[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
703: 03/08(日)08:25 ID:UaV65Mpp(2/8) AAS
>>701と被ったw
私の疑問点はそこだけです。
704: 03/08(日)08:25 ID:qwue3QyI(5/11) AAS
イヤこれで>>1の人の能力が知れてよかった
705: 03/08(日)08:32 ID:I4WT0RHF(5/20) AAS
>>695
>リーマン問題でベクトル束を使うときは
>注意が必要
お経ですが AIさん 丸写し （成否不明ｗ） （＾＾
(google検索)
リーマン問題でベクトル束を使うときは 注意が必要
AI による概要
リーマン問題（特にRiemann-Hilbert問題や、リーマン多様体上の解析、部分多様体論）でベクトル束（Vector Bundle）を使用する際には、幾何学的・代数的な構造に起因するいくつかの注意点があります。主に、平坦性、自明性、曲率の扱いにおいて慎重な議論が求められます
具体的には以下の点に注意が必要です。
1. ベクトル束の自明性と大域的切断の存在
省17
706(2): 03/08(日)08:49 ID:UaV65Mpp(3/8) AAS
>>696
>f^-1(w1),f^-1(w2)は仮定より有限集合なの
>で、
>Z がハウスドルフ ⇒ 有限集合は閉（各点が>閉だから有限和も閉）。
>よって f^-1(w1),f^-1(w2)は閉集合。
ここは全て「開」に直せませんかね？
直したものの補集合を閉写像で飛ばせば、何とかなりませんか？
707(3): 03/08(日)08:55 ID:dH1Au/5H(1/12) AAS
院試の勉強している人へ：
数日前に書いたオイラーの定数γの証明は間違っているかと思ったが、
Case1)を少し訂正して更に場合分けすれば矛盾が導けるようになっていて、
背理法によりγは有理数であることがいえるようになっていた
意外なことに、前回書いた証明での細かい小細工の一部は不要だった
全部書くと長いから、最後のγの有理性の証明の部分だけ書く
708(3): 03/08(日)08:57 ID:qwue3QyI(6/11) AAS
あと
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
分離していることを示すにはそれ必要じゃ無いかな
>明らかに （＊ちょっと略している）
略しすぎ
709(1): 03/08(日)08:58 ID:UaV65Mpp(4/8) AAS
>>707
わざわざありがとうございます。
私は添削にタッチしないので、他の方に任せます。
たぶん、競争になると思うのでw
710(1): 03/08(日)09:01 ID:dH1Au/5H(2/12) AAS
AA省
711(1): 03/08(日)09:03 ID:dH1Au/5H(3/12) AAS
(>>710の続き)
Case1)：nが偶数のとき。このときnに対して或る正の整数 m(n) が存在して n＝2m(n) である
よって、k≧2 に注意すれば、 p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2 から
q_{2m(n)}/p_{2m(n)}≧2/p_{2m(n)} であるから、
γ−2/p_{2m(n)}≧γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＞0
故に、kに対して或る2以上の整数 n(k) が存在して、
q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k) なる
γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} は
0＜|γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}|＝γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n))^2＜|γ−1/(p_{2m(n)})|
を満たす。γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k)
省5
712(1): 03/08(日)09:08 ID:dH1Au/5H(4/12) AAS
Case1-1)：2 と p_{2m(n)}} とが互いに素なとき
このとき、γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} について
2/p_{2m(n)}＜q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜γ であって、
2＜q_{2m(n)}＜q_{2m(n)}/γ＜p_{2m(n)}
であるから、ユークリッドの互除法により、
既約有理数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} の
分母の p_{2m(n)} と分子 q_{2m(n)}} が互いに素であること、
及び p_{2m(n)}≧4 なることに注意して、γ を上から評価すれば
γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n)})^2 から
γ＜q_{2n}/p_{2m(n)}＋1/(p_{2m(n)})^2≦2/p_{2n}＋1/(p_{2n})^2≦2/4＋1/4^2＝9/16
省3
713(1): 03/08(日)09:09 ID:qwue3QyI(7/11) AAS
>>706
そんな小手先では無理でしょう
714(2): 03/08(日)09:11 ID:dH1Au/5H(5/12) AAS
(>>711-712の続き)
