[過去ﾛｸﾞ] 1=0.999・・・ その15.999・・・ (1001ﾚｽ)
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1(9): 2008/08/23(土)10:14 AAS
一応激しい論議の結果、回答テンプレートが作成されました >2-5
今後書き込む際には、できるだけまず回答テンプレートを参照してから、それをふまえて行ってください。
また、回答テンプレートへの意見なども自由に書き込んでください。
前スレ
1=0.999… その 9.999… 2chｽﾚ:math
1=0.999… その10.999… 2chｽﾚ:math
1=0.999… その11.999… 2chｽﾚ:math
省3
2(3): KingMind ◆FMcOvuHCU. 2008/08/23(土)10:15 AAS
Reply:>>1 乙。
3(3): 2008/08/23(土)10:16 AAS
Q1: 1=0.999… か?
A1 ｢前提条件｣により｢1=0.999…｣なり｢1≠0.999…｣なり変わる｡
しかし、通常はその様な前提条件を採用する事の利点や、過去の経緯を考えると
｢1=0.999…｣であるとした方が妥当である｡
Q2:｢1=0.999…｣は証明可能なのではないか｡
A2:A1の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は
無意味である｡
省7
6(3): 2008/08/23(土)10:19 AAS
⑤ 1≠0.999…だとすれば、その間に数がある事になるが､その様な数が
あるとし、各桁毎に比較する事でその値を考えてみても､
1の位は比較して0、小数第1位以降は比較して9、と、結局
0.999…を得る事になり、0.999…と1の間の数にならないので矛盾｡
⑥ 1と0.999…を足して2で割った数は
1.999…/2=0999…となり、x=0.999…と置くと、(1+x)/2=x
よって、x=1となる｡
8(6): 2008/08/23(土)10:19 AAS
Q7:Q6の初等的証明とは具体的にどの様な物があるのか?
A7:
① 1/3=0.333…
2/3=0.666…
3/3=0.999…
∴ 1=0.999…
② x=0.999… と置いて
省8
10(3): 2008/08/23(土)10:20 AAS
Q8:1≠0.999…となる数学モデルは具体的にどの様な物があるのか?
A8:違う表記の数を全て違う数と看す体系など幾つか挙げられる｡
但し、どれも実数の拡大体と言えなくなった体系ばかりになっている｡
例えば、減法が成り立たなくなる等した例がWikipediaに記されている｡
Q&Aは以上。以下、参考文献
Wikipedia - 0.999...
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省4
12(3): 2008/08/23(土)10:21 AAS
Level.1
納得仕切れずも取り敢えず1=0.999…を認める
Level.2
1/3=0.333…は認めらるが1=0.999…は認められない
Level.3
1=0.999…を認められぬ余りに1/3=0.333…も否定し始める
Level.4
省11
42(3): 2008/08/25(月)21:50 AAS
Q3に違和感
結局は同等になるが
1=1-0
0.999…
=lim[n→∞]Σ[k=1,n]{9*0.1^n}
=lim[n→∞]{1-0.1^n}
=1-0
省2
97(3): 2008/11/18(火)15:12 AAS
試験で、回答が1になる時、
例えば、2-1＝0.9999・・・・
と書いてみろ。多分不正解になる。
135(3): 2008/12/02(火)10:52 AAS
自然数、正数、実数...の概念なんて数学やってれば誰でも知ってるよ、
そんな事を自分だけ知ってるとしたり顔でほざけば自分の平凡な頭脳を高等化できるとでも思ってるの？
＞最後にデデキントの切断あるいは有理コーシー列を用いて実数を構成すると、
＞明確な数として認識される。お前がそれを知らないだけ。要するに
うん、それは知らないな。でも実数について勉強する気にはなれない。
あなたはそれをすでに理解しているんだから、
早く√２の実数解を教えてください。
