[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net (562ﾚｽ)
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163(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:36 ID:1bZvw6j0(1/16) AAS
>>162
おっちゃん、どうも
ピエール･ドリーニュへのインタビューがある下記
外部ﾘﾝｸ:srad.jp
taro-nishinoの日記： ピエール･ドリーニュへのインタビュー
日記 by taro-nishino 2014年01月17日 20時30分
最終ヴェイユ予想を解決したのは、御存知ピエール･ドリーニュ博士ですが、アホ学部学生が読んで少しは満足するだろう記事"Interview with Pierre Deligne"(PDF)
省13
164(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:39 ID:1bZvw6j0(2/16) AAS
>>163 つづき
自分自身のリズムで数学を学ぶ偶然を持つことは過去の世紀の驚きを復活させる恩典を持つ。整数から始まって有理数、そして実数をどのように定義され得るかを他のどこかで既に私は読んだことがあった。
だが、ブルバキの中を少し進めて、集合論からどのように整数が定義され得るかを驚き、"同数の要素"を持つ2つの集合に対して、これから整数を導出し、それの意味することを先ずどう定義出来るかを感嘆したのを憶えている。
私は家族の一友人に複素変数に関する本も与えられた。複素変数の話が実変数の話ととても異なることを知ることは大きな驚きだった。一回微分可能なら解析的(べき級数展開を持つ)、等々。学校で退屈だったであろう、それらのことすべてがすごい楽しさを私に与えていた。
そうして、この教師Nijs氏は、ブリュッセル大学教授Jacques Titsに私を知らせた。私がまだ高校にいた期間中、彼のコースとセミナーを聞けた。
Raussen and Skau:貴方がブルバキを勉強したと聞いて非常に驚きます。ブルバキは通常その年齢で難しいと考えられています。貴方の正式な学校教育について少し話してもらえますか? 貴方にとって面白かったのか、または退屈だったのですか?
つづく
165(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:41 ID:1bZvw6j0(3/16) AAS
>>164 つづき
ドリーニュ:私には優れた一人の初等学校教師がいた。高校よりも初等学校で多くのことを学んだと思う。すなわち、読み方、書き方、算術、更にずっと多くのこと。
この教師が数学においてどのように実験したかを私は憶えている。その実験は私に証明、面、長さについて考えさせた。問題は半球面を同じ半径の円板面を比較することだった。それをするために、教師は両方の面を渦巻き状に紐で覆った。
半球は2倍の紐が必要だった。これは私に多くを考えさせた。すなわち、面を長さでどのように測るか? 半球面が実際に円板面の2倍であることをどのように確信するか?
高校にいた時、私は幾何での問題が好きだった。不思議な命題がさほど困難でない証明を持つから、あの年頃で幾何での証明は意味がある。いったん公理を過ぎて、そんな練習問題をすることを私は非常に楽しんだ。
幾何は、高校レベルで証明が意味のある唯一の数学分野だと私は思う。
更に、証明を書くことはもう一つ別の素晴らしい練習となる。これは数学に関するのみならず、何故事柄が真なのかを正しい仏語(私の場合)で書かなければならない。
省4
166(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:44 ID:1bZvw6j0(4/16) AAS
>>165 つづき
Raussen and Skau:貴方を輝ける学生として既に認めていたのに違いありません。Jacques Titsもアーベル賞受賞者です。彼は5年前にJohn Griggs Thompson(群論において偉大なる発見に対して)と共に受賞しました。貴方にとって彼は影響力のある教師でしたか?