Case1-2)：2 と p_{2m(n)}} とが互いに素でないとき。
p_{2m(n)}} は素数2を約数に持つから p_{2m(n)}≧4 から p_{2m(n)} は4以上の偶数である
よって、p_{2n} に対して或る2以上の整数Aが存在して p_{2n}＝2A である
同様に考えれば、2＜q_{2n} から q_{2n} は3以上の奇数であるから、
q_{2n} に対して或る正の整数Bが存在して q_{2n}＝2B＋1 である
故に、q_{2n}/p_{2n}＝(2B＋1)/(2A) である
q_{2n}＜γp_{2n}＜p_{2n} と γ＜58/100＜3/5 とから (50/29)q_{2n}＜p_{2n} であって、
p_{2n}＝2A、q_{2n}＝2B＋1 から (50/29)(2B＋1)＜2A であるから
100B＋50＜58A、即ち B＜(29/50)A−1/2 である
省5
715(1): 03/08(日)09:12 ID:UaV65Mpp(5/8) AAS
>>713
マジか、大幅に考え直す必要があるのか…。
716(1): 03/08(日)09:16 ID:qwue3QyI(8/11) AAS
>>715
まずf^-1(w1)は閉であって（一般に）開でないから>>706
>ここは全て「開」に直せませんかね？
どう直すつもりなの？
717(2): 03/08(日)09:19 ID:dH1Au/5H(6/12) AAS
(>>714の続き)
Case2)：nが奇数のとき。このとき n≧k≧2 からnは3以上の奇数であるから、
nに対して或る正の整数 m(n) が存在して n＝2m(n)＋1 であって、n＋1＝2(m(n)＋1) である
γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
は確かに存在する。よって、n＋1 をnで置き換えて、2(m(n)＋1) を 2m(n) で置き換えて、
Case1)の議論と同様な議論を繰り返せば、γの第(2m(n)＋1)次近似分数について矛盾を得る
Case1)、Case2)から、起こり得るすべての場合について矛盾を得る。よって、矛盾が生じる
γを無理数と仮定したことから矛盾が導けたから、背理法が使える
故に、背理法を適用すれば、γは有理数である
718(1): 03/08(日)09:23 ID:oLc0wnXg(2/26) AAS
AIに>>701−702のツッコミを報告した結果
ーーー
(ii)の証明で指摘された点は確かに正しく、
私の最初の説明では不十分でした。
あれだとT1空間（一点集合が閉）しか示せておらず、
ハウスドルフ（T2）の定義である「disjointな開近傍で分離」を満たしていませんでした。
申し訳ありません。
修正した正しい証明を以下に示します。
ポイントは、Z上の有限点集合A = f^{-1}(w_1)とB = f^{-1}(w_2)を、
Zのハウスドルフ性を使ってdisjointな開集合U, Vで分離し
省4
719(8): 03/08(日)09:23 ID:oLc0wnXg(3/26) AAS
>>718のつづき
正しい証明
Wの任意の相異なる2点w_1 ≠ w_2を取る。
A = f^{-1}(w_1) は有限集合（仮定より）。
Zがハウスドルフなので、各点は閉、よってAは閉。
同様、B = f^{-1}(w_2)は有限閉集合。
明らかにA ∩ B = ∅（さもなくばfがw_1 = w_2に写す）。
Zがハウスドルフなので、
各a_i ∈ A（i=1,...,p）と閉集合B（a_i ∉ B）に対して、
a_i ∈ U_i（開）, B ⊂ V_i（開）, U_i ∩ V_i = ∅ が存在する。
省29
720: 03/08(日)09:24 ID:UaV65Mpp(6/8) AAS
>>716
有限集合なら、自由に閉とか開とか考えられるのかと思って…。
あそこに書いた以上のことは、もう私には無理かと。
なんかスレ住人の気配がしないので、もう少し待ちたいところですね。
（証明を書かれた方も、戻られていない感じですし。）
721: 03/08(日)09:26 ID:UaV65Mpp(7/8) AAS
>>719
ありがとうございます。
ゆっくり確認しておきます。
722(3): 03/08(日)09:30 ID:I4WT0RHF(6/20) AAS
>>698-701 >>708
赤ペン先生ありがとうございます
スレ主です
１）
>今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
それｍ点集合だから閉ですね
↓
滑っているので訂正
”今、開近傍Ua'1,Ua'2,・・Ua'm たちの和集合をUAmとする”
（これで 開になりました）
省31
723(3): 03/08(日)09:35 ID:qwue3QyI(9/11) AAS
>>719
>f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
>>708
>オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
と書いたのはこれね
724(2): 03/08(日)09:35 ID:dH1Au/5H(7/12) AAS
>>707
競争って、何の競争のこと？
725: 03/08(日)09:38 ID:UaV65Mpp(8/8) AAS
>>724
乙さんの証明は難解で長いけど、比較的早く返信が来るイメージがあるということ。
特に深い意味は無いですw
726: 03/08(日)09:40 ID:dH1Au/5H(8/12) AAS
>>709
自己レスしてしまったが、>>724は>>707ではなく、>>709へのレス
727(1): 03/08(日)09:42 ID:I4WT0RHF(7/20) AAS
>>722 追加
５）
