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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
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365: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/26(日) 14:31:08.32 ID:yHhmJJ+L >>364 補足 >２が成り立つかどうかは、読み手のレベル次第 そこで http://hooktail.sub.jp/algebra/Ideal/ イデアルは部分環の一種ですが，とても重要な概念ですので，わざわざ記事を一つ設けました． [*]イデアルとはなんとも奇妙な名前です．英語では ideal と書きますので，英語式に発音すれば"アイディール"となります． 日本語の用語はドイツ語の Ideal から入って来ていますので，「イデアル」と読むのです．ドイツ語の発音には旧制高校風の趣があり，私はなかなか好きです． イデアルの定義 環 R の部分環 I が次の性質を満たすとき， I を イデアル と呼びます． I ⊂ R 環 R の任意の元 x と， I の任意の元 a に対し xa ∈ I がなりたちます． イデアルは既に部分環なので，加法に関しては環 R の部分群になっています．乗法の条件が，すこぶる変わっています．『環 R に属するどんな元を取って来ても，イデアルの元との積はイデアルに含まれてします』というのですね． [†]積を取れば何でも自分の元になってしまう，という代数的性質を吸収律と呼びます．そのままの命名ですね． 例２ 整数環 Z で，偶数全体からなる集合はイデアルです．偶数同士の和，偶数同士の積は偶数になり，偶数だけで部分環になります．さらに，偶数でも奇数でも，偶数を掛ければ偶数になりますから，イデアルの定義を満たしています． 一般に，整数環 Z で整数 m の倍数の全体 [m] はイデアルになります． 例３ Ｒ上の多項式環 R[x] で， x=1 を代入すると 0 になる多項式の全体 I={ f(x)|f(1)=0 \in R[x]} は，イデアルになります．確認してみて下さい． 数の概念を拡張して行けば，素数に相当する『これ以因数上分解できない数』に行き当たるだろうと考えたのです．クンマーはこれを理想数( ideal number )と名づけました． クンマーの研究自体は当時の数論の延長といったものでしたが，デデキントがクンマーの理想数を抽象的概念にまで拡張しました．その時にイデアルという名前をそのまま継承したのが，この奇妙な名前の由来です． この脚注で理想数の話題に深入りすることはできませんが，単項イデアルは整数に，単項イデアル以外のイデアルは理想数に対応し，整数の素因数分解の概念はイデアルを素イデアルに分解することに対応した抽象概念です． http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/365
366: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/26(日) 15:54:38.34 ID:yHhmJJ+L >>365 つづき 体のイデアル 体のイデアルは自明なイデアル，つまり { 0} と体自身のみです． 逆に，環が { 0 } と環自身以外にイデアルを持たないとき，この環は体になります．この定理は環が体になる条件として重要です． （抜粋引用おわり） 補足 >>365は、”数学で、わからんときの定石 １．具体例を考えてみる（これができる人はレベルが高い。おそらくすぐ分かる場合が多い）”>>350にもなっている優れものだ おそらく、ID:zK+eOO2b くんは、おそらく書く気が無いか、書けないか まあ、イデアルは大学で忙しく、大上段に定義から入って行くと、わからんだろう 上記を読んで、>>363で引用したwikipediaを読めば、かなり理解が進むと思われる http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/366
368: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/26(日) 16:27:35.66 ID:yHhmJJ+L >>367 補足 「イデアル」：フェルマー予想 x^n+y^n=z^n で nが３以上の整数のとき、整数解は存在しない これを、複素数まで範囲を広げて、因数分解を使って解くことを考えたクンマー先生>>365 理想数を導入した。これ、定石３>>367。が、”Well-defined”になるように、改良したのがデデキント先生 これは、定石１>>367の「きちんと対応がつく」だ。例えば、素数p vs "整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] ">>365だな 素数pに、"整数環 Z で素数 p の倍数の全体 [p] "という集合が対応する。その類推で、理想数に対応して、イデアルという集合を考えればよかんべよ！と これが、”Well-defined”かどうか、それは皆さんの宿題だ そして、「イデアル」さまは、定石２でもあったのだ >>355で、ひどい回答だねと言ったのはそういうこと。定石２しか言及してないじゃんか！と http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/368
378: １３２人目の素数さん [sage] 2015/07/27(月) 13:22:54.64 ID:7OKG+jU9 >>372 クンマーの手法というか、フェルマー予想の証明の詳細は知らんが、 フェルマー予想は或るn≧3なる自然数nに対して(x/z)^n＋(y/z)^n＝1 なる自然数x,y,zの組(x,y,z)∈N^3は存在するか？ と定式化出来て、そうして考えると、>>365のサイトの >当初は、この方法でフェルマーの最終定理のすべてのケースが解決する >と思われてたんだけど、残念ながら、指数nによっては簡単にはいかない >ことが判明した。それは、こういう「虚数世界に拡張した整数(1のべき乗根 >と有理数からなる体の整数環)」では、素因数分解の一意性が成り立たない >場合がある、という恐ろしく直観に反するケースが出てきたからだったのだ。 という部分を読む限りでは、文脈上は、クンマーの手法に従うと、有理整数環Zに虚数単位iを添加した ガウス整数全体からなる環Z[i]上で指数が何れもnの3つの有理整数x^n、y^n、z^nの何れかを一意に 素因数分解する手法を取るのだから、Z[i]の商体、つまり有理数体Qにiを添加した体Q(i)上で1を一意に 素因数分解して考えることが出来るようになるが、この手法で1を体Q(i)上で一意に素因数分解しようとしても、 1＝((3/5)＋(4/5)i)((3/5)−(4/5)i)＝((5/13)＋(11/13)i)((5/13)−(11/13)i) の例からも分かるように、1は体Q(i)上で一意に素因数分解出来ないから、 体Q(i)上で1を一意に素因数分解する手法は通用しないことになる。 なので、元の、環Z[i]上でx^n、y^n、z^nの何れかを一意に素因数分解するという手法も通用しないことになる。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/378
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