現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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30(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)05:08 ID:OGuofPc2(1/27) AAS
>>28
>マスロフ理論のマスロフという人とかが関わっている。

マスロフ理論は、初耳です
おっちゃん、ありがとう
検索したが、日本語ではあまり情報がヒットしないね
取りあえず下記
外部ﾘﾝｸ[html]:www.st.sophia.ac.jp
省15

31: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:13 ID:OGuofPc2(2/27) AAS
>>28
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ラース・ヘルマンダー（Lars Hormander, 1931年1月24日 - 2012年11月25日）はスウェーデンの数学者。
現代的な意味合いでの線型微分方程式の最大の貢献者。初期の業績である方程式の定数係数の理論によって1962年にフィールズ賞を受賞した。
フィールズ賞受賞後、現代解析学における主要な道具の創始者として中心的役割を果たし、特に擬微分作用素とフーリエ積分作用素において大きく貢献し、その応用に関して決定的な業績を上げた。
その他にも多変数複素解析学、調和解析、ナッシュ・モーザーの陰関数定理（英語版）、散乱理論、非線型双曲型方程式、準楕円型偏微分方程式の解析などにおいて大きく貢献している。
ヘルマンダー学派なるものも存在し佐藤学派と鎬を削ったこともあった（結果的には、超局所解析学では佐藤学派に後塵を拝した）。

32: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:15 ID:OGuofPc2(3/27) AAS
>>28 英語版がかなり章立てが違う。文献が充実している
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
微分方程式
線型微分方程式の研究は歴史が長くヘルマンダー等がそのひとつの頂点であろう[要追加記述]。
それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。
例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
省18

33(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:23 ID:OGuofPc2(4/27) AAS
関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
解析学における擬微分作用素（ぎびぶんさようそ、英: pseudo-differential operator）は、微分作用素の一般化するものである。
1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・ディリクレ形式（英語版）・ポテンシャル理論との関わりも深い。
物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。
目次
1 導入
省25

34: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:40 ID:OGuofPc2(5/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ[B9]:ja.wikipedia.org

性質

滑らかな有界函数係数の m-階線型微分作用素は m-階の擬微分作用素である。

二つの擬微分作用素 P, Q の合成 PQ はふたたび擬微分作用素であり、PQ の表象は P および Q の表象を用いて計算することができる。
擬微分作用素の随伴および転置はまた擬微分作用素である。

m-階微分作用素が楕円型かつ可逆ならば、逆作用素もまた ?m-階の擬微分作用素で、表象はもとの微分作用素の表象から計算できる。
省8

35(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:42 ID:OGuofPc2(6/27) AAS
関連
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超局所解析

数学の解析学の分野における超局所解析（ちょうきょくしょかいせき、英: microlocal analysis）とは、変数係数の線型および非線型偏微分方程式の研究に関するフーリエ変換に基づく、1950年代以後に発展した技術を伴う解析のことを言う。
超函数や、擬微分作用素、波面集合（英語版）、フーリエ積分作用素、振動積分作用素、パラ微分作用素の研究などが含まれる。

「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
このことは、次元が 1 よりも大きい多様体に対して、重要な意味を持つ。
省3

36(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:44 ID:OGuofPc2(7/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
余接空間
微分幾何学において、滑らかな（あるいは可微分）多様体の各点 x に x における余接空間 (cotangent space) と呼ばれるベクトル空間を取り付けることができる。
余接空間は、より直接的な定義があるが（下記参照）、典型的には、x における接空間の双対空間として定義される。
余接空間の元は余接ベクトル (cotangent vector) あるいは接余ベクトル (tangent covector) と呼ばれる。

目次
省8

37(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:46 ID:OGuofPc2(8/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Cotangent space
From Wikipedia, the free encyclopedia

In differential geometry, one can attach to every point x of a smooth (or differentiable) manifold a vector space called the cotangent space at x.
Typically, the cotangent space is defined as the dual space of the tangent space at x, although there are more direct definitions (see below).
The elements of the cotangent space are called cotangent vectors or tangent covectors.
省9

38(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:50 ID:OGuofPc2(9/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ[AA]:ja.wikipedia.org
外冪

余接空間の k 次外冪 (exterior power)、Λk(Tx*M) と表記される、は微分幾何学の別の重要な対象である。k 次外冪のベクトル、あるいはより正確には余接束の k 次外冪の断面は微分 k-形式と呼ばれる。
それらは k 個の接ベクトル上の alternating 多重線型写像（英語版）と考えることができる。
この理由のため、接余ベクトルはしばしば1-形式と呼ばれる。

39(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)06:59 ID:OGuofPc2(10/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
1-形式

線型代数学において、ベクトル空間上の 1-形式 (one-form) はその空間上の線型汎関数と同じである。この文脈における 1-形式の使用は通常その空間上の高次の多重線型関数から 1-形式を区別する。詳細は線型汎関数 (linear functional) を参照。

微分幾何学において、可微分多様体 (differentiable manifold) 上の 1-形式 (one-form) は余接束の滑らかな断面である。同値だが、多様体 M 上の 1-形式は M の接束の全空間のR への、各ファイバーへの制限が接空間上の線型汎関数であるような滑らかな写像である。