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
↓
そこは >>686 の”a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは異なる（∵例えば a'1＝b'n ならば 射の定義に反する）”
で言及したつもりです
>>696の”z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）”
は うまい書き方と思った
但し 赤ペン
省5
728(2): 03/08(日)09:43 ID:oLc0wnXg(4/26) AAS
>>686の証明を、AIに見せた結果
ユーザーが提示した証明は、本質的に正しいです。
私の前の修正版とほぼ同じアイデアを、より直感的・逐次的に記述したもので、
大学院入試レベルの解答としては十分に合格点を取れる内容だと思います。
ただし、厳密に書くならいくつか細かいツッコミどころ（曖昧さや省略）があるので、
それを修正・補強した形で評価します。
「二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る」
→ 正確に言うと：O_a = W - f(UAm^c)
（開、a ∈ O_a なぜなら A ⊂ UAm ⇒ f(A) = {a} ∩ f(UAm^c) = ∅）
O_b = W - f(UBm^c) （同様）
省9
729: 03/08(日)09:46 ID:oLc0wnXg(5/26) AAS
>>723
AIの指摘と符合しますね
730: 03/08(日)09:46 ID:dH1Au/5H(9/12) AAS
>>717の
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
>は確かに存在する。
は
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2(m(n)＋1)}≧k q_{2(m(n)＋1)}≧2
>は確かに存在する。
の書き間違い
731: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/08(日)09:47 ID:I4WT0RHF(8/20) AAS
>>723
(引用開始)
>>719
>f(Z-U) ∪ f(Z-V) = f( (Z-U) ∪ (Z-V) ) = f( Z - (U ∩ V) ) = f(Z - ∅) = f(Z) = W（f全射）。
>>708
>オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
と書いたのはこれね
(引用終り)
そっちか
全く閃かなかったな >>727は大外しか
省1
732: 03/08(日)09:50 ID:dH1Au/5H(10/12) AAS
>>717のCase2)の
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2
>は確かに存在する。
は
>γは無理数と仮定しているから、無理数γの第(2m(n)＋1)次近似分数
>q_{2(m(n)＋1)}/p_{2(m(n)＋1)} p_{2(m(n)＋1)}≧k q_{2(m(n)＋1)}≧2
>は確かに存在する。
の書き間違い
733: 03/08(日)09:52 ID:dH1Au/5H(11/12) AAS
あれ？
どういう訳か、内容がほぼ同じレスを2回してしまった
734(1): 03/08(日)09:57 ID:oLc0wnXg(6/26) AAS
266がオミゴトといった
157の証明を（）で追記した結果
基本的に719と同じ
AIに訊いて確認済
「w, w' を任意にとる。
F, F'をw,w' のファイバーとする。
ZがハウスドルフでF,F'は有限集合だから
開集合U,U' をF⊂U、F'⊂U' 、U∩U' = φ と選べる。
G = f(Uᶜ), G'=f(U'ᶜ) とすれば、
w∉G、w'∉G'、 G∪G' = W
省5
735: 03/08(日)09:58 ID:oLc0wnXg(7/26) AAS
私的結論
「MunkresのTopology読め」（笑）
736: 03/08(日)10:22 ID:dH1Au/5H(12/12) AAS
>>714の
>よって、p_{2n} に対して或る2以上の整数Aが存在して p_{2n}＝2A である
>同様に考えれば、2＜q_{2n} から q_{2n} は3以上の奇数であるから、
>q_{2n} に対して或る正の整数Bが存在して q_{2n}＝2B＋1 である>
>故に、q_{2n}/p_{2n}＝(2B＋1)/(2A) である
>q_{2n}＜γp_{2n}＜p_{2n} と γ＜58/100＜3/5 とから (50/29)q_{2n}＜p_{2n} であって、
>p_{2n}＝2A、q_{2n}＝2B＋1 から (50/29)(2B＋1)＜2A であるから
>100B＋50＜58A、即ち B＜(29/50)A−1/2 である
の部分の「n」は「m(n)」の書き間違い
737(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/08(日)10:39 ID:I4WT0RHF(9/20) AAS
>>728
ご指導ありがとう
スレ主です
>私の前の修正版とほぼ同じアイデアを、より直感的・逐次的に記述したもので、
>大学院入試レベルの解答としては十分に合格点を取れる内容だと思います。
ありがとう
まあ、種本見て カンニングしながらだからね（＾＾
なお、細かい点の赤ペンは >>722 な
>「二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る」
>→ 正確に言うと：O_a = W - f(UAm^c)
