[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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305(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)05:54 ID:tAJoLOyr(2/25) AAS
>>304 つづき
> 2.3 素イデアルと素スペクトル
素イデアルと素スペクトル
詳細は「素イデアル」および「環のスペクトル」を参照
特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある（しばしば p あるいは p(ヒゲ文字)などで表す）。
この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が（'Z と異なり）素因数分解の一意性の成り立たない環をたくさん発見したことによる（素因数分解が一意な環は一意分解環と呼ばれる）。
定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 a, b の積 ab が p に属するならば必ず a か b のうちの少なくとも一方が p に属するという性質を持つものである（逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ）。
省6
306(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:01 ID:tAJoLOyr(3/25) AAS
>>305 つづき
素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec?R を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵となる概念である。
既に述べたように任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは常に空でない。
R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。
一方、、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、（素イデアル pZ を生成する）各素数 p に対応する点も持つ。
スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ? p} が開となるものとして定義される位相である。
この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。
省10
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