しばしば 1-形式は特に局所座標（英語版）において局所的に（英語版）記述される。局所座標系において、1-形式は座標の微分の線型結合である：

α_x = f_1(x) dx_1 + f_2(x) dx_2+ ・・・ +f_n(x) dx_n
省12

40: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)08:05 ID:OGuofPc2(11/27) AAS
>>24
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学では、モノドロミー (monodromy) は、解析学、代数トポロジー、代数幾何学や微分幾何学の観点から特異点の周りで対象がどのように振舞うかを研究する。
名前が意味しているように、モノドロミーの基本的な意味は、「ひとりで回る」という意味である。
被覆写像と被覆写像の分岐点への退化とは密接に関係している。
モノドロミー現象が生ずることは、定義したある函数が一価性に失敗することを意味し、特異点の周りを回る経路を動くことである。
省17

41: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)08:08 ID:OGuofPc2(12/27) AAS
関連抜粋
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
In mathematics, monodromy is the study of how objects from mathematical analysis, algebraic topology and algebraic and differential geometry behave as they 'run round' a singularity.
As the name implies, the fundamental meaning of monodromy comes from 'running round singly'.
It is closely associated with covering maps and their degeneration into ramification;
the aspect giving rise to monodromy phenomena is that certain functions we may wish to define fail to be single-valued as we 'run round' a path encircling a singularity.
The failure of monodromy is best measured by defining a monodromy group: a group of transformations acting on the data that encodes what does happen as we 'run round'.
省16

42: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)08:15 ID:OGuofPc2(13/27) AAS
似たようなことを以前も書いたね（下記）。では

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 [転載禁止](c)2ch.net
2chｽﾚ:math
191 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/01/12(月) 20:39:38.05 ID:AWavoP3p [14/16]
>>190 関連

外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
檜山正幸のキマイラ飼育記メモ編
省12

43: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)18:25 ID:OGuofPc2(14/27) AAS
>>24 関連
リーマン・ヒルベルト対応
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
第21問題／ヒルベルトの23の問題

与えられたモノドロミー群をもつ線型微分方程式の存在証明

リーマン・ヒルベルト問題とも呼ばれる。フレドホルムの積分方程式に関するヒルベルトの研究を応用して、1908年にプレメルヒが積分方程式の問題に再定式化して、肯定的に解決。
1913年にバーコフがリーマン･ヒルベルト問題とは気づかずに別証明を与えた。
省2

44: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)18:30 ID:OGuofPc2(15/27) AAS
へへ、英文だと違うね
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
For Riemann?Hilbert factorization problems on the complex plane see Riemann?Hilbert.

The twenty-first problem of the 23 Hilbert problems, from the celebrated list put forth in 1900 by David Hilbert, concerns the existence of a certain class of linear differential equations with specified singular points and monodromic group.

History

This problem is more commonly called the Riemann?Hilbert problem.
There is now a modern (D-module and derived category) version, the 'Riemann?Hilbert correspondence' in all dimensions.
省9

45(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)18:31 ID:OGuofPc2(16/27) AAS
つづき

Indeed Andrey A. Bolibrukh (1990) found a counterexample to Plemelj's statement.
This is commonly viewed as providing a counterexample to the precise question Hilbert had in mind;
Bolibrukh showed that for a given pole configuration certain monodromy groups can be realised by regular, but not by Fuchsian systems.
(In 1990 he published the thorough study of the case of regular systems of size 3 exhibiting all situations when such counterexamples exists.
In 1978 Dekkers had shown that for systems of size 2 Plemelj's claim is true.
Andrey A. Bolibrukh (1992) and independently Vladimir Kostov (1992) showed that for any size, an irreducible monodromy group can be realised by a Fuchsian system.
省6

46: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)19:28 ID:OGuofPc2(17/27) AAS
>>24
層
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学における層（そう、英: sheaf, 仏: faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの張り合わせ可能性によって定式化される。
より形式的に、大域から局所への移行のみを考える概念は前層（ぜんそう、presheaf）とよばれる。

目次
1 定義
省22

47: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)19:35 ID:OGuofPc2(18/27) AAS
歴史
層の理論の起源をたどるのは容易ではない。はっきりと認識できる独立した層の理論がコホモロジーの基礎的な研究から生じるまでには約15年を要した。
層の概念が最初にはっきりと現れたのは、第二次世界大戦中のジャン・ルレーによる偏微分方程式の研究だと言われている。
その後、アンリ・カルタンのセミナーで形式的な整備が進められた。さらに任意の係数体 (coefficient field) 上の多様体にコホモロジー理論を構築することを目的の一つとして、1955年にジャン＝ピエール・セールによって代数幾何学に層の概念が持ち込まれた。
ほかに層が決定的に用いられる理論として佐藤幹夫らに端を発する偏微分方程式系の解析（D-加群の理論）があげられる。