ドリーニュ:はい。特に初期において。教える際に、最も重要なことは何をしないかとういうことがある。例えば、Titsは群の中心が不変部分群だと教えなければならなかった。
彼は証明を始め、そして止めて、本質的に言った。すなわち、"不変部分群は、すべて内部自己同型を保つ部分群である。中心の定義は出来ている。従ってデータの全対称を保つ。よって、不変であることは明らかだ"。
私にとって、これは意表を突いた事実だった。つまり、対称性の考えのパワーだ。
Titsが証明を一歩一歩進める必要がなく、かわりに対称性が結果を明らかにしているとただ言えたことは私に多大なる影響を残している。
私は対称性を重視し、私の論文のほぼすべてにおいて、対称性ベースの議論がある。
省2
167(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:46 ID:1bZvw6j0(5/16) AAS
>>166 つづき
ドリーニュ:それを話せないが、彼に私の世話を言ったNijs氏だったと思う。当時ブリュッセルに、本当に活発な3人の数学者がいた。Tits自身を別にして、Franz Bingen教授、Lucien Waelbroeck教授。
彼等は毎年異なる分野のセミナーを組織した。私はこれらのセミナーに参加し、バナハ代数(Waelbroeckが得意とした)、代数幾何学のような異なるトピックスについて学んだ。
それから、私の推測だが、彼等の3人が私がパリに行く時期だと決めた。Titsが私をグロタンディークに紹介し、セールの講義と同様にグロタンディークの講義に出席するように言われた。それは素晴らしいアドバイスだった。
Raussen and Skau:部外者にとって、これは少し驚きとなることがあります。Titsが数学者としての貴方に関心を持っているので、彼自身の利益のために貴方を獲得しようとするだろうと人は思うかも知れない。だが、彼はしなかった?
ドリーニュ:そう。彼は私にとって何がベストか分かっており、それに応じて行動した。
代数幾何学
省4
168(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:49 ID:1bZvw6j0(6/16) AAS
>>167 つづき
ドリーニュ:数学において、2つの異なる心持ちが一緒に来る時、いつも非常にいい。デカルトは書いた:"幾何学は偽図形について正しい推論をする技術である"。"図形(Figures)"は複数形だ。
つまり、いろいろな見方を持ち、どれが間違っているかを知ることが大変重要だ。
代数幾何学において、代数学(そこでは方程式を操作出来る)と幾何学(そこでは絵を描ける)両方からの直観を使用出来る。円を描き、方程式x2＋y2＝1を考えるなら、異なるイメージが心に浮かび、一者を他者に対して起用出来る。
円を軌跡するこの方程式は2次だ。これは円が直線と高々2つの交点しかないことを意味する。これは幾何学的にも見る概念だが、代数は更に多くを与える。
例えば、直線が有理方程式で、円x2＋y2＝1との交点の一つが有理座標を持つなら、他の交点も有理座標を持つだろう。
代数幾何学は数論的応用を持てる。多項方程式を考える時、異なる数システムにおいて同じ式を使用出来る。例えば、加法と乗法が定義されている有限集合上で、これらの方程式は組合わせ論的問題となる。
省5
169(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:54 ID:1bZvw6j0(7/16) AAS
>>168 つづき
ドリーニュ:多くのツールをマスターしなければならないので、その分野に入ることは難しいと思う。先ず、コホモロジーは今や不可欠だ。もう一つの理由は、代数幾何学は時期の連続で発展し、其々が固有の言語を持つことだ。
最初はイタリア学派(悪名高き格言"代数幾何学において、定理への反例は役立つ追加物である"によって示されるように、少し不正確だった)。その次にザリスキーとヴェイユはより良い足場に物を付けた。
後にセールとグロタンディークは新しい言語を与え、その言語は非常にパワーフルだった。このスキーム言語では、多く表現出来る。数論的応用ともっと幾何学的側面の両方をカバーする。この言語のパワーを理解するのに時間を必要とする。
もちろん、多くの基礎的定理を知る必要があるが、これが主な障害だとは思わない。最も難しいのは、グロタンディークによって作られた言語のパワーを理解し、どのように私達の通常の幾何学的直観に関係付けるかである。
パリでの見習い
Raussen and Skau:貴方がパリに来た時、アレクサンドル･グロタンディークとジャン＝ピエール･セールに接触しました。これら2人の数学者の第一印象について話していただけますか?
