[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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304(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)05:45 ID:tAJoLOyr(1/25) AAS
>>137
>可換環論や代数幾何で現れる Spec(R)
ここをちょっと補足
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、英: commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。
いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。
可換環 ⊃ 整域 ⊃ 整閉整域 ⊃ 一意分解環 ⊃ 主イデアル整域 ⊃ ユークリッド環 ⊃ 体
省19
305(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)05:54 ID:tAJoLOyr(2/25) AAS
>>304 つづき
> 2.3 素イデアルと素スペクトル
素イデアルと素スペクトル
詳細は「素イデアル」および「環のスペクトル」を参照
特に重要な種類のイデアルとして、素イデアルがある（しばしば p あるいは p(ヒゲ文字)などで表す）。
この概念が生じたのは、19世紀の代数学者が（'Z と異なり）素因数分解の一意性の成り立たない環をたくさん発見したことによる（素因数分解が一意な環は一意分解環と呼ばれる）。
定義により、素イデアルは真のイデアルであって、環の二元 a, b の積 ab が p に属するならば必ず a か b のうちの少なくとも一方が p に属するという性質を持つものである（逆はイデアルの定義から任意のイデアルにおいて成り立つ）。
省6
306(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:01 ID:tAJoLOyr(3/25) AAS
>>305 つづき
素イデアルは、環 R の素イデアル全体の成す集合である環のスペクトル Spec?R を通じて、環を「幾何学的」に解釈するための鍵となる概念である。
既に述べたように任意の環は少なくとも一つの素イデアルを持つから、スペクトルは常に空でない。
R が体ならば唯一の素イデアルが零イデアルであるから、そのスペクトルも一点からなる。
一方、、有理整数環 Z のスペクトルは零イデアルに対応する一点のほかに、（素イデアル pZ を生成する）各素数 p に対応する点も持つ。
スペクトルにはザリスキー位相と呼ばれる位相が入っている。これは環の各元 f に対して部分集合 D(f) = {p ∈ Spec R : f ? p} が開となるものとして定義される位相である。
この位相は解析学や微分幾何学に見るような位相とは異なり、例えば一点集合が一般には閉にならなかったりする。また例えば、零イデアル 0 ⊂ Z に対応する点の閉包は Z のスペクトル全体に一致する。
省10
307(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:09 ID:tAJoLOyr(4/25) AAS
>>306 つづき
>非女王に
非常にの誤変換だろう
本題つづき
アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。
（可換環引用おわり）
省13
308(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:30 ID:tAJoLOyr(5/25) AAS
>>307 つづき
上記 3 番目の性質は局所環の非可逆元全体が真のイデアルをなし、したがってジャコブソン根基に含まれることを言っている。
4 番目の性質は次のように言い換えることができる： R が局所環となる必要十分条件は、R に互いに素な二つの真の左イデアルが存在しないことである。
ここで R の二つのイデアル I1, I2 が「互いに素」とは R = I1 + I2 が成立することである。
可換環の場合には、イデアルの左右・両側の区別をしないので、可換環が局所環である必要十分条件はその環が極大イデアルを唯一つ持つことである。
文脈によっては、局所環の定義に（左および右）ネーター性を仮定するものもある。その場合には、ネーター性を持たないものを擬局所環、準局所環 (quasi-local ring) と呼ぶ（本項ではこれを区別しない）。
例
省9
309(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:38 ID:tAJoLOyr(6/25) AAS
>>308 つづき
これと同じようなことは、位相空間とその上の一点と実数値連続函数から芽の環を考えることでもできるし、可微分多様体上に一点をとって、可微分写像芽の環を考えても、あるいは点つきの代数多様体上の有理函数芽の環でもよいが、
結果として、これらの芽の環は局所環となる。
またこれらの例は、代数多様体の一般化であるスキームが、どうしてのか特殊な局所環付き空間として定義されるのかということの説明の一助となる。
もう少し算術的な例として、分母が奇数となるような有理数全体の成す環は局所環である。その極大イデアルは、分子が偶数で分母が奇数であるような分数全体である。
もっと一般に、可換環 R とその素イデアル P が与えられたとき、R の P における局所化は、P の生成する唯一の極大イデアルを持つ局所環である。
