現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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419: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/01(土) 21:28:22.76 ID:tftR4opy

>>418
どうも。スレ主です。良い質問ですね。それ本質的ですね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB
素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された[1]。
このときすべてのゼロでない（整）イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。
概型（スキーム）の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

可換環に対して
局所化
A を環、P をその素イデアルとすると、集合 S=A＼ P は積閉集合となる。S による A の局所化 S^{-1}A を A_P と書く。
これは PA_P を極大イデアルとする局所環となる。その剰余体 A_P/PA_P を k(P) などと書くこともある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E9%A0%85%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB%E6%95%B4%E5%9F%9F
単項イデアル整域
代数学において単項イデアル整域（たんこうイデアルせいいき、あるいは主イデアル整域、英: principal ideal domain; PID）あるいは主環（しゅかん、仏: anneau principal）とは、任意のイデアルが単項イデアルであるような（可換）整域のことである。

より一般に、任意のイデアルが単項イデアルであるような（零環でない）可換環を単項イデアル環と呼ぶ
（この場合、整域とは限らない、つまり零因子をもつかもしれない）が、文献によっては（例えばブルバキなどでは）「主（イデアル）環」という呼称によって、ここでいう「単項イデアル整域」のことを指している場合があるので注意が必要である。

可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 単項イデアル整域 ⊃ ユークリッド整域 ⊃ 体

例
単項イデアル整域の例を挙げる。以下では可換環 R の元 a1, … an の生成するイデアルを (a1, …, an) = { r1a1 + … + rnan | ri ∈ R } と表す。

Z: 整数環[1]。

単項イデアル整域とならない整域の例を挙げる。
Z[X]: 整数係数の一変数多項式環。たとえばイデアル (2, X) は単項イデアルでない。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/419

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