[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）11 (1002ﾚｽ)
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1(23): 2022/07/31(日)15:45 ID:QgOwogiU(1/6) AAS
クレレ誌：
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。
(引用終り)
そこで
現代の純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）スレとして
新スレを立てる（＾＾；
＜前スレ＞
純粋・応用数学（含むガロア理論）10
2chｽﾚ:math
省16
903: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:22 ID:HDZ6pZhB(41/57) AAS
初等整数論
他の分野の数学的手法を使わずに問題に取り組む、数論の中で最も基礎的な土台をなす。
フェルマーの小定理やオイラーの定理、平方剰余の相互法則などはこの分野の成果である。
904: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:23 ID:HDZ6pZhB(42/57) AAS
代数的整数論
扱われる対象は整数というよりも代数的整数である。
従って、代数的な整数論と読むよりも代数的整数の論と読む方が正しいと考えられる。
ガウスの整数を研究したカール・フリードリヒ・ガウスが
おそらくこの分野の創始者である。
体論はこの分野の基礎的根幹であって、
ガロア理論は（他の数学においてもそうだが）基本的な道具である。
代数体のアーベル拡大の統制を記述する類体論も、この分野の大きな成果である。
元来の岩澤理論もここに分類されよう。
905: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:24 ID:HDZ6pZhB(43/57) AAS
解析的整数論
微積分や複素関数論等の解析学的手法を用いて問題に取り組む。
この分野は初めて解析的な手法を系統的に数論に応用したディリクレに始まるとされる。
その弟子であるベルンハルト・リーマンによって
すでにこの分野の（ひいては数論）の最大の未解決問題である
リーマン予想（1859年）が提示されたのは興味深い。
素数定理の証明（1896年）はこの分野の一里塚である。
ゼータ関数、保型関数を研究するのもこの分野であって、超越数論とも関係が深い。
906: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:25 ID:HDZ6pZhB(44/57) AAS
数論幾何学
整数論の問題を、代数幾何の手法で研究する、あるいは代数幾何の主対象である
代数多様体（もっと広くスキーム）の整数論的な性質を研究する分野である。
ディオファンタスによる研究（初等整数論の範疇）から考えても、その起源は古いが、
現代的な意味での数論幾何学の始祖はアンドレ・ヴェイユ
（合同ゼータ関数に関する研究、モーデル・ヴェイユの定理の証明のほか、
任意の体上での代数幾何学の研究など）といえるだろう。
1950年代後半以降のアレクサンドル・グロタンディークらによるスキーム論および
それに関連する各種理論の発展により、爆発的な発展を遂げ、
現在では数論の中核に位置しているといえる。
907: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:26 ID:HDZ6pZhB(45/57) AAS
フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、
他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。
しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。
908: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:27 ID:HDZ6pZhB(46/57) AAS
ガウスは次のような言葉を残している。
「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」
909: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:28 ID:HDZ6pZhB(47/57) AAS
整数論は、永らく実用性は無いと言われてきたが、
近年暗号（RSA,楕円曲線暗号）や符号により
計算機上での応用が発達しつつある。
910: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:31 ID:HDZ6pZhB(48/57) AAS
ということで、
代数的整数論ならガロア理論使うし文句ないだろ
目標は類体論の理解ってことで
とかいうと、他の人が
「俺は解析的整数論やりたい」
とかいいだすんだよな
まあ、当人は、そういうだけで実は全然詳しくないんだけど・・・
911: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:33 ID:HDZ6pZhB(49/57) AAS
歴史
古代ギリシア
数論はヘレニズム後期（紀元3世紀）のギリシア人数学者らに最も好まれた研究対象で、
エジプトのアレクサンドリアで活動したアレクサンドリアのディオファントスは、
自らの名が（後に）冠されたディオファントス方程式の
様々な特殊ケースを研究したことで知られている。
ディオファントスはまた、線型不定方程式の整数解を求める方法について考察した。
線型不定方程式とは、解の単一の離散集合を得るには情報が不足している方程式を指す。
例えば、x+y=5 という方程式は、x と y が整数だとしても解が無数に存在する。
ディオファントスは多くの不定方程式について、
省2
912: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:37 ID:HDZ6pZhB(50/57) AAS
インド
中世インドでも数学者らはディオファントス方程式を深く研究しており、
