現代数学の系譜11 ガロア理論を読む14 [転載禁止]©2ch.net

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483: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 05:56:01.40 ID:+PUkznvl

>>481
ID:sJlPbQYh くんか、面白いねきみ
君には、次の言葉を贈ろう

http://eow.alc.co.jp/search?q=%E8%87%AA%E5%88%86%E3%81%AE%E5%B0%BA%E5%BA%A6%E3%81%A7%E4%BB%96%E4%BA%BA%E3%82%92%E6%B8%AC%E3%82%8B
英辞郎 on the WEB：アルク:
自分の尺度で他人を測る measure others by one's own standard

http://structure.cande.iwate-u.ac.jp/miyamoto/ground/kyoryuchorui.htm
自分の尺度でしか見ようとしない人間　国立科学博物館・地学研究部主任研究官　真鍋　真

恐竜の化石は、発見され岩石の中から削り出された瞬間、初めて人間と出会う。
化石が自己紹介をしてくれたり、分類ラベルが付いてくるわけではないので、古生物学者は、
化石を目で見、ときには複雑な形を手で触り理解し、まずは、その骨が体のどの部分の骨
なのかを知ろうとする。それが太股の骨（大腿骨）であるならば、それがどんな恐竜の大腿骨
なのかを知ろうとする。分からなければ分からないほど、恐竜に自分の古生物学者としての
能力が試されているような気になる。博物館に収蔵されている標本と比較したり、文献を
調べたり、自分のノートや写真といった記録や記憶を総動員して、来る日も来る日も標本と
向かい合うことも少なくない。ずっと分からないこともあれば、何年もして忘れた頃にひょん
なことから分かることもある。

私の大学院時代の指導教官のジョン・オストロム教授（米・イェール大学）は、苦しみに
苦しみ抜いた後に、急に霧が晴れるように理解できる瞬間の快感こそが研究者の喜びだと常々
語っている。オストロム教授は、始祖鳥という最古の鳥類の標本を見続けたある日、突然、
「始祖鳥は羽毛さえなかったら、骨格は恐竜じゃないか」と気がつき、一九七〇年代に鳥類の
恐竜起源説を提唱した。その後、この説を裏付ける証拠が次々と発見され、今では大多数の
古生物学者に受け入れられている。今から六、五〇〇万年前の中生代末に、環境変化に適応
できずに絶滅したと思われていた恐竜は、鳥に姿を変えて現在も繁栄し続けているのだ。
以下略

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/483

487: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 06:25:25.80 ID:+PUkznvl

>>486つづき

この本の何がいい、って、それは「思想臭むき出し」で書いている、ってことだ。なんでだかわからないが、数学者の書いた数学書は無味無臭なものがほとんどだ。
まあ、そもそも数学に思想的なナニカを感じていないのか、感じていても「そんなことは自分で掘り出せ」とばかり無視してるのかもしれない。
かに、プロの数学者になって一生数学で飯を食っていく気なら、数学が内包しているナニカは自分で苦労して理解すべきなのかもしれない。
でも、数学って、数学者(及び、それを目指す人)だけのものだろうか。彼らの独占物なのだろうか。ぼくはそうじゃないと思う。
数学は、人類全体の成果であり、文化であり、宝なんじゃないか、と思う。ならば、数学者(及び、それを目指す人)以外のたくさんの一般人にもその意義が伝えられることが望ましい。
そのためにてっとりばやいのは、数学の持つ「思想」を伝えることである。「思想」というと大仰だというなら、「いったいそれは何をやっているのか」ということを伝えること、と言い換えてもいいだろう。

そういう意味で言えば、海老原円『14日間でわかる代数幾何学事始』日本評論社は、徹頭徹尾、「それはなにをやってるのか」ということを訴え続けるスタイルで書かれている。それはそれはみごとと言っていい。
登場する多くの定理に対して、「それはこういう意味を持っている」という「解釈」を補足してくれている。また、それが何処を目指しているのか、という「少し先の風景」を常に与えながら書いてくれるのだ。

本書は、まず、多変数の多項式の解(零点)の集合である「代数的集合」が、多項式たちの方程式たちよりも「イデアル」と呼ばれる集合で捉えるのが本質的であることを述べている。
「イデアル」とは、「和に閉じていて、倍数に閉じている」ような集合のことで、もとはと言えば整数の集合を扱う中で発見された概念だ。イデアルには、極大イデアルと素イデアルというのがあるのだが、その双方が代数的集合を表現する上で非常に本質的であることがわかる。
これらのことを本書では、次のように説明している。
以下略 引用おわり

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/487

497: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 10:43:16.67 ID:+PUkznvl

>>496 さらに補足

以前にも書いたが、日wikipediaで、左のEnglishのリンクをクリックすると、対応するその言語の記事に飛べる
だから、できるだけ英文記事をチェックするようにした方が良い。で、Zariski_topologyは下記URLなんだ
https://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_topology

で、対訳検討を続ける
英
Just as in classical algebraic geometry, any spectrum or projective spectrum is compact, and if the ring in question is Noetherian then the space is a Noetherian space.
However, these facts are counterintuitive: we do not normally expect open sets, other than connected components, to be compact,
and for affine varieties (for example, Euclidean space) we do not even expect the space itself to be compact.

日
まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。
しかし、これらの事実は、直感とは食い違い、連結空間であること以外に、開いた集合をコンパクトとすることを期待することはできなく、アフィン多様体（例えば、ユークリッド空間）に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。

＜コメント＞
１．前半の文は、”to be compact”が、classical algebraic geometryの場合と違って、期待できないという。これは、ザリスキー位相では良く語られることではある。
　　日文では、ここ、いまいち訳がこなれていない。開いた集合→開集合だし
つづく

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/497

498: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 10:45:10.25 ID:+PUkznvl

つづき

英
This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.
Grothendieck solved this problem by defining the notion of properness of a scheme (actually, of a morphism of schemes),
which recovers the intuitive idea of compactness: Proj is proper, but Spec is not.