体上の（一変数あるいは多変数の）形式冪級数環も局所環の例である。極大イデアルは定数項を持たない冪級数全体である。
省7
310(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:44 ID:tAJoLOyr(7/25) AAS
>>309 つづき
F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。
例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。
けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。
非可換な例
非可換局所環は、環上の加群の直和分解の研究において、自己準同型環として自然に現れる。具体的に、加群 M の自己準同型環が局所環であるならば、M は直既約であり、逆に、有限な長さを持つ加群 M が直既約ならば、その自己準同型環は局所環となる。
k を標数 p の体、G を有限 p-群とすると、その群環 kG は局所環である。
省5
311: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)06:56 ID:tAJoLOyr(8/25) AAS
少し休憩
>>309-310
"K が実際に代数多様体 V 上の函数体であるならば、V の各点 P に対して、「P において定義された」函数の成す賦値環を考えることができるだろう。
V の次元が 2 以上である場合なら、以下のような状況を見て取るのは困難である：
F および G が V 上の有理函数で F(P) = G(P) = 0 を満たすとする。このとき、函数 F/G の P における値というのは不定形である。
例えば簡単なところで Y/X において、極限を直線 Y = tX にそって近づけるようなことを考えると、「P における値」という概念には単純な定義というものが無いように思われるだろう。
けれども賦値を使えばこのようなことは取り除かれる。"
省6
312(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)07:30 ID:tAJoLOyr(9/25) AAS
>>307
文字化け修正
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 ? x のいずれかは必ず可逆である。
↓
R において 1 と 0 が等しくなく、また x が R の元であるならば、x または 1 − x のいずれかは必ず可逆である。
補足
・あと、可逆→可逆元かな
省2
314: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)08:16 ID:tAJoLOyr(10/25) AAS
>>310 局所環つづき
諸事実と諸定義
可換の場合
(R, m) で極大イデアル m をもつ可換局所環をあらわすことにする。可換局所環 (R, m) は m の冪全体を 0 近傍系の基とする位相（これを m-進位相と呼ぶ）により自然な方法で位相環となる。
二つの局所環 (R, m), (S, n) に対して、R から S への局所環準同型とは、環準同型 f : R → S であって、f(m) ⊆ n を満たすもののことを言う。(R, m), (S, n) を m-進位相, n-進位相でそれぞれ位相環と見れば、この位相に関して連続な環準同型が、局所環の準同型である。
位相環として見た場合に、 (R, m) は完備であるかという問いを与えることができるが、これは一般には正しくない。しかしその完備化はやはり局所環となる。
省13
315: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)09:32 ID:tAJoLOyr(11/25) AAS
>>306-307 可換環補足
（和）
スペクトルは局所化と剰余環の直観的な相補性を明確な形で述べるのにも役に立つ。
即ち自然な写像 R → Rf および R → R/fR は（考えている環のスペクトルにザリスキー位相を入れれば）相補的な関係にあるスペクトルの開はめ込みおよび閉はめ込みに対応する。
詰まるところ、これら二つの圏の同値性は幾何学的な仕方での環の代数的性質を非常によく反映するものである。
アフィンスキームは（多様体がRn の開集合上で局所的に定義されるのとまったく同じようにして）スキームの局所モデルになっている（スキームは代数幾何学の主な研究対象である）。
それ故に、幾何学的直観に由来する多くの概念を環とその準同型に対して持ち込むことができる。
省11
316: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)10:00 ID:tAJoLOyr(12/25) AAS
代数幾何の点
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Glossary of algebraic geometry
point
A scheme S is a locally ringed space, so a fortiori a topological space, but the meanings of point of S are threefold:
a point P of the underlying topological space;
a T -valued point of S is a morphism from T to S , for any scheme T ;
省9
