}の極限として実数rを lim_{x→+∞} x_n＝r と定義する.
>以上がカントール式の実数の構成のあらましである. ここに, r,s∈R に対し,
>r≠s のときは (X(r)/∽)∩(X(s)/∽)＝Φ であり, X＝{X(r)/∽|r∈R} なることに注意しよう.」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/39

42: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:05:54.42 ID:AaUSB/SH

>>3-4
(>>41の続き)
>そこで, {x_n} を商集合 X(r) の代表元とする. すると, rに対して, rに収束する実数列を考えることで,
>f({r_n})＝{x_n} なるような実数列 {r_n}∈R^N の全体を考えることが出来る.
>そこで, {x_n} に対して f({r_n})＝{x_n} なる実数列 {r_n}∈R^N の全体を f^{-1}({x_n}) とする.
>このようにして f^{-1}({x_n}) を構成することは, 任意の実数列 {x_n}∈R^N/～ に対して出来る.
>そのようなことに注意して, R^N に選択公理を適用し, R^N のすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>R^N/～ のすべての元についても同様に選択公理を適用し, そのすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>すると, 直積 R^N×R^N/～ を xy平面のような平面と見なせる. このような平面上で, x軸に平行な複数の,
>y軸に垂直であるような点線を引くような, 操作を行うことである.
>これが, 代表系を袋に蓄えておくことの, 大体の幾何的な意味である.」
>任意の実数列 s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表
>「としてのコーシー列」 r＝r(s) を丁度一つ取り出せる訳だ. sとrとがそこから先ずっと一致する番号
>を sの決定番号 と呼び，d＝d(s) と記す. つまり「sの部分列」 s_d，s_{d+1}，s_{d+2}, … を知れば
>「これは無限列だから,」 sの類の代表r は決められる. 更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても,
>ある D≧d について「sの部分列」 s_{D+1}, s_{D+2}, s_{D+3}, … が知らされたとするならば,
>「同様にこれも無限列だから,」それだけの情報で既に「コーシー列」 r＝r(s)は取り出せる.
>したがって「sの決定番号」 d＝d(s) も決まり, 結局s_d(実は s_d, s_{d+1}, …, s_D ごっそり)が決められる
>ことに注意しよう.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/42

44: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:07:59.41 ID:AaUSB/SH

>>3-4
(>>42の続き)
３．つづき

>問題に戻り, 閉じた「各列について可算無限個の箱が並ぶように, 可算無限個の」箱を100列に並べる.
>箱の中身は「当然」私たちに知らされていないが, とにかく第1列の「可算無限個の」箱たち,
>第2列の「可算無限個の」箱たち「, …,」 第100列の「可算無限個の」箱たちは
>100本の実数列 S^1, S^2, …, S^{100} を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
>これらの「可算無限個の」列は「２の後半で述べた事情から」おのおの決定番号をもつ.
>さて， 1～100 のいずれか「1つ」をランダムに選ぶ.
>例えばkが選ばれたとせよ. 「ここに, kは1以上100以下の或る自然数である.
>実数列 S^k を２の後半と同様にsで表わすことにしよう.
>すると, まだ s＝S^k の決定番号は知らされていない. しかし, 或る自然数 D≧k が存在して, D≧k について
>s の部分列 s_{D+1}, s_{D+2}, s_{D+3}, … が知らされたとするならば, これは無限列だから,
>それだけの情報で既に「コーシー列」 r＝r(s)は取り出せる. したがって「sつまりS^kの決定番号」 d＝d(s) も決まり,
>結局s_d(実は s_d, s_{d+1}, …, s_D ごっそり)が決められる. 簡単には, 最後の項が1つの実数 (S^k)_D Dは自然数
>であるような, S^kの有限列が取り出せる.」
>「既に知らされている自然数 k 1≦k≦100 に対して S^kの決定番号d＝d(s)≦k が対応することになる.
>「kは任意だから, 自然数kを 1≦k≦100 の範囲で走らせると,
>100本の実数列 S^1, S^2, …, S^{100} の中のそれぞれの実数列 S^k の決定番号が d＝d(s)≦k と決まり,
>100個の決定番号を小さい方から順に並べて100個の項からなる自然数列 a_1,a_2,…,a_100 を構成出来る.
>逆に, a_1,a_2,…,a_100 の中の1つの項が知らされているときは, 1～100の中の1つの自然数は既に分かっている.」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/44

45: １３２人目の素数さん [sage] 2016/01/16(土) 17:09:59.65 ID:AaUSB/SH

>>3-4
(>>44の続き)
>「そのような理由から, 実数列S^kを S^1, S^2, …, S^{100} の中から任意に1つ選んだとき,
>S^kの決定番号dが他の列の決定番号「の」どれよりも大きい「換言すれば小さくない」確率は1/100に過ぎない.」
>「話を元に戻す.」　第1列～第(k-1)列，第(k+1)列～第100列の「それぞれについて,」
>「各列を構成する可算無限個の」箱を「選択公理をそれぞれの列に適用し」全部開ける.
>第k列の「可算無限個の」箱たちはまだ閉じたままにしておく.
>開けた箱に入った「可算無限個の」実数を見て, 「それぞれのコーシー列について,」 代表の袋「合計は99個で」を
>「それぞれ」さぐり, S^1～S^{k-1},S^{k+1}～S^{1OO} の決定番号のうちの最大値「を」D「と書くことにする.」
>　いよいよ第k列「いわゆるS^k」の(D+1)番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l), S^k(D+2), S^k(D+3), …. いま
>　D≧d(S^k)
>を仮定しよう. 「ここに, 実は最終的には d(S^k) は S^k の決定番号となる.」 「d(S^k) が S^1～S^{100}の各決定番号の
>最大値になる(換言すれば他のどの決定番号よりも小さくない)確率は1/100だから,」
>この仮定が正しい確率は 「1-1/100＝」99/100.
>そして仮定が正しいばあい, 上の注意「いわゆる２の後半の考察」によって「S^kの決定番号」S^k(d) が決められるのであった.
>おさらいすると, 「このような」仮定のもと, S^k(D+1), S^k(D+2), S^k(D+3), … を見て「実数列 S^k の」代表「としてのコーシー列」r＝r(S^k) が
>取り出せるので, 「コーシー」列 r のD番目の実数 r(D) を見て， 「第k列(つまりS^kをなす可算無限個の箱のうちはじめから)
>D番目の箱に入った実数を S^k(D)＝r(D) と賭ければ, めでたく「当たる」確率「が」99/100で勝てる「ことになる」.
>(ε＞99/100 のときは, 同様の賭けごとに)確率 1-ε で勝てることも明らかであろう.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/45

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