省8
738(1): 03/08(日)10:55 ID:Uiv+CXBk(1/3) AAS
カンニングして赤ペンされるの草
739(1): 03/08(日)11:03 ID:oLc0wnXg(8/26) AAS
>>737
>種本見て カンニングしながらだからね
だろうと思った
種本って何？
カンニングしてまでマウントするとか病気だろ
740(3): 03/08(日)11:30 ID:I4WT0RHF(10/20) AAS
>>719
Grok AIの答案に 院試答案の視点から 赤ペン先生
まず 院試答案とは？
ふつうは
１）採点者は2人で 大学教員
２）模範答案と 採点基準がある。2人で採点して 大きく違うと 協議して 採点修正する
３）採点答案は戻らない。どんな採点されようが 文句言えない
４）採点者は、”こいつ 分っているか？”、”こいつ 合格させて良いか？”の視点で見られる
５）あくまで 学部レベルの勉強を見る。学部レベル以上の知識をひけらかしても 点になるは不明
６）答案の日本語表現も採点のうち。日本語をしっかり書くべし
省30
741(1): 03/08(日)11:36 ID:Uiv+CXBk(2/3) AAS
>>740
>>549
742(1): 03/08(日)11:42 ID:I4WT0RHF(11/20) AAS
>>738-739
>カンニングして赤ペンされるの草
実力不足ですｗ （＾＾
>種本って何？
過去に読んだ 位相空間論のテキストとか ネット情報から
内心の“big picture”>>25 があるんだ
それを ぼんやり眺めながら
それで >>686 東北大 <合格体験記>の証明荒筋と付き合わせてね
記憶があいまいなので 主に wikipediaで ハウスドルフの定義や 閉と開 を眺めた
最後の書き方が 浮かばなかったのは 実力不足です
省1
743: 03/08(日)11:47 ID:I4WT0RHF(12/20) AAS
>>741
>740
>549
ありがとね
おれは 基本 この5ch便所板では
”証明ごっこ”は しないのだが （＾＾；
今回は （ニコ） (^^)君へと
折角 卓越大の院試ネタが来たので
学部生への 例外の特別サービスです
744(2): 03/08(日)11:53 ID:oLc0wnXg(9/26) AAS
>>740 >>742
AIかく語りき
ーーー
結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
かなり現実的で有効なアドバイスです。
なぜ「訓詁学っぽくない」のか
訓詁学的な「古文をそのまま暗唱せよ」みたいな盲信じゃなく、
Munkresは現代の標準教科書として世界中で使われていて、
証明のスタイル・視点・厳密さが大学院レベルにぴったり合ってる。
省15
745(1): 03/08(日)11:53 ID:oLc0wnXg(10/26) AAS
>>744の続き
ただし、注意点（これ守らないと訓詁学化する）
全部読めじゃなくて、
**第2章（Topological Spaces & Continuous Functions）〜第4章（Countability & Separation Axioms）**
あたりを重点的に。
日本語の入門書（松坂・内田）と併用がベスト。
Munkresは英語だけど、証明の論理の流れがクリアなので、数学英語に慣れる意味でも一石二鳥。
問題演習を並行しないと「読んだだけ」になって訓詁学まがいになる（笑）。
THK大過去問＋MunkresのExercisesを解くのが王道。
要するに、「正解したいならMunkres読め」はダメどころか、かなり的確な一言。
省3
746: 03/08(日)11:55 ID:oLc0wnXg(11/26) AAS
(^^)はいい仕事した
１はもうちょっとカンニング成功だったが詰めで失敗した
やっぱなんも理解せずにカンニングはダメだな
もうこれからの人生、囲碁将棋に全振りしろ １
747: 03/08(日)12:27 ID:Uiv+CXBk(3/3) AAS
囲碁将棋に全振りしてもソフト指ししそうｗ
748: 03/08(日)13:06 ID:I4WT0RHF(13/20) AAS
>>697
>開リーマン面上のベクトル束は自明
御大の一言はむつかしい
門前の小僧
習わぬ経を検索する （＾＾
(google検索)
開リーマン面上のベクトル束は自明
<AI による概要>
開リーマン面（コンパクトでない1次元複素多様体）上のベクトル束は、位相的に自明（trivial）であるという命題は、一般的に真です。これは、開リーマン面が、ホモトピー同値として1次元CW複合体（グラフ）に縮小可能であり、その上でのベクトル束の分類が自明な束に帰着するためです。
・開リーマン面の性質: コンパクトではないリーマン面は、ステイン多様体（Stein manifold）であり、位相的に2次元以下の細胞複合体にホモトピー同値です。
省4
749(2): 03/08(日)14:29 ID:oLc0wnXg(12/26) AAS
素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑）
1. ベクトル束って何？（例も）
ベクトル束とは、
「空間（底空間）の各点に、ベクトル空間がくっついているもの」
で、しかも「くっつき方が滑らか（連続的・微分可能）」な構造のことです。
正式には
・底空間 B の上にある空間 E があって 各点 b ∈ B にファイバー（繊維）と呼ばれるベクトル空間 E_b が対応
・全体として E → B が「局所的には自明」（後述）に見える
というものです。
一番分かりやすい例（一番大事な例）
省32
750(2): 03/08(日)14:32 ID:oLc0wnXg(13/26) AAS
>>749の続き
素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑） ２
