くだらねぇ問題はここへ書け

くだらねぇ問題はここへ書け (899ﾚｽ)
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839: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/27(金) 07:34:38.88 ID:0tUKGzM/

10^d ≧ 1/2 ( 10^c + 10^d ) > 2^(b-1)
d ≧ (b-1) log_10 2

2^a( 2^(b-a) + 1 ) = 10^c( 10^(d-c) + 1 )
∴ a=b or c=d or ( a≠b, c≠d, a=c )

Suppose c=d, d>0
2^a( 1+2^(b-a) ) = 2⋅10^d        ∴ b ≡ a ( mod 2 )
2^a( 1+4^((b-a)/2) ) = 2⋅10^d   ∴ (b-a)/2 ≡ 1 ( mod 2 )
d = v_5( 4^((b-a)/2) - (-1)^((b-a)/2) ) = v_5((b-a)/2) + 1 < log_5 b + 1 (∵ LTE)
∴ b = log_2 2^b
< log_2( 2^a+2^b)
= log_2( 10^c+10^d )
< d log_2 10 + 1
< (log_5 b+1) log_2 10 + 1
∴ b≦5
∴ RHS ≦ 64
∴ LHS = 20
∴ (a,b,c,d) = (2,4,1,1)

Suppose a=b
2⋅2^a = 10^c ( 1 +10^(d-c) )  LHS cannot be a multiple of 5.   ∴ c=0.
2⋅2^a =  1 +10^d RHS is even only if d = 0 ∴ a=b=c=d=0

Suppose a≠b, c≠d, a=c
2^(b-a)+1 = 5^c(10^(d-c)+1)           ∴ b ≡ a ( mod 2 )
1+4^((b-a)/2) = 5^c(10^(d-c)+1)     ∴ (b-a)/2 ≡ 1 ( mod 2 )
c = v_5( 4^((b-a)/2) - (-1)^((b-a)/2) ) = v_5((b-a)/2) + 1 < log_5 b + 1 (∵ LTE)
5^c - 1 = 2^b - 5^c 10^(d-c)
v_2( 5^c - 1 ) = 2 + v_2(c) ≦ 2 + log_2(c) < 2 + log_2( log_5 b + 1 )
v_2( 2^b - 5^c 10^(d-c) ) ≧ min{ b, d-c } > (b-1) log_10 2
(b-1) log_10 2 < 2 + log_2( log_5 b + 1 )
∴ b ≦12
∴ LHS ≦ 3144
∴ RHS = 1100, 1010, 1001, 110, 101, 11
∴ no roots.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/839

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