省3
170(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)21:57 ID:1bZvw6j0(8/16) AAS
>>169 つづき
それは本当に異常な体験だった。彼なりに非常にオープンで親切だった。私が出席した最初の講義を憶えている。その中で、彼は"コホモロジーオブジェクト"という表現を何度も使用した。
アーベル群に対するコホモロジーが何であるか知っていたが、"コホモロジーオブジェクト"の意味を知らなかった。講義の後、この表現で意味したことを私は彼に訊いた。
答を知らなければ話すべきポイントは何もないと他の多くの数学者達が考えただろうと私は思う。彼の反応は全くこれではなかった。アーベル圏において長完全列があって一つの写像の核を見るなら、先行写像の像で割る等々と非常に辛抱強く彼は私に話した。
私は一般的でない状況の中で、以下のことをすぐにわかった。彼は無知な人達に非常にオープンだった。同じアホな質問を3回訊くべきでないが、2回はいいと私は思う。
私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。
前年に行った講義を書き上げないかと彼に頼まれたということで私は幸運だった。彼は私にノートを渡した。多くのこと、ノートの内容と数学を書く方法の両方を学んだ･･･。
省4
171(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:01 ID:1bZvw6j0(9/16) AAS
>>170 つづき
セールは全く異なる個性だった。グロタンディークは自然な一般論の中に物事を持つことを好んだ。つまり、全ストーリーを理解すること。
セールはこの重要性を認識するが、美しい特殊ケースを好む。彼はコレージュ･ド･フランスで楕円曲線に関するコースをしていた。
楕円曲線では、保型函数を含んで多くの異なる要素が一緒に来る。セールはグロタンディークよりもずっと広い数学的教養があった。
必要な場合グロタンディークは自身ですべてをやり直し、一方セールは文献のこれ又はあれを見よと人々に語れた。
グロタンディークは極端に読まなかった。彼の古典的イタリア学派幾何学との触合いは基本的にセールとデュドネから来た。
セールがグロタンディークにヴェイユ予想の本質とそれが面白い理由を説明したに違いないと私は考える。
省6
172(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:04 ID:1bZvw6j0(10/16) AAS
>>171 つづき
ヴェイユ予想
Raussen and Skau:貴方の最も有名な結果は、いわゆるヴェイユ予想の(最も難しい)第3番目の証明です。しかし、貴方の業績を語る前に、ヴェイユ予想がとても重要である理由を話してもらえますか?
ドリーニュ:一次元状況における曲線についてヴェイユの以前の定理がいくつかあった。有限体上の代数曲線と有理数の間に多くの類似がある。有理数上で、中心問題はリーマン仮説だ。
ヴェイユは有限体上の曲線に対するリーマン仮説の類似を証明してしまっており、いくつかの高次元状況も見ていた。これが当時、グラスマニアンのような簡単な代数多様体のコホモロジーを人が理解し始めたところだった。
有限体上のオブジェクトに対するある点計数が複素数上で起こったものと複素数上の関連空間の形を反映すると考えた。
ヴェイユがそれを考察した時、ヴェイユ予想には隠された2つのストーリーがある。第一に、明らかに組合わせ論的問題と複素数上の幾何学的問題の間に何故関係があるべきなのか? 第二に、リーマン仮説の類似と何なのか?
省6
173(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:08 ID:1bZvw6j0(11/16) AAS
>>172 つづき
Raussen and Skau:グロタンディークは最終ヴェイユ予想を証明する方法の計画を立てたが、うまく行かなかった。この計画についてコメント出来ますか? 貴方が証明した方法に影響がありましたか?
