[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18 [無断転載禁止]©2ch.net (718ﾚｽ)
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128: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:42 ID:6e17+VB1(1/9) AAS
どうも。スレ主です。
年度末で忙しいので、またまた勝手に書かせて貰います
＜ミニモデル2＞
開区間(0,1)のコーシー列モデル（時枝ミニモデルとしての同値類モデル2）
（みなさまお馴染みコーシー列を使って、時枝ミニモデルを作ってみよう。）
129: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:43 ID:6e17+VB1(2/9) AAS
１． 開区間(0,1)の特に、主に無限小数となる超越数を考える。超越数αを一つとる。
２． 超越数αの少数部分を頭から（少数第一位から）、順に１桁の数字を箱に詰める。
（頭の方を「ねもと」、先の方を「シッポ」と呼ぶことのしよう。）
３． このモデルの場合、1列のパラメータ：列の長さL（箱の数）＝∞、箱に入る数の集合の濃度ｎ＝10である。
４． つまり、このモデルは、(0,1)のコーシー列類似モデルと言える。
５． (0,1)の有限小数qを一つとる。αのねもと部分をqで置換した数を、α?qと書くことにしよう。この数で、同様に箱に数字を詰めると、シッポは一致するので、これは超越数αと同じ同値類に属する。
６． 有限小数qが、少数第ｎ位までの数であるとする。超越数αの属する同値類の代表がα?qであったとする。
130: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:44 ID:6e17+VB1(3/9) AAS
７． α?qとαは、少数第ｎ＋１位から一致するから、決定番号はｎ＋１。ここで、少数第ｎ＋１位は、シッポの方、つまり超越数αの部分であることに注意しよう。
決定番号＋１（＝ｎ＋２）から先を開けて、ｎ＋１を当てるということは、シッポつまりは超越数αの部分の話であることを強調しておく。（つまり、有限小数qとは無関係で、従って、同値類別する行為はほとんど意味がないことになる。）＊）
（なお、この議論は、α?qとα?q1との比較を考えても同様だから、一般性を失わない。（∵α?qとα?q1との比較では、有限小数qとq1の位数の大きい方が決定番号を決めるから。つまりq＞q1とすれば、α?q1をαで置き換えて同じ議論ができる。逆の場合も同様。））
８． 少数第ｎ位の有限小数qは、場合の数としておよそ10^n通りある（正確には、少数第ｎ位がゼロの場合は除かれるので、少し減る）。だから、位数ｎが大きいほど多くの有限小数がその同値類に属している。
９． ランダムに同値類の代表を選べば、ｎ→∞を考えることになり、決定番号の期待値は∞となる。
（ところで、１桁の数字であれば、我々は任意の箱の数を1/10の確率で当てられることに注意しよう。
（無限の数列を、同値類に分類するなどという苦労なしに。））
131: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:45 ID:6e17+VB1(4/9) AAS
∪が化けるか
132(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:48 ID:6e17+VB1(5/9) AAS
大丈夫か
では、再掲
１． 開区間(0,1)の特に、主に無限小数となる超越数を考える。超越数αを一つとる。
２． 超越数αの少数部分を頭から（少数第一位から）、順に１桁の数字を箱に詰める。
（頭の方を「ねもと」、先の方を「シッポ」と呼ぶことのしよう。）
３． このモデルの場合、1列のパラメータ：列の長さL（箱の数）＝∞、箱に入る数の集合の濃度ｎ＝10である。
４． つまり、このモデルは、(0,1)のコーシー列類似モデルと言える。
省2
133(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:49 ID:6e17+VB1(6/9) AAS
７． α∪qとαは、少数第ｎ＋１位から一致するから、決定番号はｎ＋１。ここで、少数第ｎ＋１位は、シッポの方、つまり超越数αの部分であることに注意しよう。決定番号＋１（＝ｎ＋２）から先を開けて、ｎ＋１を当てるということは、シッポつまりは超越数αの部分の話であることを強調しておく。（つまり、有限小数qとは無関係で、従って、同値類別する行為はほとんど意味がないことになる。）＊）
（なお、この議論は、α∪qとα∪q1との比較を考えても同様だから、一般性を失わない。（∵α∪qとα∪q1との比較では、有限小数qとq1の位数の大きい方が決定番号を決めるから。つまりq＞q1とすれば、α∪q1をαで置き換えて同じ議論ができる。逆の場合も同様。））
８． 少数第ｎ位の有限小数qは、場合の数としておよそ10^n通りある（正確には、少数第ｎ位がゼロの場合は除かれるので、少し減る）。だから、位数ｎが大きいほど多くの有限小数がその同値類に属している。
９． ランダムに同値類の代表を選べば、ｎ→∞を考えることになり、決定番号の期待値は∞となる。
（ところで、１桁の数字であれば、我々は任意の箱の数を1/10の確率で当てられることに注意しよう。
（無限の数列を、同値類に分類するなどという苦労なしに。））
134(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:50 ID:6e17+VB1(7/9) AAS
１０． さて、箱にたった一桁の数しか入れない(0,1)のコーシー列類似モデルでさえ、こうなる。ましてや、これが任意の桁数の整数であったり、あるいは、任意の実数であれば、余計にそうだ。だから、決定番号が有限であることは期待できないという結論に至る。つまり、時枝解法が現実の問題を解くことは期待できない！ということになる。
さらに、数列を増やした複数列の最大値を見るならば、余計決定番号が有限であることは期待できない。
（同じ議論は、すでに先日で終わっているが、今回は皆様になじみのある(0,1)のコーシー列類似モデルを作ってで論じてみた。時枝解法の本質がより理解できるだろう）
135(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:51 ID:6e17+VB1(8/9) AAS
さて、「決定番号の期待値がｎ→∞であるとすれば、n+1番目から先の箱を開けて、ｎ番目の箱の数を予測するという行為が、果たして数学的に妥当かどうか（俗な言い方だが、∞＋１や∞−１を考えることが数学的に妥当か）」というところが問題となる。
注＊）例えば、π＋eを考えてみよう。π＋eは、超越数かどうか分かっていないという。が、おそらくは超越数だと期待して（せめて無限小数だろう）、π＋eの少数部分を、同様に頭から箱に詰める。(0,1)の有限小数の部分集合として第n位までの数の集合を考える。
上記１〜７までと同様の議論で、決定番号＋１（＝ｎ＋２）から先を開けて、ｎ＋１を当てるということは、π＋eの部分の話でしかなく、有限小数の部分集合とは無関係。
ここで、ｎ→∞の極限を考えても、この理屈は変わらない。つまり、99%の確率で当てられる箱は、もともと決まっているπ＋eの部分（同値類の共通部分）の話でしかない。
136(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/02/05(金)22:52 ID:6e17+VB1(9/9) AAS
時枝はいう
「いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，
(2)の扱いだ. (独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
省4
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