[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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100: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)09:16 ID:FKo26YYw(1/32) AAS
読み返してみると、>>35で
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超局所解析
「超局所」（microlocal）という語は、空間内の位置についての局所化のみならず、ある与えられた点の余接空間方向についての局所化を意味する。
（引用おわり）
なんて、書かれてあったりする。
まとまりなく、ランダムに書かせて貰うと
省12
101: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)09:37 ID:FKo26YYw(2/32) AAS
これ分かり易いね
外部ﾘﾝｸ:wikまとめ.com/wiki/%E8%B6%85%E5%B1%80%E6%89%80%E8%A7%A3%E6%9E%90
超局所解析 - ウィキまとめ
[英microlocalanalysis仏analysemicrolocale独mikrolokaleAnalysis]
マイクロローカルアナリシス．
1変数の佐藤超関数f(x)が，xOの近傍でf(x)＝F(x＋i0)と表わすことができるとき，fは(xO，－idx∞)でマイクロ解析的であるといい，f(x)＝F(x－i0)と表わせるときfは(xO，idx∞)でマイクロ解析的であるという.
(xO，－idx∞)および(xO，idx∞)でマイクロ解析的な佐藤超関数は，xOで実解析的である．
省6
103: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)09:50 ID:FKo26YYw(3/32) AAS
関連
http://ウィキまとめ.com/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0
ワイトマン関数 - ウィキまとめ
[Wightmanfunction]
ハイゼンベルク表示の場の演算子φ(x)(x＝(r，t))の積の真空期待値〈Ω，φ(x1)…φ(x?)Ω〉として定まるx1，…，x?の関数(n＝1,2，…)]]
Ωは系のハミルトニアンの最低固有値に属する規格化された固有ベクトルで，真空の状態ベクトルに当る]]ワイトマン関数は実際は関数ではなく超関数であると考えられている]]
1つの場の量子論において，これが与えられると，S行列が計算できる(→LSZ形式)フォック空間で作用する場の演算子を用いて摂動論など具体的な計算を進める形の場の量子論が発散の困難に阻まれるのを見て，
省9
104: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)09:52 ID:FKo26YYw(4/32) AAS
>>102
客観的にはそうでもないと思うが、君よりはな・・・HaHaHa!
105(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)10:37 ID:FKo26YYw(5/32) AAS
>>96
関連
外部ﾘﾝｸ:phasetr.com
書評：佐藤幹夫の数学: 2013-02-01
佐藤超関数の文脈で超関数の積分があるが, これは超関数微分方程式を考えて, その解を不定積分と呼んでいる.
興味がある向きは Theory of Hyperfunctions, I の P148 を見てほしい.
外部ﾘﾝｸ:repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp
省3
106(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)10:47 ID:FKo26YYw(6/32) AAS
>>105
「佐藤幹夫の数学」P264が「佐藤超関数と特異スペクトルとマイクロ関数」だ
ここに、マイクロ関数の佐藤幹夫流の直感的説明がある・・・
107(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)10:57 ID:FKo26YYw(7/32) AAS
>>106
「佐藤幹夫の数学」P273が「超局所計算法（miclolocal calculus）」だ
"あるとき、「概均質ベクトル空間のフーリエ変換の話はきれいだけれども、実際の計算は全然できなくて、あれは抽象論だ」と新谷（卓郎）君から批判された"という話から始まる
柏原を説得して、論文にしてもらったと
”僕だったら１年も１０年も放っといたと思うんだけれども、彼がやってくれたんでアッというまにできちゃったわけだよ”と
108: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)11:17 ID:FKo26YYw(8/32) AAS
>>107
「佐藤幹夫の数学」P17
柏原先生の話がある
”彼はブルバキやグロタンディークなんかを１８歳か１９歳のときに読んでいました。それらを自分ひとりで、先生もいなくて、彼がまだ４年生であったときに勉強していたのです。
ええ、彼はものすごい天才です。今まで会った中で最高の若者です”と
109(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)11:28 ID:FKo26YYw(9/32) AAS
>>97 余接空間の話は、>>35-39に書いたけど
実は、まだよく見えない
そこで、もう少し書くことに
１．まず接空間（英語：tangent space）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
多様体上の接ベクトル空間（英語：tangent vector space）あるいは 接空間（英語：tangent space）とは、多様体上の各点で定義されるベクトル空間であり、その点における全ての接ベクトルの集合である。
接ベクトル空間は、ユークリッド空間内の曲線や曲面における接ベクトルの一般化ともいえる。
省13
110(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)11:37 ID:FKo26YYw(10/32) AAS