線形ディオファントス方程式の整数解を求める体系的手法を初めて定式化した。
アリヤバータは著作『アーリヤバティーヤ』（499年）の中で
線型ディオファントス方程式 ay+bx=c の整数解の求め方を初めて明確に記している。
これを「クッタカ法」と呼び、ディオファントス方程式の解を連分数を使って表すもので、
アリヤバータの純粋数学における最大の貢献とされている。
アリヤバータはこの技法を応用し、重要な天文学上の問題に対応する
連立線型ディオファントス方程式の整数解を求めるのに使った。
彼はまた不定線型方程式の一般的解法も見つけている。
省19
913: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:39 ID:HDZ6pZhB(51/57) AAS
中世イスラム
9世紀以降、アラビア数学は数論を熱心に研究するようになった。
先駆者とされる数学者はサービト・イブン＝クッラで、
友愛数を求めるアルゴリズムを発見したことで知られている。
友愛数とは、2つの異なる自然数の組で、
自分自身を除いた約数の和が互いに他方と等しい。
10世紀にはイブン・タヒル・アル＝バグダディが
サービト・イブン＝クッラの手法を若干変えた手法を見つけている。
10世紀のイブン・アル・ハイサムは
偶数の完全数（その数自身を除く約数の和がその数自身と等しいもの）
省20
914: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:43 ID:HDZ6pZhB(52/57) AAS
ヨーロッパ
13世紀、レオナルド・フィボナッチは著書の1つとして
『平方の書』 (Liber Quadratorum) を書いた。
その中でピタゴラス数を扱っている。
彼は平方数が奇数の和として記述できると記している。
彼は合同数の概念を定義し、ab(a + b)(a - b) という形で表される数は
a + b が偶数ならば合同数であり、
a + b が奇数ならばそれを4倍したものが合同数だとした。
フィボナッチは x^2+C と x^2-C が共に平方数ならば
C が合同数であることを示した。
省16
915: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:46 ID:HDZ6pZhB(53/57) AAS
近代数論の始まり
18世紀の終わりにルジャンドルの『数の理論に関する試作』
（Essai sur la Théorie des Nombres、1798年）が出版される。
19世紀に入って出版されたガウスの『算術研究』
（Disquisitiones Arithmeticae、1801年）は、
近代数論の扉を開いたとされている。
合同についての理論はガウスの著作『算術研究』が始まりである。
彼は次のような記法を導入した。
a ≡ b (mod c)
そして、合同算術について広く考察している。
省14
916: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:50 ID:HDZ6pZhB(54/57) AAS
19世紀
コーシー、ポアソン（1845年）、そして特にエルミートも数論に貢献している。
3次形式の理論についてはアイゼンシュタインが先駆者であり、
彼と H. J. S. Smith が形式論全般について注目に値する進展をもたらした。
Smithは3元2次形式を完全に分類し、ガウスの実数の2次形式を複素数へと拡張した。
4個から8個の平方数の和で表せる数の探求はアイゼンシュタインが進展させ、
Smithが理論として完成させた。
ディリクレはこの問題についてドイツの大学で初めて講義を行った。
彼は他にもフェルマーの最終定理
x^n+y^n≠z^n (x,y,z≠0,n>2)
省8
917: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:52 ID:HDZ6pZhB(55/57) AAS
20世紀
20世紀の数論における大きな出来事として次のようなことが挙げられる。
・1920年代には、高木貞治、エミール・アルティン、フィリップ・フルトヴェングラーらが
類体論を創始し、1930年代にヘルムート・ハッセやクロード・シュヴァレーが発展させた。
・1940年代にアンドレ・ヴェイユがヴェイユ予想を発表し、
バーナード・ドゥワーク、アレクサンドル・グロタンディーク、ピエール・ルネ・ドリーニュらが
その証明に取り組んだ。
・1961年の M. B. Barban の成果に基づき、1965年にエンリコ・ボンビエリらが
「ボンビエリ＝ヴィノグラドフの定理」を定式化した。
・1960年代後半にロバート・ラングランズがラングランズ・プログラムを提唱し、
省6
918: やっぱ数学は整数論でしょ 2022/12/18(日)19:59 ID:HDZ6pZhB(56/57) AAS
ところでヒルベルトの第１０問題の解決は論理学と考えられているようである
FRACTRAN
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
919: 2022/12/18(日)20:23 ID:TXiL9yxC(4/4) AAS
此処に来て中島みゆきか。だが、時代は回らない
∵ 痴情で枯死
♪流行りーばかりーを追ーってー コピペーばかりーを貼ーってー
♪SetAはーホーラーばーかーりー吹いーてるー
920: ◆nu1CsB1UiBUP 2022/12/18(日)20:56 ID:HDZ6pZhB(57/57) AAS
コピペ・ダメ・ゼッタイ
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
921(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/18(日)23:54 ID:NiRCfpma(1/2) AAS
どうも
出かけていたら
名古屋の新幹線のトラブルに巻き込まれてね
さっき帰ってきた
さて
>>841
>・まず、Q(a1,a2,a3,a4,a5)/Q（既約方程式の全ての根を添加した体）
>はガロア拡大である。
>・Q(a1,a2,a3,a4,a5)=Kとおくと、Kの数がQ上みたす既約方程式の根は
>すべてKに含まれる。（ガロア拡大の性質。）
省8
