現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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315: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/25(土) 09:32:07.62 ID:tAJoLOyr

>>306-307 可換環補足
（和）
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。
詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。

アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。

（英）https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring より
The spectrum also makes precise the intuition that localisation and factor rings are complementary:
the natural maps R → Rf and R → R / fR correspond, after endowing the spectra of the rings in question with their Zariski topology, to complementary open and closed immersions respectively.
Altogether the equivalence of the two said categories is very apt to reflect algebraic properties of rings in a geometrical manner.

Affine schemes are?much the same way as manifolds are locally given by open subsets of Rn?local models for schemes, which are the object of study in algebraic geometry.
Therefore, many notions that apply to rings and homomorphisms stem from geometric intuition.

英文の方が分かりやすいね
"「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが">>312 と書いた
英文読むと、”the same way as manifolds”ということで、manifoldsの幾何学で成り立つことが、”the object of study in algebraic geometry”でも成り立つという意味だと

「manifoldsの幾何学で成り立つこと」というのが、まだイメージ湧きません。リーマン・ロッホ（下記）などがその例でしょうか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/315

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