２．微分と余接
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
関数の微分
m 次元 C^r 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p における 接ベクトル v は、 p の近傍で定義された C^r 級関数 f を実数 v(f) に対応させる関数である。
v(f) は接ベクトル v と関数 f の組であり、 v を固定して、 f に対して値が定まると考えてきた。逆に f を固定して
dfp : v → v(f)
という関数も考えることができる。この dfp を f の p における 微分 (differential) という。
省7
114(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)15:35 ID:FKo26YYw(11/32) AAS
>>111-112
どうも。スレ主です。
おっちゃんかな？
レスありがとう
>この手の話、真に受けない方がいい。原理的には可能だが、ブルバキを読むのはすごく大変だよ。
>読んで中身を理解する訳だろ。少しフランス語の素養が必要で、全部で30～40冊近くあるんだろ。
柏原の時代には訳本なかったっけ？ えーと、下記だ一番早いので1968年か。だからまだ無かったか・・
省18
115(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)15:43 ID:FKo26YYw(12/32) AAS
>>114
つづき
>グロタンディークは厳密なスタイルでないらしいが、本文については知らん。
グロタンディークを読んでいるというのはあったかも
柏原は東大だから、図書には本があったろう
一つは、教養の第二外国語で仏語やれば、辞書くらい引ける
一つは、フランス留学も考えていたか、あるいは自分が学者としてやっていくには仏語は必要だと。だから、仏語の勉強も兼ねて読んだというのはありかも
省2
116: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)15:45 ID:FKo26YYw(13/32) AAS
>>113
どうも。スレ主です。
レスありがとう
まあ、ここはおいらのメモ帳なんで、メモ（備忘録）を書いたんだよ
117(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)15:46 ID:FKo26YYw(14/32) AAS
>>110 つづき
３．双対ベクトル空間
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。
有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。
函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。
一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、
省10
118(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)15:54 ID:FKo26YYw(15/32) AAS
>>117 つづき
４．有限次元の場合
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
有限次元の場合
V が有限次元ならば、V? は V と同じ次元を持つ。V の基底 {e1, ..., en} から双対基底と呼ばれる特別な V? の基底を定義することができる。それは V 上の線型汎函数の集合 {e1, ..., en} で、係数 ci ∈ F の選び方に依らず
e^i(c_1 e_1+・・・+c_n e_n) = c_i (i=1,・・・,n)
を満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を 1, 残りをすべて 0 とすることにより、関係式は
省9
119(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:12 ID:FKo26YYw(16/32) AAS
>>118 つづき
５．無限次元の場合
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
無限次元の場合
ベクトル空間 V が有限次元でない場合にも適当な無限集合 A で添字付けられる基底 eα は持つ[5]から、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 eα (α ∈ A) を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。
例えば、有限個の例外を除く全ての成分が 0 であるような実数列全体の成す空間 R∞ を考えると、これは自然数全体の成す集合 N で添字付けられる標準基底、すなわち各 i ∈ N に対して ei は第 i-項が 1 で他はすべて 0 となるようなものを持つ。
R∞ の双対空間は全ての実数列からなる空間 RN である。数列 (an) の (xn) ∈ R∞ への作用は ∑anxn で与えられる（これは xn の非零項が有限個しかないことから有限和である）。R∞ の次元は可算無限だが、RN の次元は非可算である。
省8
120(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:18 ID:FKo26YYw(17/32) AAS
>>119 つづき
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
双線型な乗法と双対空間
二重双対空間への単射
線型写像の転置写像
商空間と零化域
省11
121(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:29 ID:FKo26YYw(18/32) AAS
>>117 関連
あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。
例えば、質量や温度などのスカラー量は階数0のテンソルだと理解される。同様にして力や運動量などのベクトル的な量は階数1のテンソルであり、力や加速度ベクトルの間の異方的な関係などをあらわす線型変換は階数2のテンソルで表される。