922(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/18(日)23:56 ID:NiRCfpma(2/2) AAS
>>921
つづき
２）
ところで
ついでに>>715
「1はa^{1/5}にガロア群を作用させるとζ_5が出てくることさえ分かってない。」
についても、けり付けて下さい
１）ガロア群Gの定義
２）作用域Λの定義
３）”群Gを作用させるとζ_5が出てくること”の証明
省18
923: 2022/12/19(月)03:52 ID:hS59ELf3(1/5) AAS
>>921>納得した
と心から言うなら
>>922くらい自分で考えなよ。
自分で考えなきゃ、一生コピペバカのままだぞ？
924(1): 2022/12/19(月)03:53 ID:hS59ELf3(2/5) AAS
>>875->>894
ワロタ。昨日は〇っちゃんまで来ていたのかｗ
925(1): 2022/12/19(月)04:04 ID:hS59ELf3(3/5) AAS
>>871
>ヴァンデルモンド行列の逆行列で
「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
巡回方程式限定で考えたことがほとんどなかったので盲点になっていた。
本に書いてあるかもしれないが、あまり本は読んでないので。
で、n次巡回群に対してそのヴァンデルモンド行列をAとおくと
AA^*=nI が成立する。A^*はAの共役転置行列。これが「直交関係」。
926(1): 2022/12/19(月)04:11 ID:hS59ELf3(4/5) AAS
ヴァンデルモンド行列というのはワクワクするんですよ。
なぜなら、和と積を結びつける公式は数論において貴重だから。
つまり、行列式というのは普通に計算すると和の形になる
それが綺麗な積の形にもなるという。それ自体が数論的な情報を含んでいる。
927: 2022/12/19(月)04:12 ID:hS59ELf3(5/5) AAS
さて、冬の準備が忙しい...
928: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:05 ID:3hFxwn+B(1/6) AAS
>>921
＞なるほど それはそうだね 納得した
それだけ？ま、雑談クンのジャンピング土下座なんて期待してないけど
で、「納得した」って書いてるけど、理解した？
理解せずにただしぶしぶ納得しても、また同じ誤り繰り返すよ 大丈夫？
929: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:16 ID:3hFxwn+B(2/6) AAS
>>922
＞一般的な場合でも、ζ_5は含まれないということですかね？
具体的に、ζ_5が含まれない例があるなら その瞬間
一般的に、ζ_5が含まれる、といえないと分かりますが、何か？
雑談クンは、述語論理の初歩からやり直したほうがいい
ド・モルガンの法則から
∃Ｐ．¬Ｐ（ｘ）ならば、¬∀Ｐ．Ｐ（ｘ）ですが
え？もしかして∀ｘ．¬Ｐ（ｘ）
つまり、どんな場合もζ_5が含まれないといえるか？って尋ねてる？
省3
930: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:22 ID:3hFxwn+B(3/6) AAS
>>925
＞「そこ」がヴァンデルモンド行列になるという発想はなかった。
ご安心を、私も、形を見て気づくまで、全くなかったです
確かに、大学の線型代数でヴァンデルモンドの行列式は習いましたよ
そのときは
「なんでこんなもん考えたんだ？ワケワカラン」
と思ってましたｗ
改めて歴史を辿ったら、実はまさに代数方程式を解くために思いついたらしいです
松重豊が出てるＣＭじゃないけど
省5
931: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:26 ID:3hFxwn+B(4/6) AAS
>>926
なるほど！
ま、それとは全く別に名前がカッコいい
オランダ人ならよくある感じの苗字ですけどね
ファンデルモンド
ファンデルワールス
ファンデルヴェルデン
・・・
あ、スミマセン、クダラナイ感想で
932: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)07:28 ID:3hFxwn+B(5/6) AAS
今日の返答は遅くなります
スレ立ては950まで待ってね
あと、タイトルにはガロア理論じゃなくて代数的整数論と入れてね
933: 2022/12/19(月)17:24 ID:KWbwJH3P(1) AAS
>>898
よく考えたら、そもそも示そうとしていた命題が間違っていたw
ま、昨日の証明を少し修正すれば通用するようにはなっている
934: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)18:19 ID:30/ulwEg(1/2) AAS
>>924
>>>875->>894
>ワロタ。昨日は〇っちゃんまで来ていたのかｗ
そうか
昨日の ID:KUUXaCSx氏は、おっちゃんか！
なるほど
そういわれてみれば・・
お元気そうで何よりです。！
935(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)18:28 ID:30/ulwEg(2/2) AAS
>>921-922 補足ｗ
秘孔を突いたようだｗｗ
まともに答えられないみたいだなｗｗｗ
（参考）
外部ﾘﾝｸ:www.nicovideo.jp
人気の「秘孔」動画 13本 - ニコニコ
北斗の拳 北斗神拳伝承者の道 秘孔突き対戦
おまえはもう死んでいる
936: わかるすうがく ◆nSGM2Czuyoqf 2022/12/19(月)20:23 ID:3hFxwn+B(6/6) AAS
>>935
いや、雑談クン、君が肥壺に落っこちてるｗ
さて、雑談クンに問題だ
Π(i=1~n-1) 2*sin(iπ/n) はいくつになるかね？
試みにn=3で計算してみたまえ (n=2は自明すぎる）
そしてn=4,n=5と増やしてみたまえ
そのとき・・・君は驚愕のあまり脱💩する筈だ
＃なんでこんなことに気づいたかは・・・秘密
937(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/19(月)23:36 ID:KRlSoN+A(1) AAS