154(3): 2008/12/18(木)21:24 AAS
有理数の切断を勉強して、それを実数の定義として受け入れたら納得できた。
ああすっきりした。
188(3): 2009/01/30(金)01:10 AAS
「0.999…≠1且つ有用な系が確立されぬ以上はこの論争が絶える日は来ない｣
「0.999…≠1且つ有用な系は存在し得ない｣
∴ 永久にこの論争が絶える日来ない
201(3): 2009/02/09(月)20:54 AAS
昨日違うスレで教えて貰ったんだけど、数直線で１の左隣（０側）に数は特定できないんだよ。
自分も１の左隣に0.9999……があると思ってたんだ。
もし、１の左隣が0.9999……なら、１と0.999……の間に数直線上で差があるよね。
差があるってことは、その差を2で割った数もあるってことだよね。１からその割った数を引いた数は0.999……より１に近いよね。
これっておかしいよね。
じゃあ、0.999……は数直線上のどこにあるの？１の左隣でないことはわかった。１の左隣は特定した瞬間、左隣じゃなくなってしまうんだから。だから、0.999……を１の左となりと特定することはできないよね。
0.999……は確かにすう直線上に存在している。しかも、１の左隣では無い位地に。
209(3): 2009/02/10(火)21:20 AAS
>>207
>だから１－０．９９９・・・＝０．０００・・・・＝０．０００・・・
ところが理解できない奴にとっては
０．０００・・・１（無限に０が続いた後に１が来る）
という風に理解してるから困る。
211(3): 2009/02/10(火)23:41 AAS
>>201
0.9999……は1から無限小だけ左に移動したところにある。
220(3): 2009/02/11(水)22:31 AAS
無限に近づく ＝ 一致
それを無限と定義。
これじゃ駄目っすか
266(3): 2009/03/13(金)00:26 AAS
オッケー。
では辞書的順序判定の真偽判定に委ねてみよう。
A=a0.a1a2a3…
と
B=b0.b1b2b3…
の大小判定をしたい。
普通の感覚で言えば、ak>bk なる最大の k が見つかれば、
省5
318(3): 2009/03/22(日)12:50 AAS
>>299
帰納法は「任意の有限」についての証明だからね。
任意の有限＝無限と考える人にとっては
0.999...=1は理解できないんだろうけど。
405(4): 2009/05/02(土)09:22 AAS
確かに1/3*3=3/3=1ってことになるけど
俺は小数までで考えてみた。
0.999…=1
これを2乗すると、
0.999…^2=1^2
0.999…=1 一見変わっていない様だけど0.999…の方は、僅かだけど小さくなってるのは確か。
省3
410(3): 2009/05/02(土)11:41 AAS
>>409
お前らノリ良すぎｗｗｗ お前らの方が面白いなｗｗ
424(8): 2009/05/04(月)17:11 AAS
正の数xの四捨五入nの定義は
n (整数nに対しn≦x<n+0.5の時)
n+1 (整数nに対しn+0.5≦x<n+1の時)
なので6になる
440(3): 2009/05/04(月)23:23 AAS
四捨五入はガウス記号で [x+0.5] だから
[5.4999…+0.5]＝[5.999…]＝6
でいんじゃね？
471(3): 2009/05/05(火)19:36 AAS
ケンシロウ>>279
天帝拳>>188
498(3): 2009/05/06(水)21:13 AAS
>>494
結局、煽って逃亡か。
533(4): 2009/05/16(土)16:21 AAS
>>532
＞0.999…は利用価値なし＝メリット０ ≠デメリット だから、言っていることに矛盾
確かに…。
じゃあ、いろいろなメリットっていうのは、
・「小数点より上の部分」は「整数部分」と一致したほうがわかりやすい
・すべて有理数が、ただ1通りの方法で小数表示できるようになる
のことを言ってた、ってことにしといてください。
省5
544(3): 2009/05/16(土)22:55 AAS
ぜんぜんだめ
563(3): 2009/05/18(月)17:33 AAS
>>562
何でだろ・・・
598(3): 2009/06/30(火)00:09 AAS