物理学や工学においてしばしば「テンソル」と呼ばれているものは、実際には位置や時刻を引数としテンソル量を返す関数である「テンソル場」であることに注意しなければならない。
省9
122(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:34 ID:FKo26YYw(19/32) AAS
>>121 つづき 訂正：”あとは、面白そうだが、佐藤と関係なさそうなので省略”は、消し忘れです
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
歴史
テンソルという言葉は、1846年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって特定の種類の代数系(やがてクリフォード代数として知られるようになる)におけるノルム操作を記述するために導入された。
現在の意味で使われるようになったのは1899年のヴォルデマール・フォークトからである。
テンソルの記法は1890年ごろにグレゴリオ・リッチ＝カルバストロによって絶対微分という名の下に発展させられ、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタによる1900年の古典的な同名の著作によって多くの数学者たちに知られるようになった。
20世紀に入ってからはこの分野はテンソル解析として知られるようになり、1915年頃のアルベルト・アインシュタインによる一般相対性理論の導入によって広く知られるようになった。
省3
123(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:38 ID:FKo26YYw(20/32) AAS
>>122 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
いくつかのアプローチ
古典的な方法ではテンソルは多次元の配列で、階数0のスカラーや階数1のベクトル、階数2の行列などの階数nへの一般化を与えているものと見なされる。
テンソルの「成分」は配列の要素の値によって与えられることになる。この考えはテンソル場として一般化され、テンソルの成分として関数やその微分が取り扱われるようになる。
物理学における通常のテンソルの定義の仕方は、特定の規則に従って成分が変換されるような対象という言い方を用いるもので、共変変換（英語版）と反変変換（英語版）の概念がもちいられる。
現代的な（成分を使わない）アプローチではテンソルはまず抽象的に多重線形性（英語版）の概念にもとづく数学的対象として定義される。
省9
124: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)18:43 ID:FKo26YYw(21/32) AAS
>>123 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
例
テンソルは添字の組に対して対応する成分の値を与えるような関数によって表されていると考えることができる。それぞれの添字について何通りの自由度があるかという数は次元とよばれることがある。
例えば階数3で次元2、5、7のテンソルを考えることにすると、添字の組は<1, 1, 1> から <2, 5, 7>まで動き、70通りの添字の組があることになる。
テンソル場は多様体の各点にテンソルを与えたものである。従って次元が <2, 5, 7> のベクトル場を考えるときは、上の例のようにして単に70個の値を考える代わりに空間内のそれぞれの点が70個の値を付与されることになる。
言い方を変えれば、問題にしている空間を定義域としてテンソルに値を持つ関数を考えることになる。
省5
125(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)19:02 ID:FKo26YYw(22/32) AAS
>>109 つづき
大分脱線しましたが、お待たせしました余接束
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。
それはまた接束の双対束として記述することもできる。
目次
1 余接層
省19
126(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)19:09 ID:FKo26YYw(23/32) AAS
>>125 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) θ（Poincare 1-形式あるいは Liouville 1-形式とも呼ばれる）をもっている。
）これが意味するのは、T*M をそれ自身多様体と見たときに、T*M 上のベクトル束 T*(T*M) の断面が存在するということである。
この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。
xi を基礎多様体 (base manifold) M 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 pi が存在する： T*M の特定の点における 1-形式は（アインシュタインの縮約記法を使って）pidxi の形をしている。
なので多様体 T*M はそれ自身局所座標 (xi, pi) をもっている、ただし x は基礎上の座標で p はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において
省11
127(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)19:28 ID:FKo26YYw(24/32) AAS
補足
・束：代数では、Lattice（格子）なんだが、幾何ではbundle（たばの束）。余接たば、とは言えないだろうね
・”T*M をそれ自身多様体と見たときに、T*M 上のベクトル束 T*(T*M) の断面が存在する”
Ｍ：manifold 【機械】 (内燃機関の吸排気をする)マニホールド，多岐管.
T：【形容詞】接する，接線の; 〔…に〕接して 〔to〕. 【名詞】【可算名詞】【数学】接線，接面. タンジェント，正接 《略 tan》.
co-：
1 「共働で」「共に」∥co-operate.
