福島事故原発の取り壊し方法を考えるスレδ (67ﾚｽ)
上下前次1-新
31: 07/13(日)23:50 AAS
さて現象的な八元数の話は前リプの程度でだいたい入門書の内容で
コンウェイの本はもっと内容が多いが今回は上周辺を出来るだけ導いてみよう。
内積・共役の記号を使う。
内積は <a,b> = a0 b0 + a1 b1 + … + a7 b7
共役は a~ = a0 - a1 - … - a7
内積の値は実数、共役の値は八元数である。
八元数だからと言って、a0 b0 - a1 b1 - のようなのは基本には置かない。
八元数には他に、積で閉じる3つ組についてだけ、または残りの4虚数についてだけ、
負号を付ける演算も有り得る。四元数で時空でさらに4つで超対称性のような気も
しているがどうなんだろう。そのうち回答が付くかも。
こういう記号を用いてなるべく具体成分にまで降りずに操作記号の演算をする。
まず内積の非退化性定理
任意のbについて<a,b> = <a',b>、ならa = a'
aとa'がk成分で違っていたら、b=(0,…,bk,…,0)とするときはじめから違っているはずだからである。
距離と内積は成分からも平易
|a|^2 = <a,a>
よって公理は2乗で取って
<a b, a b> = <a,a> <b,b> と書ける。
また<a,1> = a0だから
a~ = 2 a0 - (a0 + a1 … a7) = 2 <a,1> - a
示すべきことは移項規則、内積フルビッツ代数、交代代数規則、ムーファン規則、そしてフルビッツ結合定理である。
またこの辺のことは16元数でも計算機プログラムを作れば平易に成否を調べられようし、
設定したい性質の順位の希望を持ちながら積の規則を総当たりで作りながら
8元数を見つけることは出来、先の方にも目安を付けることは出来るだろう。
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