2. ベクトル束が自明（trivial）って何？
自明なベクトル束
＝ 全体がただの直積 X × V になっているもの
（V は固定のベクトル空間で、各点に同じものが「まっすぐ」くっついている状態）
イメージ： 底空間の形に関係なく、どこを切っても同じベクトル空間が平行に並んでいる
「ねじれ」や「メビウス的な捻じれ」がまったくない
自明な例
省13
751(1): 03/08(日)14:35 ID:oLc0wnXg(14/26) AAS
>>750の続き
素人の１にもわかるベクトル束の説明をAIに訊いてみた（笑） ３
3. 自明かどうか、どうやって判別するの？
初心者レベルで現実的に使える判定方法を優先度順に並べるとこんな感じです。
優先度
方法
使える場面・難易度
コメント
省35
752(1): 03/08(日)14:43 ID:oLc0wnXg(15/26) AAS
>>749-751を踏まえて
追加質問
空間が１点に収縮可能な場合、そのベクトル束は自明になりますか？
回答
はい、普通に考えている状況（特に微分幾何やトポロジーの文脈でよく出てくるケース）では
「はい、自明になります」 が正しい答えです。
ただし、少しだけ条件や注意点があるので、丁寧に整理します。
標準的な場合（ほぼすべての教科書・講義で成立するケース）
底空間 B が contractible（収縮可能） で、かつ以下のいずれかが成り立つとき：
・B が paracompact（パラコンパクト）である
省24
753: 03/08(日)14:44 ID:oLc0wnXg(16/26) AAS
>>752の続き
まとめ（初心者レベルで覚えておくべき結論）
底空間のタイプ
すべてのベクトル束は自明か？
備考
ℝ^n、開球、ユークリッド空間
はい
教科書の標準例
コンパクトな contractible 多様体
はい
省12
754: 03/08(日)14:51 ID:DqmMFf+Z(1/4) AAS
AA省
755(3): 03/08(日)15:37 ID:I4WT0RHF(14/20) AAS
>>744-745
(引用開始)
AIかく語りき
ーーー
結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
かなり現実的で有効なアドバイスです。
略
Munkresは現代の標準教科書として世界中で使われていて、
証明のスタイル・視点・厳密さが大学院レベルにぴったり合ってる。
省33
756(1): 03/08(日)15:51 ID:oLc0wnXg(17/26) AAS
>>755 AIに訊いてみた（こればっか）
Munkresの前半（Part I: General Topology）が、松坂・内田とほぼ重なるコア部分です。
項目
松坂『集合・位相入門』
内田『集合と位相』
Munkres Topology (前半)
集合論・論理の基礎
詳しい
詳しい
最初にしっかり（長い）
省39
757(2): 03/08(日)15:56 ID:oLc0wnXg(18/26) AAS
AIかく語りき
James R. Munkres（ジェームズ・レイモンド・マンクレス、1930年生まれ）は、
トポロジストというよりは数学教育者・教科書著者として圧倒的に有名な人です。
専門分野は位相幾何学（特に一般位相と代数トポロジー）ですが、
研究者として超大物というより、MITで長年教鞭をとりながら、
学生に「わかりやすい教科書」を作ることに力を注いだタイプの数学者ですね。
簡単に経歴
1930年生まれ、アメリカ人。
PhDはUniversity of Michigan（ミシガン大学）で1955年頃取得。
1960年からMIT数学学科の教授（2000年頃に名誉教授・Senior Lecturerに）。
省6
758(1): 03/08(日)15:57 ID:oLc0wnXg(19/26) AAS
>>757の続き
なんでこんな本を書いたのか？
本人の直接的なインタビューや「執筆動機」みたいな公式発言はあまり表に出てないんですが、
いろんな情報（Wikipedia、MITのページ、昔の学生の回想、YouTubeの講義動画コメント、書評など）から
推測される理由はだいたいこれ：
当時のトポロジー教科書が学生にとって読みにくかった
1970年代前半（初版1975年頃）は、位相の教科書といえば
Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本や、
KellyのGeneral Topologyみたいな古典が主流。
でもこれらは「定義→定理→証明」の羅列が多く、
省15
759(1): 03/08(日)16:14 ID:I4WT0RHF(15/20) AAS
>>755 補足
Munkresさん 下記な
1930生まれか。御大もまだまだ これからだね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
James Raymond Munkres (born August 18, 1930) is an American mathematician and academic who is professor emeritus of mathematics at MIT[1] and the author of several texts in the area of topology, including Topology (an undergraduate-level text), Analysis on Manifolds, Elements of Algebraic Topology, and Elementary Differential Topology. He is also the author of Elementary Linear Algebra.