1936年 - エドゥアルド・チェック（英語版）(Eduard ?ech)は開被覆と単体と結びつけて、脈体構成を導入した。
1938年 - ハスラー・ホイットニー（英語版）(Hassler Whitney)はジェームズ・アレクサンダー（英語版）(James Waddell Alexander II)、アンドレイ・コルモゴロフが初めてコチェイン(cochain)を定義して以来の研究を要約してコホモロジーの'現代的な'定義を与えた。
省7

48(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)19:37 ID:OGuofPc2(19/27) AAS
つづき
1951年 - カルタンのセミナーでカルタンの定理 A, Bが岡潔の研究に基づいて証明された。
1953年 - 解析理論における連接層についての有限性定理がセールの双対定理と同様にカルタンおよびジャン＝ピエール・セールによって証明された。
1954年 - セールの論文Faisceaux algebriques coherents（1955年掲載）は層を代数幾何学に導入した。
これらのアイデアは直ちにフリードリヒ・ヒルツェブルッフ（英語版）(Friedrich Hirzebruch)によって使われた。彼は1956年に位相幾何学の手法についての有名な本を記した。
1955年 - アレクサンドル・グロタンディークはカンサスのレクチャーにおいてアーベル圏および前層 (presheaf)を定義し、単射分解（英語版）(injective resolution) を用いることで層コホモロジーを導来関手としてすべての位相空間に直接用いることを可能にした。
1956年 - オスカー・ザリスキがレポートAlgebraic sheaf theoryを発表。
省8

49: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)19:41 ID:OGuofPc2(20/27) AAS
英文
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
History
The first origins of sheaf theory are hard to pin down ? they may be co-extensive with the idea of analytic continuation[clarification needed].
It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.

1936 Eduard ?ech introduces the nerve construction, for associating a simplicial complex to an open covering.
1938 Hassler Whitney gives a 'modern' definition of cohomology, summarizing the work since J. W. Alexander and Kolmogorov first defined cochains.
省7

50: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)19:44 ID:OGuofPc2(21/27) AAS
つづき

1951 The Cartan seminar proves the Theorems A and B based on Oka's work.
1953 The finiteness theorem for coherent sheaves in the analytic theory is proved by Cartan and Jean-Pierre Serre, as is Serre duality.
1954 Serre's paper Faisceaux algebriques coherents (published in 1955) introduces sheaves into algebraic geometry. These ideas are immediately exploited by Hirzebruch, who writes a major 1956 book on topological methods.
1955 Alexander Grothendieck in lectures in Kansas defines abelian category and presheaf, and by using injective resolutions allows direct use of sheaf cohomology on all topological spaces, as derived functors.
1956 Oscar Zariski's report Algebraic sheaf theory
1957 Grothendieck's Tohoku paper rewrites homological algebra; he proves Grothendieck duality (i.e., Serre duality for possibly singular algebraic varieties).
省7

52: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)20:17 ID:OGuofPc2(22/27) AAS
数学
英語はすこしよめる

53: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)21:08 ID:OGuofPc2(23/27) AAS
>>30
マスロフ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Victor Pavlovich Maslov
From Wikipedia, the free encyclopedia
This name uses Eastern Slavic naming customs; the patronymic is Pavlovich and the family name is Maslov.

Viktor Pavlovich Maslov (Russian: Виктор Павлович Маслов; born 15 June 1930, Moscow) is a Russian physicist and mathematician.
省13

54: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)21:37 ID:OGuofPc2(24/27) AAS
Maslov index
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
抜粋
In mathematics, the Lagrangian Grassmannian is the smooth manifold of Lagrangian subspaces of a real symplectic vector space V.

Maslov index
A path of symplectomorphisms of a symplectic vector space may be assigned a Maslov index, named after V. P. Maslov; it will be an integer if the path is a loop, and a half-integer in general.

If this path arises from trivializing the symplectic vector bundle over a periodic orbit of a Hamiltonian vector field on a symplectic manifold or the Reeb vector field on a contact manifold, it is known as the Conley-Zehnder index.
省2

55: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)21:45 ID:OGuofPc2(25/27) AAS
Maslovで不思議なものがヒットした・・

外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
数理解析研究所講究録第1541 巻2007 年102-123
ダイマーと藻類
大阪大学大学院理学研究科植田一石(Kazushi Ueda)

ダイマー(dimer) は化学における二量体を指す. ダイマーや極性のある分子の統計力学的な模
型として2 色グラフとその上のダイマー配置が長年にわたって研究され、様々な対象と関わりの
省14

56: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)21:54 ID:OGuofPc2(26/27) AAS
植田一石先生は過去ログにありましたね
2chｽﾚ:math 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む5
45 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2012/05/27
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.sci.osaka-u.ac.jp
植田一石大阪大学大学院理学研究科
Conference Proceedings / Reports

3. Coamoeba and equivariant mirror symmetry (joint work with Masahito Yamazaki, in Japanese),
省24

57: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/27(土)22:24 ID:OGuofPc2(27/27) AAS
リー群についても過去ログにあるが、取りあえず下記でも
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
抜粋
リー群（リーぐん、英語: Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。
ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。

定義
G を台集合とする実リー群とは、G には実数体上有限次元で（多くの場合無限回微分可能という意味で）可微分な実多様体の構造が定められていて、G はまた群の構造を持ち、
省9

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