現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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117: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/11(土) 15:46:50.13 ID:FKo26YYw

>>110 つづき
３．双対ベクトル空間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。
有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。
函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。

一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。

双対空間
体 F 上の任意のベクトル空間 V の（代数的）双対空間 V^? は V 上の線型写像 φ: V → F（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。
集合としての V^? には、次の加法とスカラー乗法

φ + ψ(x) = φ(x) + ψ(x)
(a φ)(x) = a (φ(x))
(φ,ψ∈ V^*, x∈ V, a∈ F)

を定義することができて、それ自身 F 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 V^? の元を、余ベクトル（共変ベクトル）あるいは一形式と呼ぶこともある。

双対空間 V^? の元である汎函数 φ と V の元との対をしばしば括弧を用いて φ(x) = [φ,x][1] あるいは φ(x) = ?φ,x?[2]で表す。
この対の記法は非退化な双線型形式[3] [・,・]: V^? × V → F を定める。このとき、[,] は V^? とV との間に双対性を定める、V^? と V を双対にする、あるいは V と V^? の双対性を表す内積 (duality pairing) であると言う。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/117

333: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/07/26(日) 07:17:18.26 ID:yHhmJJ+L

>>322 補足

>双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。

下記が分かり易い。（双対については、>>110微分 >>117-120 >>123テンソル などにもある）
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/04senke/120snk.html
ときわ台学/線形代数/双対空間（双対ベクトル空間）: ２　線形写像と双対空間  f-denshi.com  最終更新日： 0７/10/09 （少しだけ説明を追加しました。）
抜粋

ベクトル空間V上の線形写像全体の集合はベクトル空間であり，これをVの双対ベクトル空間(または双対空間)V*といいます。
やや抽象的な概念ですが基礎物理学（量子力学，素粒子論）から工学的な応用（散乱現象，線形応答）まで線形代数の関わるあらゆる分野に登場する重要な概念です。

［５］　これまででてきたことを一覧表にして比べます。（一覧表略。本文を見て下さい）
［６］　この表からは注目に値する対称性が見てとれますね。この表を基にしてもう一度，写像：　
φ(x )＝｛χ1e^1＋χ2e^2＋･･･＋χne^n ｝( x^1e1＋x^2e2＋･･･＋x^nen )　
　　　　＝　x^1χ1＋x^2χ2＋･･･＋x^nχn

を，　”左側の｛  ｝は関数，右側(  )は変数”　に由来するという先入観を捨て去って見てみると，
φ(x )　という関数記号の”読み方”として，

(A)　χj　を固定して，x^k　を変数と見れば，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　写像φ，変数　x　　　　[φ：　V→R］
(B)　x^k　を固定して，χj を変数と見れば，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　写像 x ，変数 φ　　　　[x ： V*→R］

の２とおりに同等の権利を持たせてもかまわないように見えるでしょう。特に，(B)の見方をすれば，演算＋，･のもとで，
　　「”写像 x　” は　V*上の線形関数」
とみなすと主張することも可能です。

このような対称性を視覚的に強調するために，ベクトルの成分の添え字を x^n と上に書いたり，関数を展開するときの基底を e^j と書くような工夫が凝らされているのです。
なぜ，ベクトルやベクトル成分の添数字を上付きにするような記法が存在するのか分かっていただけたでしょうか？
おわり

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/333

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