次スレ立てた
ここを使ったら
次へ
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12
2chｽﾚ:math
938: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)06:50 ID:UspPL0zv(1/8) AAS
>>937
ガロア理論はもういいだろ
みんな理解したよ･･･1以外は
939: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:28 ID:UspPL0zv(2/8) AAS
テンプレ、追加しときました
2chｽﾚ:math
940(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)07:37 ID:UspPL0zv(3/8) AAS
出木杉氏ご指摘の通り、
「巡回方程式」の解からラグランジュ分解式の値への写像は
離散フーリエ変換と考えることができる
つまり、ラグランジュ分解式の値が分かるなら
それを離散フーリエ逆変換することで解が求まる
その意味するところが何なのか？
誰か分かる人いたら教えて！
941(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)11:45 ID:aDZb/KDF(1/2) AAS
>>940
(引用開始)
出木杉氏ご指摘の通り、
「巡回方程式」の解からラグランジュ分解式の値への写像は
離散フーリエ変換と考えることができる
つまり、ラグランジュ分解式の値が分かるなら
それを離散フーリエ逆変換することで解が求まる
(引用終り)
１）数学が、ある種妄想に近いインスピレーションも必要だということは、認めるとして
２）しばしば、冷静に考えると、それほどでもないということが多いのでは
省25
942: 2022/12/20(火)12:26 ID:R0GrT6qP(1) AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
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省2
943(1): 2022/12/20(火)15:34 ID:jqyIka++(1/4) AAS
べき根表示がフーリエ級数展開の類似だという話は
「ガロア群の作用」も分かってない1=雑談には理解できない。
逆に言えば、ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想。
多分、数学者に訊けば「そりゃそうだね」と言われると思う。
自分で考えたが、数学的業績にはならないと思うからここに書いた。
「素人には自明でない」というのはどちらかといえば嬉しいｗ
944: 2022/12/20(火)15:39 ID:jqyIka++(2/4) AAS
ガロア理論の解説書いてるひとも素人と言っては悪いが
少なくとも一流の数学者じゃないひとが多いよね。
945: 2022/12/20(火)15:43 ID:jqyIka++(3/4) AAS
煽り反省m(__)m
946(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)18:49 ID:aDZb/KDF(2/2) AAS
>>943
>べき根表示がフーリエ級数展開の類似だという話は
>「ガロア群の作用」も分かってない1=雑談には理解できない。
>逆に言えば、ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想。
笑えるんだけどｗ
１）方程式の根の表示を、フーリエ級数展開することの
利点とその目的（なんのために？）を述べよ
２）フーリエ級数展開表示に対する「ガロア群の作用」を記述せよ
これ
”ガロア群の作用が分かっていれば自然な発想”
省4
947(1): 2022/12/20(火)19:36 ID:jqyIka++(4/4) AAS
・「a^{1/5}へのガロア群の作用」さえ理解していない1=雑談に説明することは不可能。
・数学の彼岸さんは放っておいても自得するだろう。
・ここですべてのタネを明かしても、数学者には「自明」扱いの話でしかない。
・素人にとっては一定の意味のある話ではある。なぜなら
なぜ「べき根」による解法には一定の意味があるのか
「超べき根などは」ほぼナンセンスで話が広がらないのか
さらには正しい研究の方向性・可能性を示すことになるから。
948: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)19:42 ID:UspPL0zv(4/8) AAS
>>946
縁無き衆生は度し難し
解の巡回関数をf(x)で表す
外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
θ=1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,θ) として
f(θ)
=f(1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,θ))
=1/nΣ[k=0~n-1]L(ζ^k,f(θ))
=1/nΣ[k=0~n-1]ζ^(-k)*L(ζ^k,θ)
となる
省4
949: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)19:50 ID:UspPL0zv(5/8) AAS
>>947
＞彼岸さんは放っておいても自得するだろう。
まあ、一度でも自分で計算してみれば、ああそういうことか、と分かるよね
分からん人は、まあ、一度も計算してない、と断言する
ボクも、解の巡回関数に気づくまで、計算一つできなかったから
計算するには、解の巡回関数に気づく必要がある
「きっかけ」は大事だね
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
950: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)19:59 ID:UspPL0zv(6/8) AAS
理解への道は険しい
