現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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513: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 12:46:39.67 ID:+PUkznvl

>>505
1977版より引用
8 What Is Algebraic Geometry?
Now that we have met some algebraic varieties. and have encountered some
of the main concepts about them. it is appropriate to ask. what is this subject
all about? What are the important problems in the field, and where is it
going?
To define algebraic geometry, we could say that it is the study of the
solutions of systems of polynomial equations in an affine or projective
n-space. In other words, it is the study of algebraic varieties.
略
One caution about working in extreme generality. There are many advantages
to developing a theory in the most general context possible. In
the case of algebraic geometry there is no doubt that the introduction of
schemes has revolutionized the subject and has made possible tremendous
advances. On the other hand, the person who works with schemes has to
carry a considerable load of technical baggage with him: sheaves, abelian
categories, cohomology, spectral sequences, and so forth. Another more
serious difficulty is that some things which are always true for varieties may
110 longer be true. For example, an affine scheme need not have finite dimension,
even if its ring is noetherian. So our intuition must be supported
by a good knowledge of commutative algebra.
In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.
（引用おわり）

要は、”In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.”ってことか・・

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/513

515: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 13:11:36.83 ID:+PUkznvl

>>513 つづき

1977版より引用。Deligne (1974)のヴェイユ予想解決までは入っているんだね
Appendix C The Weil Conjectures
Theorem 4.5 (Deligne [3])略

This result completes the solution of the Weil conjectures. Note that it
implies that the polynomials ?j(t) of (4.2) are the same as those of (1.3), and
hence the two definitions of the Betti numbers agree.
We cannot describe the proof of Deligne's theorem here, except to say
that it relies on the deeper properties of I-adic cohomology developed in
[SGA 4J, [SGA 5J and [SGA 7]. In particular it makes use of Lefschetz's
technique of fibering a variety by a "Lefschetz pencil," and studying the
monodromy action on the cohomology near a singular fihre.

3. La conjecture de Weil, I, Publ. Math. IHES 43 (1974),273-307.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3
ヴェイユ予想(Weil conjectures)は、有限体上の代数多様体の上にある点を数えることから導出される（合同ゼータ函数として知られる）母函数についての、非常に広い範囲に影響のある提案で、Andre Weil (1949)によりなされた。
リーマン予想の類似はDeligne (1974)により証明された。

新しいホモロジー論を構成するというアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)と彼の学派の仕事の中心的な目的を果たすことに、20年を要した。

グロタンディークは代数的サイクルの標準予想を基礎とした証明を展望した。(Kleiman 1968)
しかし、グロタンディークの標準予想は、未解決（ただし、ドリーニュによりヴェイユ予想を拡張することで証明された強レフシェッツ定理を除く）であり、
リーマン予想の類似は Deligne (1974)でエータル・コホモロジーを使うことにより、ドリーニュの独創的な議論により標準予想を使うことを避けて証明された。

Deligne (1980)ヴェイユ予想の一般化が証明され、層のプッシュフォワードのウェイトが有界であることが示された。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/515

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