317(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)20:38 ID:tAJoLOyr(13/25) AAS
こんなのがありました
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
代数幾何学入門講座〜スキーム理論入門〜 ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2015/1/7）投稿日：2012/6/28
難しい代数幾何が、私のような平凡な頭の者にも少しでも身近なものにならないだろうかと何度も思ったことです。
代数方程式は素朴な対象であるがゆえに、昔から多くの数学者たちの研究の的になってきました。
そもそも一般に幾何学をやるといっても、どこ上で幾何をやるのかというのは問題になります。（C上かR上か。Qやp進体Qpか、はたまたZか。体Fpか。体上か環上か。などなど。）
たとえば代数閉体であるC上なら点もいっぱいつまっているし、どんな代数方程式をもってきても解が中に詰まってるし十分に安心して幾何学の議論として扱えそうです。
省3
318(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)20:41 ID:tAJoLOyr(14/25) AAS
>>317 つづき
そこでちゃんとした幾何学として扱うには（例えばですが）ある程度位相を拡張したり、絶対値や距離をつけたり点を詰めたりするなど今後いろんなアイディアが必要になってきそうです。(○)
GrothendieckはZや体ばかりでなく、一般の環に対しても幾何学を構築することを考えました。それをスキームという視点で書き直そうとしたのです。
スキームは可換環を幾何学的にとらえようという考え方です。そしてそれら異世界を自由に横断できる仕組みがあれば、それをまさに枠組み（スキーム）と呼ぶことにします。
まず代数方程式があれば、局所的にはアフィン空間、大域的には射影空間（アフィン空間を包むような空間）に置くのが普通です。
射影空間の中でコンパクト化が可能で、代数方程式を局所的には可換環論、大域的には後でいうようにコホモロジーに帰着させます。
代数方程式があればそれに伴う座標環が定義できます。これは可換環であって、代数方程式の情報を含んでいます。
省7
319: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)20:52 ID:tAJoLOyr(15/25) AAS
>>318
といいながら、さらに一言
”素イデアルがただ並んでいるだけの空間では十分な幾何学としての考察対象にはなり得ず、ここに空間そのものを扱うのではなくて、その上の層を調べよという考えがあります。
もともと層は多変数関数や複素多様体と言った分野で使われていたのですが、それを代数多様体にも適用しようと試みたのがセールで、Grothendieckはそれなら範囲を広げてスキームにもそれを適用してみようと考えたのです。
したがって、ある程度層の理論になじんでからの方が代数幾何を理解しやすいともいえます。層を扱うことによって、上で言ったような個別の空間ではなく、大きな類別・尺度によって空間を分類できます。（位相幾何のホモロジーのように。）
さて、局所的なものを貼り合わせて大域的な層を構成しようという時に必要になるのがコホモロジーです。(☆)
しかしスキームにはどのような数学的に満足できる層を置くべきか。
省4
320: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)21:45 ID:tAJoLOyr(16/25) AAS
ライター：sedrft1さん、こんなのもある。いいね
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2013/7/20）投稿日：2012/1/17
321(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)21:48 ID:tAJoLOyr(17/25) AAS
さわりをご紹介
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
ホモロジー？ コホモロジー？ （空間と関数との関連性）
ライター：sedrft1さん（最終更新日時:2014/9/24）投稿日：2012/1/21
私が大学の数学科に入って面食らったのが、このホモロジー、コホモロジーというものです。
なにしろ抽象的で難しい…。何を言っているのかさっぱり分からない…。
とにかく、平凡な頭の私にはさっぱりの内容でした。
省8
322(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)21:50 ID:tAJoLOyr(18/25) AAS
>>321 つづき
では次にコホモロジーとは何か。
線形代数でもやりましたが、ベクトル空間があれば双対空間というのがあります。
双対空間というのはベクトル空間上の線形写像からなる空間で、ちょうどベクトル空間の関数たちの集まりのような形になっています。
さて、幾何学においては与えられた空間に対し関数を考えることでその空間について調べようという考え方があります。
もし関数を調べることで空間の全体の情報を読み取ることができるなら双対性と呼ばれ（＊）、空間を「鏡」に映して関数という形にすれば、空間についてわかるということになります。
逆にいうと空間が姿を変えたものが関数であり、あるいは空間の各点に数を与えて空間を「数化」したものが関数とも言えます（◇）。実際今の幾何学の多くは与えられた空間の上に適切な関数を作ってそれを調べることに力を注いでいます（◆）。
