現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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199: １３２人目の素数さん [] 2015/07/18(土) 09:38:01.50 ID:Dy2WdOHw

>>196
どうも。スレ主です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法

歴史的背景
アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツが創設した微分積分学は、その根底に無限小（どんな正の数よりも小さな正の数）や無限大（どんな数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を用いたものであり、
このような状況はレオンハルト・オイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。

19世紀に入るとオーギュスタン＝ルイ・コーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。
この時期から収束や連続に関する議論は次第に厳密性を増していく。
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。

なお、ε-δ 論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。

数学教育における取り扱い
ε-δ 論法を用いない微分積分学は厳密性に欠ける部分が多くなるため、教育界などでは高校数学の段階でε-δ 論法を教えるべきである、という意見もある。
一方で、所謂理系分野の学問であっても数学、物理学以外の分野では、ε-δ 論法で記述するほどの厳密性を考慮しなくても、大抵の議論は結果だけ見れば正しい結論に行き着くことが可能であるため、
大学教育においてすらε-δ 論法を不要と見なす意見もあり、ε-δ 論法を教える事の必要性については、数学教育における古くて新しい論争といえる。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/199

205: １３２人目の素数さん [] 2015/07/18(土) 10:38:38.15 ID:Dy2WdOHw

>>196 ボルツァーノ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A1%E3%83%BC%E3%83%8E
ベルナルト・ボルツァーノ（Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano,1781年10月5日 - 1848年12月18日）は、チェコの哲学者、数学者、論理学者、宗教学者。ライプニッツの哲学に影響を受け、反カント哲学の立場から、客観主義的な論理学や哲学を打ち立てた。
その成果は、フランツ・ブレンターノやエトムント・フッサールらに影響を与えた。
彼の名前は、ベルナルド・ボルツァーノやドイツ語圏ではベルンハルト・ボルツァーノとも呼ばれている[1]。

最晩年の1848年の暮れにはそれまで哲学的な概念で捉えられていた無限の概念を数学にも取り入れた『無限の逆説 Pradoxien des Unendlichen』を著した。
これも、重要な著作である。『無限の逆説』を執筆し終えた数日後、風邪をこじらせ体調が急速に悪化し、そのまま死去。67歳だった。

後世への影響
生前はその業績はほとんど評価されなかった。数学の分野では、遺著『無限の逆説』は、その後、実無限概念の発展に寄与した[3]。
解析学の分野では「ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理」など、彼の名が冠される定理をいくつか残している。
哲学分野では反カント主義的方法論が災いして同時代の人物からはほとんど注目されなかったが、20世紀初頭のブレンターノやフッサールによってその成果は大いに評価された[4]。
現在では近代期における重要な論理学者・数学者として認識されている。

3.^ カントル（集合論の創始者）は、ボルツァーノを実無限概念の「決定的な擁護者」と呼び、高く評価している。
4.^ フッサールは著書『論理学研究』において、ボルツァーノを「古今最大級の論理学者」と評している

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/205

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