[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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318(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)20:41 ID:tAJoLOyr(14/25) AAS
>>317 つづき
そこでちゃんとした幾何学として扱うには（例えばですが）ある程度位相を拡張したり、絶対値や距離をつけたり点を詰めたりするなど今後いろんなアイディアが必要になってきそうです。(○)
GrothendieckはZや体ばかりでなく、一般の環に対しても幾何学を構築することを考えました。それをスキームという視点で書き直そうとしたのです。
スキームは可換環を幾何学的にとらえようという考え方です。そしてそれら異世界を自由に横断できる仕組みがあれば、それをまさに枠組み（スキーム）と呼ぶことにします。
まず代数方程式があれば、局所的にはアフィン空間、大域的には射影空間（アフィン空間を包むような空間）に置くのが普通です。
射影空間の中でコンパクト化が可能で、代数方程式を局所的には可換環論、大域的には後でいうようにコホモロジーに帰着させます。
代数方程式があればそれに伴う座標環が定義できます。これは可換環であって、代数方程式の情報を含んでいます。
省7
319: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)20:52 ID:tAJoLOyr(15/25) AAS
>>318
といいながら、さらに一言
”素イデアルがただ並んでいるだけの空間では十分な幾何学としての考察対象にはなり得ず、ここに空間そのものを扱うのではなくて、その上の層を調べよという考えがあります。
もともと層は多変数関数や複素多様体と言った分野で使われていたのですが、それを代数多様体にも適用しようと試みたのがセールで、Grothendieckはそれなら範囲を広げてスキームにもそれを適用してみようと考えたのです。
したがって、ある程度層の理論になじんでからの方が代数幾何を理解しやすいともいえます。層を扱うことによって、上で言ったような個別の空間ではなく、大きな類別・尺度によって空間を分類できます。（位相幾何のホモロジーのように。）
さて、局所的なものを貼り合わせて大域的な層を構成しようという時に必要になるのがコホモロジーです。(☆)
しかしスキームにはどのような数学的に満足できる層を置くべきか。
省4
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