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
951(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)21:09 ID:uvZvHipH(1/5) AAS
>>946 追い打ちｗｗ
１）はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
下記の大阿久より
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α) (∀α ∈ L)
1 の原始 n 乗根 ζ
２）ラグランジュの分解式の優れているところは、
1 の原始 n 乗根 ζを導入することで、
自然に、クンマー拡大・クンマー理論の土俵の上に上げていること
３）これにより、大阿久の定理 9.3 （実質クンマー理論）
「ガロア群 G 位数 n の巡回群」
省27
952: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)21:11 ID:uvZvHipH(2/5) AAS
>>951 タイポ訂正
１）はラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
↓
１）ラグランジュの分解式 (Lagrange resolvent)
953(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)21:37 ID:uvZvHipH(3/5) AAS
>>951 追加
> ５）そもそも、ラグランジュの分解式の表式と、フーリエ級数展開の式とは
> 似て非なるもの（結構別物だろ？）と思うのは、私だけかな？ｗｗ
１）「似て非なるもの（結構別物だろ？）」の答えを書いておくよ（下記）
フーリエ級数は、” m を +∞ にした極限
Σ _n=-∞ ～∞ c_ne^inx=lim _m→ +∞ Σ _n=-m～m c_ne^inx
をフーリエ級数という”（下記）
なんだよね
２）フーリエ級数の意味とか分かってるのか？ｗ
３）ガロアも分かってないし、
省13
954(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)21:47 ID:UspPL0zv(7/8) AAS
>>951
全然追撃できてない･･･
＞ラグランジュの分解式の優れているところは、
＞1 の原始 n 乗根 ζを導入することで、
＞自然に、クンマー拡大・クンマー理論の土俵の上に上げていること
これ誤り、ζを導入しただけでは、クンマーには行けない
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α)
に対して
h(σ(α)) = σ(α) + ζσ^2(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)α
を考えると
省30
955(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/20(火)21:52 ID:UspPL0zv(8/8) AAS
>>953
え？雑談クン、工学部卒のくせに離散フーリエ変換知らないの？
それは酷い・・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
956(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)22:26 ID:uvZvHipH(4/5) AAS
>>955
>離散フーリエ変換知らないの？
つー、>>953「Σ _n=-m～m c_ne^inx
を、m 次のフーリエ多項式 (Fourier polynomial) という。この m を +∞ にした極限
Σ _n=-∞ ～∞ c_ne^inx=lim _m→ +∞ Σ _n=-m～m c_ne^inx
をフーリエ級数という」
だよ
>>951より
ラグランジュの分解式「1 の原始 n 乗根 ζ を１つ固定して，写像 h : L → L を
h(α) = α + ζσ(α) + ・ ・ ・ + ζ^(n-1)σ^(n-1)(α) (∀α ∈ L)
省4
957(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/20(火)23:28 ID:uvZvHipH(5/5) AAS
>>954
>これは二項方程式の場合であって、
>ガロア群Gが位数 n の巡回群となるのは二項方程式に限る
>と思ってるなら全くの誤りである
当然思っていない！ｗ
そもそも（>>837）
>>371-372より
(引用開始)
可解な既約5次方程式の代数解法には
必ず5乗根が必要なことを示せ。
省22
958(2): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)06:22 ID:0lvZ2afE(1/6) AAS
>>956
>ラグランジュの分解式で、”m を +∞ にした極限”は、どこだ？ どこだ？
🐎🦌
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
離散フーリエ変換とは、複素関数f(x)を複素関数F(t)に写す写像であって、
次の式で定義されるものを言う。
F(t)=Σ[x=0〜N-1] f(x)exp (-i2πtx/N) (t=0〜N-1)
ここで、Nは任意の自然数、 eはネイピア数、
iは虚数単位 (i^2=-1)で、πは円周率である。
このとき、x=0,･･･,N-1を標本点という。
省4
959: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)06:34 ID:0lvZ2afE(2/6) AAS
>>957
＞＞可解な既約5次方程式の代数解法には
＞＞必ず5乗根が必要なことを示せ。
＞「必ず5乗根が必要なことを示せ」の意味分かる？
もちろん
＞そして、私の解答は>>381に示した通りだ
「位数5の巡回群に対応するのが、5乗根の添加で
例えば x^5=aで ここから、1の5乗根が出る」
これじゃ全然ダメだね
正解は以下
省10
960(1): 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)07:03 ID:0lvZ2afE(3/6) AAS