ドリーニュ:ない。グロタンディークの計画は人々を一定方向のみに考えさせたから、ある意味で証明を見つける障害だった。計画に従って証明出来たならば、他のいろいろ面白いことも説明しただろうから、もっと満足だったであろう。
だが、全計画が代数多様体で十分な代数的サイクルを探すことに依存し、この問題について1970年代から実質何の進歩も無かった。
私は全く違うアイデアを使った。Rankinの研究と彼の保型形式に関する研究により呼起こされている。まだ多くの応用があるが、グロタンディークの夢を実現しなかった。
Raussen and Skau:グロタンディークはヴェイユ予想が証明されてもちろん喜びましたが、それでも少し失望したと聞きましたが?
ドリーニュ:そうです。かつ、良い理由があって。彼の計画が実現したならば、ずっと結構なことだっただろう。彼はもう一つ別の道があるだろうとは考えなかった。
省5
174: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:12 ID:1bZvw6j0(12/16) AAS
>>173 つづき
Raussen and Skau:多くの有名数学者達が最終ヴェイユ予想の貴方の証明を驚異と言って来ています。証明につながるアイデアをどのように得たのか述べてもらえますか?
ドリーニュ:同時に私の自由になる必要なツールを持ったということ、それらのツールが働くだろうと分かったということで私は幸運だった。証明のいくつかの部分はその後Gerard Laumonにより簡略されていて、これらのツールの多くがもはや必要でない。
当時グロタンディークは、代数多様体の超平面切断の族に関するソロモン･レフシェッツの1920年代からの研究を純粋に代数的なフレームワークに加えるアイデアを持った。
特に興味深いのはレフシェッツの命題(後にウィリアム･ホッジによって証明された、いわゆるハード･レフシェッツ定理)だった。レフシェッツのアプローチは位相的だった。
人が考えるかも知れないことと対照的に、もし議論がホッジによって与えられた証明のような解析的であるよりも、議論が位相的ならば抽象代数幾何学へ翻訳する良いチャンスがある。
グロタンディクは私に1924年のレフシェッツによる本L'analysis situs et la geometrie algebrique[訳注: 位置解析と代数幾何学]を見てくれないかと頼んだ。美しく、とても直感的な本であり、私が必要だったいくつかのツールを含んでいた。
省6
176: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:23 ID:1bZvw6j0(13/16) AAS
>>163-174をまとめると
１．”ブルバキの集合論を与えたが、それは一少年に与える当然の選択でない。その時、私は14歳だった。その本を消化するのに少なくとも一年かかった。”
２．”たった16歳で貴方はJacques Titsの講義に行きました。”
３．”1964年11月のブルバキセミナーの間に、私はTitsによりグロタンディークに紹介された。”
４．”私は全くアホな質問をすることを恐れなかったし、この慣習は今日まで続けている。講義に出席する時、私は最前列に座り、分からないことがあれば、たとえ私が答えを知っているだろうと思われていても質問する。”
です
177: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:26 ID:1bZvw6j0(14/16) AAS
>>175
unei? おまえがな
オワコン？ しったことではない
ここは天下のおれのメモ帳、備忘録さ HaHaHa
178: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:32 ID:1bZvw6j0(15/16) AAS
>>162
おっちゃん、どうも
>何で今更になってそういう文章を書いたのか分からんが、
人生って、結局巡り会いかなーと最近思うようになった
ピエール･ドリーニュへのインタビューを読んでもそうだ
>>平凡だが、幸せな人生というものある。
>これは、何を以って幸せというか？ という根本的な問題にかかわることで、
省2
179(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/07/17(金)22:47 ID:1bZvw6j0(16/16) AAS
>>162
おっちゃん、どうも
>>３．ノンスタンダードなんてのも。
>そもそも、超準解析の厳密な扱いには、超積とか基礎論が必要で
>普通の解析と全く違うんだが。或る程度の学習は、さほど難しくはない。
一時の風潮として、「微積はデルタイプシロンでないと数学ではない。ワイエルシュトラス、まんせー！」があった
いまでも残っている
省2
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