結局は｢0.999…｣の定義の問題ではないだろうか？
｢0.999…｣という数値が｢1に極限まで近い数字｣として定義されているなら勿論｢1≠0.999…｣
｢1と同値であるがそれを表現しきれないので便宜上このように書かざるを得ない｣のであるならば｢1=0.999…｣
つまり定義自体がそのまま回答なのだから論議すること自体無意味と。
個人的には｢1=0.999…余り0.00…001｣と表現すれば全て解決じゃね？と思うんだが
例えば5÷3の答えは、小数点以下を１桁ずつ下まで求めていくと
｢1余り2｣｢1.6余り0.2｣｢1.66余り0.02｣｢1.666余り0.002｣｢1.666…余り0.0…02｣
省6
639(3): 2009/07/09(木)15:31 AAS
>>633
極限を認めないんだから
1-0.999…=0.000…≠0
っていうスタンスだと、1≠0.999…派はいうんだから
じゃあ、それを延長すると
1≠0.999…
3/3≠0.999…
省4
672(3): 631 2009/07/20(月)06:29 AAS
やっと理解できた（気がする）
ε-δ論法辺りでググってみると、極限の「限りなく近づく」という曖昧さが消える。
0.999...9と9がN個続く有限の数として定義すると、
0 < |1-0.999...9(N+1)| < |1-0.999...9(N)|
となり、N=∞の時、「限りなく0に近づく」(極限の考え方ここまで)
また、「全てのNについて成り立つ」ので、N=∞の時、
1 = 0.999...(証明終了)
省2
717(6): 2009/09/24(木)18:21 AAS
結論が出ていないのか？答えは ≠ だ。見れば分かるだろ？
証明？する必要がない。これが成立するなら限りなく近い値同士はイコールになり
すべての数がイコールで成り立つ。数値、大小関係の概念を壊すぞｗ
757(3): 2009/10/08(木)07:25 AAS
>>735
意味不明。それらがイコールで成立するなら
1に満たない値が1とイコールになるわけだが？？？
当然、それを等価とした場合、数学的帰納法を用いれば
０と無限大の値はイコールで成立しますよ？
761(4): 2009/10/08(木)08:11 AAS
極限や無限なども話しに出るが、それも限りなくそれらの値が近い、近づく、
収束するといった条件があるが、値そのものがイコールで表せるわけではない。
裏を返せば、限りなく0に近い差の値どうしは限りなく近い値と言える程度だろう。
とにかく騙されるな！数学的帰納法が裏で銃を構えてますよ？ｗ
限りなく0に近い値でも、数多く積み重ねればそれなりの差になります。
それが、1も2も3も同等とせざるをえない結論になってしまう要因になる。
ですので、限りなく0に近い値の差を無視しないで下さいね。
省2
802(7): 2009/10/08(木)21:51 AAS
で、どうやって０＝無限大を証明するの？
数学的帰納法で証明できるんでしょ？
早く証明してよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
0.999…＝1が成り立つと仮定する。
このとき、０と無限大の値がイコールで成立することを、
数学的帰納法で示す。
省14
805(8): 2009/10/08(木)21:56 AAS
>>801
無限小数「0.a1a2a3…」の定義から、0.999…＝1という等式が出る。
各項が0から9までの整数であるような数列{an}に対して、次のＰを満たす
実数αのことを「0.a1a2a3…」という記号列で書き表す(これが無限小数の定義)。
Ｐ：任意の正の実数εに対して、ある自然数Mが存在して、n＞Mのとき常に
｜Σ[k＝1～n]ak/10^k－α｜＜εが成り立つ。
an＝9 (∀n∈N)とおいたときには、α＝1が上のＰを満たすので、
省1
820(3): 2009/10/08(木)23:04 AAS
自分と意見の一致しない人を罵倒して人格否定しても
事実までは捻じ曲げられませんからｗ
早く 1 = 0.999・・・を証明してくれませんか？
勝手に人間がこじつけてイコールで結んだだけで
成立するんですか？それじゃ男＝女でも構いませんよね？ｗ
829(3): 2009/10/09(金)00:17 AAS
>>805は証明できてないと思うけど。