さて、雑談クンに、基本的質問
Q. 任意の２次方程式は巡回方程式であることを示せ
具体的には２次方程式の解をα、βで表したとして
β＝f(α)、α=f(β)となる、解の巡回関数fを
方程式の係数だけを用いて構成せよ
もうこんな楽勝問題ないな
961(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)08:15 ID:VDcfjHep(1/4) AAS
>>958
>離散フーリエ変換とは、複素関数f(x)を複素関数F(t)に写す写像であって、
>次の式で定義されるものを言う。
それって、下記のwikipediaからもコピペでしょｗｗｗｗｗｗ
出典を示さないのは、数学徒としてのマナー違反です！！ｗｗｗｗｗ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換とは、複素関数f(x)を複素関数F(t)に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。
(引用終り)
>この式を見れば、
省6
962: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)08:17 ID:VDcfjHep(2/4) AAS
>>961 タイポ訂正
それって、下記のwikipediaからもコピペでしょｗｗｗｗｗｗ
↓
それって、下記のwikipediaからのコピペでしょｗｗｗｗｗｗ
963(2): 2022/12/21(水)09:24 ID:snBtApqa(1) AAS
>>961
960のQへの答えは？
964(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)10:10 ID:bSguRV7y(1/3) AAS
>>963
くだらねぇ問題はここへ書け
2chｽﾚ:math
965(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)11:17 ID:bSguRV7y(2/3) AAS
>>958 追加
下記
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換とは、複素関数f(x)を複素関数F(t)に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。
F(t)=Σ[x=0～N-1] f(x)exp (-i2πtx/N) (t=0～N-1)
(引用終り)
ここで、Nは分母側に来ている
さて、>>805より再録
”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
省16
966(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)12:18 ID:bSguRV7y(3/3) AAS
>>965
>さて、>>805より再録
>”ラグランジュリゾルベントとは何か？というと
>>>564に書いたように、根のべき根表示
>(1) ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
>において、「直交関係」を利用して
>項別に値を取り出す計算式であり
１）ここの「直交関係」だけど
２）ガロア理論 体の拡大で使うのは
「n 個の元は一次独立」（下記）だけど
省21
967: 2022/12/21(水)12:47 ID:8NYQQgV0(1) AAS
F(t)=Σ[x=0～N-1] f(x)exp (-i2πtx/N) (t=0～N-1)
=f(0)+f(1)exp(-i2πt/N)+…+f(N-1)exp(-i2πt/N)^(N-1)
がわかってないのか
968: 2022/12/21(水)13:03 ID:Ums2Epty(1/2) AAS
>>965-966
明確な類似に妄想もクソもないわ、バ〜カｗ
こんな類似は数学ではたくさん出てくる、貴方が知らないだけ
分母とか分子とかその程度のことしか言えないのかい？
αは基礎体の数のn乗根だから、ちゃんと分母にnが入ってますよ？
巡回群GとR/Zについてはだんまりかい？
有限群の中に「リー型の群」というのがあるのは、通常のリー群の有限類似ですよ？
>反論があれば歓迎する
とは言っても、自立した知性を有していない貴方の反論なんて求めてませんから。
数学の内容そのものではなく、「誰が言ってるか」「どこに書いてあるか」
省1
969(1): 2022/12/21(水)13:09 ID:c/dR3Pbk(1/2) AAS
アーベル群の指標が複素数体上は1次元表現であって、
フロベニウスの群指標の直交関係の特別な場合。
970: 2022/12/21(水)13:11 ID:Ums2Epty(2/2) AAS
>「直交関係」を利用して
> 本当に何か良いことがあるのかな？
ξ=a_0+a_1α+ … +a_{n-1}α^{n-1}
（ここでξはn次巡回拡大L=K(ξ)/Kの数
αはあるクンマー拡大 L(ζ_n)/K(ζ_n)の数でK(ζ_n)の数のn乗根）
の右辺から、直交関係を利用してある項を取り出す
たとえばa_1αを取り出すと (a_1α)^n∈K(ζ_n) が言える。
これが直交関係と項別に取り出すことのご利益。
ていうか、あんた函数のフーリエ級数展開で
係数がもとの函数を含む積分で計算できるのも
省2
971: 2022/12/21(水)13:35 ID:viIdMf0e(1/3) AAS
>>969
「指標」「表現」という用語はあえて禁句にしていたｗ
972: 2022/12/21(水)13:42 ID:viIdMf0e(2/3) AAS
ガウス和がラグランジュリゾルベントだと言ってる>>478
んだから、ガウス和で調べれば分かるはず。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ページの下の方にガウス和がガンマ函数の、ヤコビ和がベータ函数の
それぞれ類似とみなせるということも書いてあるが、これも「妄想」なのだろうか？ｗ
973: 2022/12/21(水)13:53 ID:viIdMf0e(3/3) AAS
特殊な用語を使わなくても、現代数学の彼岸さんが、より広く使われている用語
