現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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308: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/25(土) 06:30:55.21 ID:tAJoLOyr

>>307 つづき

上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。
4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。
ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。

可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。

文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。

例
可換な例

可換（および非可換な）体は {0} を唯一の極大イデアルとする局所環である。

局所環に「局所」の名を冠する理由は次のようなものである。
まず、実数直線上で 0 を含むある開区間において定義される実数値連続函数を考え、函数の 0 付近という局所での挙動のみに注目して、0 を含むある開区間（これはいくらでも小さく取って構わない）で一致するような函数を全て同一視する。
この同一視というのは同値関係を成し、この同値類を 0 における実数値連続函数の芽（め、germ）または実数値連続函数芽（が）という。実数値連続函数の芽は通常の函数の値ごとの加法と乗法によって可換環をなす。

この連続函数芽全体の成す環が局所環であることを知るためには、函数芽の可逆性を定義する必要がある。函数芽 f が可逆であるとは f(0) が 0 でないこととする。
これはつまり、f(0) が 0 でなければ、連続函数の性質から、0 を含む適当な開区間上で f が 0 にならず、したがってその区間上で g(x) = 1/f(x) という連続函数の芽を考えることができるという理由による。このとき fg は 1 に等しい。

この特徴づけで明らかなことは、非可逆な函数芽の和がやはり非可逆となるということであり、これによって函数芽の環が可換局所環であることを知ることができる。特にこの局所環の極大イデアルは f(0) = 0 を満たすような函数芽全体に一致する。

つづく

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/308

315: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/25(土) 09:32:07.62 ID:tAJoLOyr

>>306-307 可換環補足
（和）
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。
詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。

アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。

（英）https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_ring より
The spectrum also makes precise the intuition that localisation and factor rings are complementary:
the natural maps R → Rf and R → R / fR correspond, after endowing the spectra of the rings in question with their Zariski topology, to complementary open and closed immersions respectively.
Altogether the equivalence of the two said categories is very apt to reflect algebraic properties of rings in a geometrical manner.

Affine schemes are?much the same way as manifolds are locally given by open subsets of Rn?local models for schemes, which are the object of study in algebraic geometry.
Therefore, many notions that apply to rings and homomorphisms stem from geometric intuition.

英文の方が分かりやすいね
"「幾何学的直観に由来する多くの概念」というのが、いまいちイメージ湧きませんが">>312 と書いた
英文読むと、”the same way as manifolds”ということで、manifoldsの幾何学で成り立つことが、”the object of study in algebraic geometry”でも成り立つという意味だと

「manifoldsの幾何学で成り立つこと」というのが、まだイメージ湧きません。リーマン・ロッホ（下記）などがその例でしょうか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%83%83%E3%83%9B%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/315

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