日
これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。
グロタンディエクは、この問題をスキームの固有性（英語版）(properness)という考え方（実際、スキームの射）を定義することにより解決した。
この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。
しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。

＜コメント＞
１．”ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。”は、もとの英文も悪い
　 ”This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.”で、the geometric unsuitabilityは、in classical algebraic geometryを補わないとすんなり読めない
２．”Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。”は、proper＝固有としているが、誤訳だろう。proper＝適切じゃないかな
　　で、Projは、英版では上の方でProjective varietiesという項目があるから、これだろうと。が、日版だと、射影多様体とあるから、分かるうやつしか分からん
　　Proj（Projective varieties（射影多様体））くらい補ってやると、サル（おいら）でも分かるとなるだろうさ
（recover→再現という訳も微妙（別の適切な表現がありそう）という気がする）
対訳検討おわり

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/498

513: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 12:46:39.67 ID:+PUkznvl

>>505
1977版より引用
8 What Is Algebraic Geometry?
Now that we have met some algebraic varieties. and have encountered some
of the main concepts about them. it is appropriate to ask. what is this subject
all about? What are the important problems in the field, and where is it
going?
To define algebraic geometry, we could say that it is the study of the
solutions of systems of polynomial equations in an affine or projective
n-space. In other words, it is the study of algebraic varieties.
略
One caution about working in extreme generality. There are many advantages
to developing a theory in the most general context possible. In
the case of algebraic geometry there is no doubt that the introduction of
schemes has revolutionized the subject and has made possible tremendous
advances. On the other hand, the person who works with schemes has to
carry a considerable load of technical baggage with him: sheaves, abelian
categories, cohomology, spectral sequences, and so forth. Another more
serious difficulty is that some things which are always true for varieties may
110 longer be true. For example, an affine scheme need not have finite dimension,
even if its ring is noetherian. So our intuition must be supported
by a good knowledge of commutative algebra.
In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.
（引用おわり）

要は、”In this book we will develop the foundations of algebraic geometry using
the language of schemes, starting with the next chapter.”ってことか・・

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/513

515: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 13:11:36.83 ID:+PUkznvl

>>513 つづき

1977版より引用。Deligne (1974)のヴェイユ予想解決までは入っているんだね
Appendix C The Weil Conjectures
Theorem 4.5 (Deligne [3])略

This result completes the solution of the Weil conjectures. Note that it
implies that the polynomials ?j(t) of (4.2) are the same as those of (1.3), and
hence the two definitions of the Betti numbers agree.
We cannot describe the proof of Deligne's theorem here, except to say
that it relies on the deeper properties of I-adic cohomology developed in
[SGA 4J, [SGA 5J and [SGA 7]. In particular it makes use of Lefschetz's
technique of fibering a variety by a "Lefschetz pencil," and studying the
monodromy action on the cohomology near a singular fihre.

3. La conjecture de Weil, I, Publ. Math. IHES 43 (1974),273-307.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3
ヴェイユ予想(Weil conjectures)は、有限体上の代数多様体の上にある点を数えることから導出される（合同ゼータ函数として知られる）母函数についての、非常に広い範囲に影響のある提案で、Andre Weil (1949)によりなされた。
リーマン予想の類似はDeligne (1974)により証明された。

新しいホモロジー論を構成するというアレクサンドル・グロタンディーク(Alexander Grothendieck)と彼の学派の仕事の中心的な目的を果たすことに、20年を要した。

グロタンディークは代数的サイクルの標準予想を基礎とした証明を展望した。(Kleiman 1968)
しかし、グロタンディークの標準予想は、未解決（ただし、ドリーニュによりヴェイユ予想を拡張することで証明された強レフシェッツ定理を除く）であり、
リーマン予想の類似は Deligne (1974)でエータル・コホモロジーを使うことにより、ドリーニュの独創的な議論により標準予想を使うことを避けて証明された。

Deligne (1980)ヴェイユ予想の一般化が証明され、層のプッシュフォワードのウェイトが有界であることが示された。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/515

518: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/08/09(日) 13:25:39.71 ID:+PUkznvl

>>516 つづき
お嫌いですか、en.wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_geometry
Algebraic geometry
ontents
略
3 Computational algebraic geometry
3.1 Grobner basis
3.2 Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD)
3.3 Asymptotic complexity vs. practical efficiency
4 Abstract modern viewpoint
5 History
5.1 Prehistory: before the 16th century
5.2 Renaissance
5.3 19th and early 20th century
5.4 20th century
6 Analytic geometry
7 Applications
8 See also
9 Notes
10 Further reading
11 External links
History 20th century 1970以降抜粋
After a decade of rapid development the field stabilized in the 1970s, and new applications were made, both to number theory and to more classical geometric questions on algebraic varieties, singularities and moduli.

An important class of varieties, not easily understood directly from their defining equations, are the abelian varieties, which are the projective varieties whose points form an abelian group.
The prototypical examples are the elliptic curves, which have a rich theory. They were instrumental in the proof of Fermat's last theorem and are also used in elliptic curve cryptography.

In parallel with the abstract trend of the algebraic geometry, which is concerned with general statements about varieties,
methods for effective computation with concretely-given varieties have also been developed, which lead to the new area of computational algebraic geometry.
One of the founding methods of this area is the theory of Grobner bases, introduced by Bruno Buchberger in 1965.
Another founding method, more specially devoted to real algebraic geometry, is the cylindrical algebraic decomposition, introduced by George E. Collins in 1973.

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/518

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