「線形写像」「離散フーリエ変換」という用語で説明を与えたのは正直参考になった。
974(1): 2022/12/21(水)19:02 ID:c/dR3Pbk(2/2) AAS
高速フーリエ変換の算法を最初に発見したのはガウスだろう。
調和解析はオイラーが弦の振動問題の解析
（1次元波動方程式＝双曲型偏微分方程式）でもって
解の表示法として既に考察しているわけだけれども。
フーリエ解析とかフーリエ変換は、数学者フーリエが
熱方程式（放物型偏微分方程式）の解析で
著書「熱の理論」で有名になったから彼の名前が
冠せられているのだけれども。
ガウスは、彗星の観測データーから軌道を求める計算のために
周期関数によるデーターの補間法として編み出した。
省11
975: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)19:28 ID:0lvZ2afE(4/6) AAS
>>961
>それって、下記のwikipediaからのコピペでしょ
リンク忘れた
>出典を示さないのは、数学徒としてのマナー違反です
ああ、つまらない つまらない
数学と全く無関係のおサルのマウントは心底つまらない
>>963 >960のQへの答えは？
>>964 >くだらねぇ問題はここへ書け
おサルさんは、自分が解けない問題は
全部「くだらねぇ問題」だという
省21
976: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)19:48 ID:0lvZ2afE(5/6) AAS
>>974
Gaussの数学については他の人に任せるとして
自分はGaussの子孫について語るとしよう
C.F.Gaussには少なくとも三人の息子がいた
一番上のCarl Joseph Gauss(1806-1873)は
ハノーバー軍に勤めて地図作成等に従事した後
ハノーバー鉄道の責任者になったらしい
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Eugene Gauss(1811-1896)と
Charles William Gauss(1813-1879)は
省12
977: 2022/12/21(水)19:54 ID:9dGvpmCG(1) AAS
Eulerの子孫に名刺をもらったことがある
978: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/21(水)20:01 ID:0lvZ2afE(6/6) AAS
Eugen Gauss
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Wilhelm Gauss
外部ﾘﾝｸ:de.wikipedia.org
Gaussの子孫についてはよく研究されているようである
979(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)21:40 ID:VDcfjHep(3/4) AAS
ふっ、ぐだぐだと
言い訳をつらねるねぇ～！ｗ
では聞く
>>417より
"種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
省12
980(1): 2022/12/21(水)22:06 ID:d2Z4gYmn(1) AAS
>>979
>>あんたらの大言壮語
たとえば誰と誰のどれとどれ？
981(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/21(水)23:55 ID:VDcfjHep(4/4) AAS
>>980
だれでもいいよ
だれか、お得意のフーリエ級数でもフーリエ変換でも離散フーリエ変換でも
どれでも良い
それらのどれかを使って、
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の根の フーリエ級数か、フーリエ変換か、離散フーリエ変換か
どれかで、何か実際の例をしめして下さい
何でも良いよ。たしかに、「フーリエ ｘｘ だ」と分かる結果なら、なんでも可だ
但し、抽象論でなく、具体的な計算例でねｗｗｗ >>979
982(1): 2022/12/22(木)00:08 ID:U2wpEVxC(1/6) AAS
円分体の数のべき根表示を計算するなら、最も効率的
（古典的によく研究されている）計算法はあります。
教えませんがｗ
これをフーリエ級数として解釈したところで
計算上は何も変わりません。
べき根表示=フーリエ級数展開
というのは理論的な話です。
983(1): 2022/12/22(木)00:11 ID:U2wpEVxC(2/6) AAS
1=雑談にガロア理論は無理です。
貴方向けの課題を前に用意しておきましたよ。
まずは自分がそれをやってみましょう。
>>843
>3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
>加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
>泥臭い計算で確かめること。
984: 現代数学の彼岸 ◆mrg.0Mu9EdE8 2022/12/22(木)06:27 ID:CT6RQiGn(1) AAS
>>983
おサルさんへの課題
「3次方程式のカルダノの解法で得られる3つの根から
加減乗除で3乗根の部分を取り出せないことを
泥臭い計算で確かめること。」
”取り出せないこと”の理解は、おサルさんには無理じゃないかな
ω（１の３乗根）を使えば、取り出せるし、
それはおサルさんでも計算すればわかるけど
ここでいう”加減乗除”で認められる数の中に、
ωを含まないからそれはできないってことだよね
省10
985(2): 2022/12/22(木)10:15 ID:o2STx9rz(1) AAS
なぜ、ガウスの子孫が数学者とか物理学者とか言語学者などにならずに、
靴屋さんになったりしたのだろうか？ガウスの職は天文台長だったわけだが、
昼は寝て夜に観測してたのかな？
986: 2022/12/22(木)10:40 ID:7+KwwHep(1/2) AAS
>>985
才能って遺伝しないもんなのね
987: 2022/12/22(木)10:50 ID:7+KwwHep(2/2) AAS
>>981