省5
128(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)20:54 ID:FKo26YYw(25/32) AAS
>>127 補足
co- 《数学》《天文》「余」「補」∥cosine.
なのだが
dual-双対ベクトル空間的見方もありか
ああ、「断面」だったね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
断面 (位相幾何学)
省19
129(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:00 ID:FKo26YYw(26/32) AAS
>>128 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
局所切断と切断の層
ファイバー束はその底空間全域で定義される切断（大域切断、global section）を一般には持たないが、それゆえ局所的にのみ定義される切断というものを考えることも重要である。
ファイバー束 (E, π, B) の（連続な）局所切断 (local section) とは、U を底空間 B の開集合とするときの連続写像 s: U → E であって、束射影 π について U のすべての元 x に対して π(s(x)) = x をみたすようなものを言う。
(U, φ) が E の局所自明化（つまり F をファイバーとして φ が π?1(U) から U × F への同相写像を与えるもの）とするとき、U 上の局所切断は常に存在して、それは U から F への連続写像と一対一に対応する。
このような局所切断の（U を任意に動かすときの）全体は底空間 B 上の層を成し、ファイバー束 E の切断の層 (sheaf of sections) と呼ばれる。
省12
130(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:02 ID:FKo26YYw(27/32) AAS
>>129 つづき
図がある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
図：束 p: E → B の切断 s は底空間 B と E の部分空間 s(B) とを同一視する方法を与える。
図：R2 におけるベクトル場の例。接ベクトル束の切断とは、実はベクトル場のことである。
おわり
131: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:10 ID:FKo26YYw(28/32) AAS
>>130 つづき
ファイバー束
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ファイバー束（ファイバーそく、fiber bundle、 fibre bundle）とは、位相空間に定義される構造の一つで、局所的に 2 種類の位相空間の直積として表現できる構造の事である。
目次
1 概要
2 定義
省24
132: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:13 ID:FKo26YYw(29/32) AAS
>>109
>実は、まだよく見えない
>そこで、もう少し書くことに
まだ、もやっとしているんだが
一気に分かるところまで行かない
まあ、気長にやりましょう！
133(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:25 ID:FKo26YYw(30/32) AAS
>>111
14歳でのドリーニュ伝説がある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ピエール・ドリーニュ（Pierre Deligne、1944年10月3日 - ）はベルギーの数学者。
14歳でニコラ・ブルバキの数学原論を読みこなしていたドリーニュは、ブリュッセル自由大学──大学に入るころは既に大学の数学をすべて終えていたとのこと。──と高等師範学校で数学を学び、23歳でIHESの客員教授、26歳でIHES教授、34歳のときフィールズ賞を受賞。
そのドリーニュが師事したのが、アレクサンドル・グロタンディークである。
彼はグロタンディークが数学をしていた間はグロタンディークに忠実であったが、グロタンディークが数学をやめた後は、グロタンディークのプログラムよりヴェイユ予想の早期の解決に向かい、1974年ヴェイユ予想を解決した。
省21
134(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:39 ID:FKo26YYw(31/32) AAS
>>111
柏原伝説
外部ﾘﾝｸ:phasetr.com
『天才数学者がどうの』とかいう地獄のような記事を見た数学者の反応を記録する
抜粋
@ken_m123 タオでなくても、堀川穎二さんの「俺は日本で一番頭がいいと思ったら上がいた。柏原正樹だ」程度のネタで十分だと思います。 が、堀川さん早く亡くなられましたからね。#今回は実名にする
柏原先生, 小平先生と飯高先生とか何かその辺の対談みたいなやつで, 「レポートで何か凄まじいの出してきた学生がいたが, その学生が柏原君だった. 」,
省2
135(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/11(土)21:56 ID:FKo26YYw(32/32) AAS
>>134
>柏原先生, その他にも修論がいまだに引用される
その話、「佐藤幹夫の数学」P17 柏原先生の話で
Ｄ加群についての論文で、鉛筆で書かれた手書きのやつだとか
それを、わざわざ英訳して出版した人がいるという
検索すると下記がヒット 引用元 199
外部ﾘﾝｸ[pdf]:archive.numdam.org
省7
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