Among Munkres' contributions to mathematics is the development of what is sometimes called the Munkres assignment algorithm. A significant contribution in topology is his obstruction theory for the smoothing of homeomorphisms.[3][4] These developments establish a connection between the John Milnor groups of differentiable structures on spheres and the smoothing methods of classical analysis.
He was elected to the 2018 class of fellows of the American Mathematical Society.[5]
Textbooks
Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc.
省6
760: 03/08(日)16:34 ID:I4WT0RHF(16/20) AAS
>>756-758
ご苦労さまです
(引用開始)
当時のトポロジー教科書が学生にとって読みにくかった
1970年代前半（初版1975年頃）は、位相の教科書といえば
Bourbaki風の超抽象的・厳密すぎる本や、
KellyのGeneral Topologyみたいな古典が主流。
でもこれらは「定義→定理→証明」の羅列が多く、
動機付けや直観が薄いと学生から不評だったらしい。
MITの授業で自分で使いたかった
省20
761(1): 03/08(日)16:45 ID:8jsYIC+b(1/7) AAS
それぞれの分野の、名著とかを語っても面白いかもね。
他スレでは和書に厳しく、洋書を有難がる人もいそうだけど。
762: 03/08(日)16:58 ID:qwue3QyI(10/11) AAS
語れよ
763: 03/08(日)17:08 ID:oLc0wnXg(20/26) AAS
>>759
Munkresの本は厳密性は捨ててないよ
ただ、動機付けとか例とか図解とか
論理以外の点も面倒見てる点で
素晴らしいってことで
Bourbakiは、読みやすくはないけど
基礎からどう詰みあがっているか
再構築したことは評価される
歴史的順序を漫然と踏襲しても
必ずしも分かりやすくはならない
省1
764: 03/08(日)17:13 ID:8jsYIC+b(2/7) AAS
手始めに、誤植レベルの間違いは良いけど、明らかな誤りは厳しいよね。
そんな本があるのか知らないけど。
（語れるほど知らないから、とりあえず曖昧な話で濁す。あまりネガキャンは趣味じゃないのでw）
765(2): 03/08(日)17:14 ID:I4WT0RHF(17/20) AAS
>>755
>結論として「正解したいなら、Munkresの”Topology”読め」は、訓詁学っぽくなくて全然アリですよ（笑）。
>むしろ大学院入試（特にTHK大数学専攻みたいな証明重視の問題）で位相空間の深い理解を求める文脈では、
>かなり現実的で有効なアドバイスです。
余談だが
思うに 下記
東北大の問題を 分析すると それほど 高度な位相空間の知識は要求していない
むしろ 院試の現場思考ができるかどうかが問われていると思う
つまり、2の(1)は、商位相をOYによる 位相空間(Y,OY)を 試験の現場で きちんと具体例で分析する力が求められている
（商位相のキチンとした理解と その応用力）
省38
766: 03/08(日)17:19 ID:oLc0wnXg(21/26) AAS
>>765
はっきりいうけど、今まで一度も考えたことにないことを
いきなり試験会場で思いつくなんてことは・・・まずないよ
「勉強する」と一言でいうけど
どれだけ事前に経験を積んでいるか
ってことがすべてだよ
研究が大変なのは、新しい結果を出すのに
どれだけ試行錯誤という経験を積む必要があるのか
まったくわからないから
経験積むことすっ飛ばして
省3
767: 03/08(日)17:20 ID:8jsYIC+b(3/7) AAS
合格体験記の方は（1）が出来なくても受かったのなら、ボーダーがよく分かりませんね。（専門科目の方で頑張られたか？）
他の合格された方では、専門科目で呆然としていたという動画を見た。
768(3): 03/08(日)17:26 ID:I4WT0RHF(18/20) AAS
>>765 追加
大学入試当時ね
東大の問題とか ムズすぎでね
大学への数学の学コンも チラ見だけで やった記憶無い
あんなの解ける人は えらいと思うよ
当時の大学への数学に
牛刀を用いて鶏を割くという話と
逆の話があった
要するに 入試問題を 大学レベルの数学の定理の簡単な例から落として
それを 高校範囲の数学で解かせる（誘導つきで）
省6
769(2): 03/08(日)17:35 ID:oLc0wnXg(22/26) AAS
＞牛刀を使えば
そういう発想はやめたほうがいいと思うなあ
「なんかよくわかんないけどこの呪文を唱えると魔法で解決」
みたいな感じでしょ
そんなことうやってると必ず理解できなくなるから
わけもわからずクラメールの公式
わけもわからずケイリー・ハミルトンの定理
省2
770: 03/08(日)17:43 ID:TR5/QsZr(1) AAS
わけもわからず箱入り無数目は間違ってるーーーーーー