>x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
>の根の フーリエ級数か、フーリエ変換か、離散フーリエ変換か
>どれかで、何か実際の例をしめして下さい
え？君、上の方程式のラグランジュの分解式の値の計算できないの？
それでガロアゲームクリアとかいってんの？
呆れた １面でゲームオーバーじゃん！
988(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)11:51 ID:pIX7wrc1(1/5) AAS
>>982
>円分体の数のべき根表示を計算するなら、最も効率的
>（古典的によく研究されている）計算法はあります。
>教えませんがｗ
>これをフーリエ級数として解釈したところで
>計算上は何も変わりません。
ふっ、ぐだぐだと
言い訳をつらねるねぇ～！ｗ
下記のおっさんの
「これはオリジナルな論なので、反論があれば歓迎する」
省13
989: 2022/12/22(木)12:03 ID:5XpbsjKj(1) AAS
>>988
>(これは)”円分体の数のべき根表示を計算する”限定だったのかぁ〜？！！
巡回方程式限定ね
え？1はそんな基本的なこともわかってなかったの？
990(1): 2022/12/22(木)12:16 ID:aC8lephT(1) AAS
>>985
よく誤解されているけど、決して能力や閃きが先にあって膨大な労力をする訳ではない
ガウスのような能力や閃きを得るには膨大な労力を要する
多分ガウスの場合もそうだろう
多分、ガウスの子孫は幼少期に膨大な努力が出来なくて現在のように靴屋になったのだろう
ま、ドイツでは靴屋もマイスター扱いじゃないか
991(1): 2022/12/22(木)12:59 ID:5KL1nfbk(1/2) AAS
>>990
アメリカに行った、ガウスの二人の息子は
世間的には成功者なんだけどね
母親が病弱だったせいで、
いい子供時代を送れなかったようだけど
ガウスは息子を数学者にするつもりはなかったらしい
あとアメリカ行きにも反対したらしい
長男はかわいがったけど下の息子たちは
そうでもなかったらしい
全部wikipediaに書いてあったことだけどね
992(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)13:09 ID:pIX7wrc1(2/5) AAS
>>988 追加
(引用開始)
>円分体の数のべき根表示を計算するなら、最も効率的
>（古典的によく研究されている）計算法はあります。
>教えませんがｗ
>これをフーリエ級数として解釈したところで
>計算上は何も変わりません。
ふっ、ぐだぐだと
言い訳をつらねるねぇ～！ｗ
下記のおっさんの
省29
993(1): 2022/12/22(木)13:21 ID:5KL1nfbk(2/2) AAS
>>992
>数学ではそれ(円分体で成功した方法)を、
>円分体以外に拡張、一般化することが
>あるべき姿だろう？
とかなんとか言った後に
ガウスによるレムニスケートの等分による
モジュラー方程式の解法でも説明するなら
格好が付くんだが
なんだ阿呆の憎たれ口だけか、チッ
994: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)14:20 ID:pIX7wrc1(3/5) AAS
>>991
>アメリカに行った、ガウスの二人の息子は
>世間的には成功者なんだけどね
>母親が病弱だったせいで、
>いい子供時代を送れなかったようだけど
>ガウスは息子を数学者にするつもりはなかったらしい
ありがとう
それ面白いね
995: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)14:25 ID:pIX7wrc1(4/5) AAS
>>993
> ガウスによるレムニスケートの等分による
> モジュラー方程式の解法でも説明するなら
> 格好が付くんだが
ありがとう
次スレには、
余白は十分あるよ
996: 2022/12/22(木)14:32 ID:U2wpEVxC(3/6) AAS
レムニスケート等分もアーベル方程式だから
原理的には同じだよ。アーベルがやってる。
ガロア理論で考えた方が見通しがいいだろう。
997(1): 2022/12/22(木)14:43 ID:U2wpEVxC(4/6) AAS
巡回方程式のべき根解法=フーリエ級数展開の類似
は勿論、円分体限定の話じゃないよ。
ガロア群が巡回群であれば全く同じ。
σ(a^{1/n})=a^{1/n}ζ_n^k
と作用するのが
exp(2πi(x+y))=exp(2πix)exp(2πiy)
と作用する、さらに
σ∈G （Gはガロア群）とy∈R/Z
の類似を見ているわけ。多分、代数系の数学者に訊けば
「当たり前だよ」くらいに言われると思う。
省1
998: 2022/12/22(木)14:57 ID:U2wpEVxC(5/6) AAS
素人（ただしど素人除く）向けの課題
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
の下の方にある、ガウス和ヤコビ和とガンマ函数ベータ函数に
類似の公式が成立する理由をきっちり説明すること。
999: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/22(木)14:57 ID:pIX7wrc1(5/5) AAS
>>997
>巡回方程式のべき根解法=フーリエ級数展開の類似
>は勿論、円分体限定の話じゃないよ。
>ガロア群が巡回群であれば全く同じ。
ありがとね
それなら、そういう説明すれば、良いよね
あと、「フーリエ級数展開の類似」と見るメリットの補足がほしいね
つまり、フーリエ級数展開にはこういう性質があって、その性質が使えるみたいな
1000: 2022/12/22(木)15:22 ID:U2wpEVxC(6/6) AAS
>「フーリエ級数展開の類似」と見るメリット
「べき根解法」が昔流行ったただのパズルではなく
数学的にも一定の意味があるということ
さらに、数学的に「自然なもの」とはどういうものか
を示している。
1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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