[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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58: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)07:01 ID:pEaR/2gu(1/7) AAS
>>45
>要するに、日本語の記事の結論間違っているみたい
こういうのを見ると、日本語の情報だけでは不足だということが良く分かる
日本のwikipediaを見たときに、左のEnglishのリンクも開いて見ておくの良いですね
59: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)18:38 ID:pEaR/2gu(2/7) AAS
>>48 関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学におけるトポス（topos）とは、位相空間上の層のなす圏を一般化した概念である
アレクサンドル・グロタンディークによるヴェイユ予想解決に向けた代数幾何学の変革の中で、数論的な図形（スキーム）の上で有意義なホモトピー・コホモロジー的量が定義できる細かい「位相」を考えるために導入された。
その後数理論理学者たちによる更なる公理化を経て、集合論のモデルを与える枠組みとしても認識されるようになった。
数理論理学との関わり
Kripke-Joyalの意味論とよばれる手続きによって集合論的論理式をトポスの対象と射についての言明として解釈することができる。トポス Sets における解釈が通常の記号論的な集合とその元に関する論理式解釈となる。
省9
60: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)18:44 ID:pEaR/2gu(3/7) AAS
外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
3日目 「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂
アブストラクト
全事象Aのうち、性質Sを満たすもの、命題Sが「真」となるもの、とは集合論的にはただ単に集合Aの部分集合Sを規定することになります。
この部分集合たちは通常の“∩”・“∪”によって古典束（ブール代数）を成しますが、実はこの代数構造が２点集合Ω＝｛真、偽｝という非常に単純なものによって統制されているのです。
そこで、（月並みな言い方をすれば）このΩをそれとは似て非なるものにしようとしたものが直観論理、ひいては直観束（ヘイティング代数）になるわけです。
直観論理にも、“かつ”や“または”が存在し、分配則などを満たす点で古典論理と似ていますが、二重否定が元に戻らないという点が非なるところです。
省8
61: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)18:44 ID:pEaR/2gu(4/7) AAS
つづき
強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。
ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。
本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
省2
62: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)19:12 ID:pEaR/2gu(5/7) AAS
これは何かと言えば
外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
Kota Takeuchi 参加予定の研究会や興味のあるセミナーなどを載せています。
外部ﾘﾝｸ:sites.google.com
・圏論への招待 第三回（集合、圏、代数） 2012年6月1-3日（金-日） 筑波大学
主旨：
圏論の考え方を理解したいと思いませんか？
省10
63: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)19:21 ID:pEaR/2gu(6/7) AAS
強制法
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抜粋
数学の集合論における強制法（きょうせいほう、Forcing）とは、ポール・コーエンによって開発された、無矛盾性や独立性を証明するための手法である。
強制法が初めて使われたのは1962年、連続体仮説と選択公理のZFからの独立性を証明した時のことである。
強制法は60年代に大きく再構成されシンプルになり、集合論や、再帰理論などの数理論理学の分野で、極めて強力な手法として使われてきた。
目次
省17
64: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/28(日)19:23 ID:pEaR/2gu(7/7) AAS
Forcing (mathematics)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In the mathematical discipline of set theory, forcing is a technique discovered by Paul Cohen for proving consistency and independence results.
It was first used, in 1963, to prove the independence of the axiom of choice and the continuum hypothesis from Zermelo?Fraenkel set theory.
Forcing was considerably reworked and simplified in the following years, and has since served as a powerful technique both in set theory and in areas of mathematical logic such as recursion theory.
Descriptive set theory uses the notion of forcing from both recursion theory and set theory. Forcing has also been used in model theory but it is common in model theory to define genericity directly without mention of forcing.
Contents
省18
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