771(1): 03/08(日)17:45 ID:oLc0wnXg(23/26) AAS
零因子の件でいうとケイリーハミルトンの定理で
最小多項式まで求まってるんなら、
零因子は証明できるよ
ただ、それって何かキモチ悪くね？
772(1): 03/08(日)18:02 ID:8jsYIC+b(4/7) AAS
>>771
細かくて申し訳ないですが、「固有」多項式ではなく「最小」多項式ですか？
私は最小多項式の具体的な求め方を、詳しく知りません。
まあ愚直に調べれば、分かりそうですが…。
（行列の次数が高くなると、かなり面倒そうです。）
773(1): 03/08(日)18:08 ID:oLc0wnXg(24/26) AAS
>>772
零因子の証明をするなら
固有多項式では不十分で
最小多項式まで求める必要があります
ただ、その場合固有多項式の解を求める必要があるので
もう線形代数の範囲を逸脱しまくりで「なにやってんだ俺」
みたいな感じになるので全然おすすめしません（笑）
普通に掃き出し法で証明できるし
774: 03/08(日)18:10 ID:8jsYIC+b(5/7) AAS
>>773
ありがとうございます。
まあ、基礎を大切にですね。
775: 03/08(日)18:28 ID:DqmMFf+Z(2/4) AAS
AA省
776: 03/08(日)18:28 ID:DqmMFf+Z(3/4) AAS
AA省
777: 03/08(日)18:28 ID:DqmMFf+Z(4/4) AAS
Slot
🌸🍜🍜
🎴🎰💰
👻🌸💣
(LA: 1.53, 1.32, 1.18)
778(1): 03/08(日)19:36 ID:8jsYIC+b(6/7) AAS
>>719
ざっと見ましたが、最初の流れは「コンパクトハウスドルフ空間が正規」の証明に近いと思います。
自力では気がつかなかったですね。
779(2): 03/08(日)20:10 ID:I4WT0RHF(19/20) AAS
AA省
780(1): 03/08(日)20:24 ID:oLc0wnXg(25/26) AAS
>>779
＞真逆を言っているんだけど
>>768
＞解説の裏話で、これ 大学数学の定理の例一つで
＞牛刀を使えば すぐ解けるんだよと
矛盾した文章を平気で書ける●違いでしたか
781(1): 03/08(日)20:25 ID:oLc0wnXg(26/26) AAS
矛盾に気づかない人に数学は絶対理解できない
782: 03/08(日)21:22 ID:qwue3QyI(11/11) AAS
>>769
ですね
783(2): 03/08(日)21:50 ID:I4WT0RHF(20/20) AAS
>>780-781
>＞解説の裏話で、これ 大学数学の定理の例一つで
>＞牛刀を使えば すぐ解けるんだよと
>矛盾した文章を平気で書ける●違いでしたか
ｗ大内部進学生には、大学受験の苦労は分らないかも・・（＾＾
典型例が 下記の大学入試の”ロピタルの定理”
たしか 大学への数学誌でも 出てきた記憶あるが
確認用であって
記述試験では使わずに済ます方が無難で 確認用だと
3元連立方程式のクラメール公式も同じ
省27
784: 03/08(日)22:06 ID:8jsYIC+b(7/7) AAS
ロピタルの定理を使いたがる人は、易しい解き方に気づいてないだけなんじゃないですかね？
前から思っていたことですが、具体的な問題を探すのを面倒臭がっていたので、実情がよく分かっていません。
785(9): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/09(月)00:32 ID:dTh/hnwA(1/8) AAS
>>686 戻る
<答案改訂> (>>722 >>723の赤ペンを入れた訂正版 また >>728のAIを参考にした)
(ii) は真
<証明>
ハウスドルフ空間とは、異なる点がそれらの開近傍によって分離できるような位相空間のことである
さて W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数) とする
a'1,a'2,・・a'm たちと b'1,b'2,・・b'n たちは 互いに異なる
省31
786: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/09(月)00:42 ID:dTh/hnwA(2/8) AAS
>>734
>ロピタルの定理を使いたがる人は、易しい解き方に気づいてないだけなんじゃないですかね？
>前から思っていたことですが、具体的な問題を探すのを面倒臭がっていたので、実情がよく分かっていません。
（ニコ） (^^)君か
コメントありがとうございます
１）まず 高校数学と 大学数学に分ける
大学数学では、ロピタルの定理であろうが その教程内のことは自由につかえる
高校数学で 計算問題なら 数値が合えば良いから 無問題
高校数学で ロピタルの定理を使うと 多分 模範解答から外れるのと
どういう扱いをされるか不明なのと
省4
787: 03/09(月)00:49 ID:N87kw4Hp(1) AAS
f（0）=0のときは分母に-0、分子に-f（0）を加えて0での微分に持っていく解法を見たことがあります。
それを知らない人が、困っているんじゃないかと思います。
（∞/∞のケースは、厄介だと感じますが。）
788: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/09(月)00:55 ID:dTh/hnwA(3/8) AAS
>>785 タイポ訂正