定義書いただけだよね。
>>an＝9 (∀n∈N)とおいたときには、α＝1が上のＰを満たすので、
これの証明がない。
837(3): 2009/10/09(金)00:57 AAS
理に適った証明は出来なかったようですね。そういうことで。
所詮、人間が勝手に、都合よくこじつけただけの勘違いなんですよｗ
876(3): 2009/10/09(金)20:07 AAS
>>873
もう1つ書いておく。
＞つまり0.999… は初項0.9公比0.1の無限等比級数だから１になるの証明にはならないじゃない？
「無限級数」もまた、極限値で定義されている。
無限級数の定義：
数列anが与えられたとき、Sn＝Σ[k＝1～n]ak という新たな数列Snを作る。
そして、この数列Snの極限値を「Σ[k＝1～∞]ak」または「a1＋a2＋a3＋…」という
省4
901(3): 2009/10/09(金)21:13 AAS
では逆に問うが、1/3 = 0.333・・・と記述しているが
0.999・・・は分数でどのように表現しますか？
ほれ、書いてみろや？出来ないだろ？ｗ
そうやって人間が都合よく解釈しただけで
実質的なことは無視した結果なんだよｗ
消費税だって小数点以下が無視されることもあるご時世だ。
お前らは 1 = 0 とも言い出しそうだなｗ
902(3): 2009/10/09(金)21:15 AAS
なんか0.999…≠1という意見が出てきたけど
＞「0.999…」という記号列は、「1に向かって行く数列」を表す記号なのではなく、
＞「1に向かって行く数列の極限値」を表す記号
は信じて良いの？
しつこいけど
910(9): 2009/10/09(金)21:28 AAS
>>906
結局、質問には答えないんだなｗ
そして、相手の人格攻撃しか出来ない。
君、本当に苦しい戦いですね。
ラチがあかないので、こちらで勝手に議論を進めることにしよう。
0.999…＜1だとすると、0.999…は1よりも少し小さいから、その
足りない分をεとおけば、0.999…＋ε＝1が成り立つ。当然、
省12
912(10): 2009/10/09(金)21:51 AAS
昔にくらべてえらく議論が高度になったなぁ・・・・
（特にテンプレ）
>>910
0.999…9999＜0.999…
0.00…1＞0.00…（無限小）
上記２式は成り立つのだろうか？
私は0.999…999＝0.999… だと思う。
省3
913(4): 2009/10/09(金)21:51 AAS
反論するならきちっと相手が主張した意見を論破するなり
自分の主張をしっかりして下さいねｗ
そもそも、イコールの使い方を間違った、都合よく解釈してしまった
人たちの哀れな結末なんですよ、このスレはｗ
928(4): 912 2009/10/09(金)22:11 AAS
>926
>0.999…＋ε＝1が成り立つ。当然、
>ε＞0である。よって、εを無限小数展開すると、ある桁には
>0でない数字が出てくることになる。その桁をω桁目だとする。
この時点でωは有限ではない。
したがって、0.99…99が有限個をあらわすのであれば、
x＝0.000…001 (ω桁目だけが1) この表記は成り立たない。
省1
933(3): 912 2009/10/09(金)22:19 AAS
0.999…＜1の仮定から、
x＝0.000…001 と表記できることを示さなければならないが、示されていない。
したがって、証明自体がウソなのであり、0.999…＜1がウソといえたわけではない。と思う。
まず、仮定から、0.999…＋ε＝1が成り立つところまでは問題ない。
ここでε≠0も間違いない。
しかし、εが有限桁で1となるかどうかは不明である。
ε≠0ならば、εは有限桁で1となると主張するのは、
省4
943(3): 912 2009/10/09(金)22:32 AAS
ε＝0.000… これが0といえるのなら、
0.999…=1 はまさに明らか。
問題はε=0.00…が0かどうかでしょう？
いや、これが0となるのも私は理解してますよ。
しかし、そこを証明すべきなのじゃないかと思うのです。
そこを証明しないまま、
0.999…=1を証明できましたといわれても、そりゃそうだとしかならない。
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