[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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407: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)07:38 ID:tftR4opy(1/8) AAS
検索でヒットしたので、アップしておきます
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.titech.ac.jp
川内 毅 東京工大
2005代数学演習Ａ第二
よく使われる記号 (pdf 33KB) 外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
２年次代数の内容を解説した文書を作成しました． とりあえず環論の部分（増える可能性あり．形式的ベキ級数環とか，その他応用とか）で， いきなり第２章となっていますが，第１章は群論の予定です． 第３章の「加群」がようやく出来上がりました．
環論 (preview3, DVIPDFMx, 351KB, 2006/12/14)外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.titech.ac.jp
省1
413(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)18:57 ID:tftR4opy(2/8) AAS
>>412
どうも。スレ主です。
悪いことはいわんから、ともかく、数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)>>404を手にとってみな
買えと言いたいが、まあ、図書館なり書店でも。あるいは友人に借りる
それが、一番の近道だと
414: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)18:59 ID:tftR4opy(3/8) AAS
>>413 つづき
それが結論だ
が、まあ、こんな不便な場所だし、どこまで語れるか分からないし、どこまであなたの理解が進むのかも分からないが、少し語ってみようか
415(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)19:14 ID:tftR4opy(4/8) AAS
>>367で書いたが”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”だ
昔、クンマー先生が、x^n+y^n=z^nの因数分解を考えて、理想数を導入したと>>368
それを見た、デデキント先生は、因数←→イデアル（因数の倍数*の集合)）という対応を考えれば、理想数を理解するのに良いんだと発想した
注*)”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚で大体良いんだ。細かい点では、少し異なるが
だから、イデアルが分からなくなったら、”イデアル＝因数の倍数の集合”というおおざっぱな感覚に戻ること
Aを考える代わりにBで考える→因数を考える代わりにイデアル（因数の倍数*の集合)）で考えるのが良い
が、イデアルが分からなくなったら、逆の対応を考えるんだ
416(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)19:26 ID:tftR4opy(5/8) AAS
数学は世界をこう見る (PHP新書) 新書 2014/5/16 小島 寛之 (著)（P25あたり）に書いてあることだが、少しかみ砕いて書く
６は、２ｘ３と因数分解される。だから、６という数には、因数２と因数３が含まれていると考えることができる
しかし、イデアルで考えると、包含関係は逆転するんだ
イデアル６は、イデアル２とイデアル３の両方に包含されている
まあ、イデアル２とイデアル３の重なり部分が、イデアル６だという見方もできる
ここで気がつくことだが、ある数の因数が多いと集合としてのイデアルは小さいってことだな
そこで、少し賢い人は気付く。自然数の世界では素因数に対応するイデアル（例えば上記のイデアル２やイデアル３）は、自然数以外の他のイデアルには含まれないってことを
省5
417: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)19:27 ID:tftR4opy(6/8) AAS
これで分からなければ、小島本よめ
419(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)21:28 ID:tftR4opy(7/8) AAS
>>418
どうも。スレ主です。良い質問ですね。それ本質的ですね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された[1]。
このときすべてのゼロでない（整）イデアルは素イデアルの有限個の積として一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。
概型（スキーム）の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。
可換環に対して
省14
420: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/08/01(土)21:42 ID:tftR4opy(8/8) AAS
>>419 つづき
”現代数学の定石がいくつかある １．ある対象Aと別の対象Bとがあって、AとBにきちんと対応がつくとき、Aを考える代わりにBで考える”>>415と書いた
Aを考える代わりにBで考える利点があるんだよ、実は・・
整数環 Z がわれわれが一番なじみのある世界だ。だから、ここに戻ってくるのが良いんだ。この世界は、単項イデアル整域>>419で、
”極大イデアルは、ある素数 p で生成されるイデアル (p) = pZ であり、また任意の素数 p についてイデアル (p) は極大イデアルである[2]。”>>416
つまり、素数Pから生成されるイデアルは、素イデアルでもあり、極大イデアルでもある。言い換えると、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とは分離されていない世界なのだ
だからこそ、というか逆に、素数（あるいは素因子）の概念を、素イデアルの概念と極大イデアルの概念とに分離して考えることができる。それこそが、イデアルを考える利点なんだ
省1
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