省4
323: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)21:58 ID:tAJoLOyr(19/25) AAS
さわりをご紹介
外部ﾘﾝｸ:note.chiebukuro.yahoo.co.jp
いろんなガロア理論☆ガロア圏☆
抜粋
ガロア拡大（正規・分離拡大）である体の拡大L⊃Kが与えられると、ガロア群と呼ばれる群Gal(L/K)が決まるというのがガロア理論です。
「方程式の解の背後にある群を調べよ」という思想は、単純に代数方程式論や代数学といった枠を超え、幾何学など多くの分野に強い影響を与えることになります。
ガロア理論の位相空間版が被覆空間論です。
省13
324: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)22:05 ID:tAJoLOyr(20/25) AAS
>>322 追加
（＊）不分岐についてちょっと説明してみたいと思います。
O_KというDedekind環があって、その分数体がK 、Kの有限次分離拡大をL、
O_Kの整閉包がO_Lとなっているとします。(このときO_LもDedekind環になる)
O_Kの素イデアルpが上のO_Lに行ったとき、素イデアル分解されるわけですが、pが不分岐であるとは各イデアルの指数が全部1であることです。
これをもしスキーム論的に見るなら、pが不分岐かどうかということは、O_Kをスキーム
Spec O_Kとみれば、O_K→O_Lに対する射Spec O_L→Spec O_Kがあって、p?Spec O_KはO_Lの中でどうなるかを観察する必要があるということです。
省9
325(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)22:24 ID:tAJoLOyr(21/25) AAS
スキーム
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
概型
数学における概型あるいはスキーム (英: scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。
二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。
さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。
スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。
省15
327(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)23:27 ID:tAJoLOyr(22/25) AAS
>>326
どうも。スレ主です。
質問の意味が正確に取れない。というか、日本語が奇妙に見える。なにか、翻訳調というか。そもそも、自分で調べろよと。自分で調べて、ここまで分かったがさらにここが疑問とか。でないと、君のレベルがわからん
が、そう切ってしまうのは簡単だ
知っている範囲で堪えてみよう
１．エタール：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省13
328(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)23:36 ID:tAJoLOyr(23/25) AAS
>>327 つづき 訂正 堪えてみよう→答えてみよう
４．モチーフ：これも日本語化している外国語だろう
芸術用語。芸術作品を構成するうえでの基本的な単位ないし作因をさす。
主題 subject，テーマとあまり区別なく用いられることもあるが，
主題が作品全体を貫き，統一する多かれ少なかれ文学的，物語的性格をもち，またテーマがこうした主題をどのように扱い，表現するかという作者の態度，方法とかかわり合っているのに対し，
モチーフは作品を形成する個々の単位をさすことが多い。ブリタニカ国際大百科事典 外部ﾘﾝｸ:kotobank.jp
wikipedia 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org motif - 動機、理由、主題という意味のフランス語の単語。
省9
329(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)23:43 ID:tAJoLOyr(24/25) AAS
>>328
>圏論の言葉では、普遍的なコホモロジーは代数的代数的対応の圏で
「代数的代数的」はおかしいね
330: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/25(土)23:50 ID:tAJoLOyr(25/25) AAS
>>329
>他方、現在は、全く異なる方法より、モチーフコホモロジー（英語版）(motivic cohomology)が、現在、テクニカルな定義が数多くある。
ここは、訳がこなれていないね
原文
On the other hand, by a quite different route, motivic cohomology now has a technically adequate definition. 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
a technically adequate definition を誤訳しているね
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