（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は複組まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）
↓
（ もし f(UAm^c) U f(UBm^c) ≠ W とすると f(UAm^c) U f(UBm^c)に含まれないWの点wがとれて その逆像 w'1・・w'k が存在し それらは UAm^c∪UBm^c は含まれないことになるが UAm^c∪UBm^c ＝Zに矛盾）
789(6): 03/09(月)06:50 ID:2N1fnoRR(1/4) AAS
>>785のゴタゴタした箇所をすっきりさせた
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
さて W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n
(n,mは1以上の整数) とする
a'1,a'2,・・a'm たちと
b'1,b'2,・・b'n たちは
互いに異なる
省18
790(1): 03/09(月)07:14 ID:2N1fnoRR(2/4) AAS
>>789の続き
ーーーーーーーーーー
fが閉写像ならば
UA^c、UB^cが閉なので
f(UA^c)とf(UB^c)も閉
fは全射なので
f(UA^c) U f(UB^c) = W
（ もし f(UA^c) U f(UB^c) ≠ W とすると
f(UA^c) U f(UB^c)に含まれないWの点wがとれて
その逆像 w'1・・w'k は UA^c∪UB^c の要素でないが
省12
791(2): 03/09(月)08:16 ID:TpCHvbDQ(1/4) AAS
>>783
>内部進学生には、大学受験の苦労は分らないかも
要らない苦労はしないほうがいいかも
「ロピタルの定理」は大学１年の頃のＫ教授から聞いた
なんか大学入試のときにこれを使うのがどうたらこうたらいう話
まあでも高校生にこれが証明できるかといえばできないだろうなぁ
だってなにが前提として許されるか明確でないから
＞3元連立方程式のクラメール公式
そもそも3次正方行列のサラスの公式から知らんかったよ
外積で計算する方法知ってれば一般ｎ次で対応できるし
省7
792(1): 03/09(月)08:19 ID:TpCHvbDQ(2/4) AAS
>>791
>EGAやハーツホーン通りを暗記した人が
>単に暗記を吐き出したような答案を書いたら
暗記しかできない人は数学やっちゃだめだよ
苦しむだけだから
理解は暗記じゃないのかって？
あくまでも主観だけど違うと思うよ
793: 03/09(月)08:36 ID:1XYQuITa(1/128) AAS
AA省
794: 03/09(月)08:36 ID:1XYQuITa(2/128) AAS
AA省
795: 03/09(月)08:36 ID:1XYQuITa(3/128) AAS
AA省
796: 03/09(月)08:39 ID:tH07yjW6(1/3) AAS
外積∧は多重線形性を満たす
ei∧ei＝0 ei∧ej＝-ej∧ei
(a11*e1 + a21*e2 + a31*e3)∧(a12*e1 + a22*e2 + a32*e3)∧(a13*e1 + a23*e2 + a33*e3)
= a11*a22*a33(e1∧e2∧e3)+a11*a32*a23(e1∧e3∧e2)+a21*a12*a33(e2∧e1∧e3)+a21*a32+a13(e2∧e3∧e1)+a31*a12*a23(e3∧e1∧e2)+a31*a22*a13(e3∧e2∧e1) ?
e1∧e3∧e2
=-e1∧e2∧e3
e2∧e1∧e3
=-e1∧e2∧e3
e2∧e3∧e1
=-e2∧e1∧e3
省12
797: 03/09(月)09:01 ID:zNn8RxAI(1/2) AAS
まあ、大学入試で外積使うのはナシね
外積の正当化なんか答案に書いてる暇ないし（笑）
798: 03/09(月)10:17 ID:z2QzFjL9(1/13) AAS
>>792
理解とは理解したことを使う方法が自然と出て来ることじゃないかね
単に解ったというだけがその入口
次第に感触が見えてくるようになって
どう使えるか自然と出て来るようになるはず
799: 03/09(月)10:19 ID:z2QzFjL9(2/13) AAS
>>791
>だってなにが前提として許されるか明確でないから
適用できない時に適用してしまう間違いもあるわね
800(1): 03/09(月)10:22 ID:z2QzFjL9(3/13) AAS
>>789
>
>各a'iに対して
>開近傍Ua'iと分離可能な
Ua'ijね
801(1): 03/09(月)10:25 ID:z2QzFjL9(4/13) AAS
>>785
>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
a'2∈UB1ですね
それを小さくする仕方が不明
それは簡単に分かるはず
というか定義の仕方で逐次にする必要もまったくないのでもう少し考えるべき
>これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
小さくするのに和集合？
802(1): 03/09(月)10:28 ID:z2QzFjL9(5/13) AAS
有限性が使われてないのでアレ？と思わなくてはいけない
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 200 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.068s