Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77

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30: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 15:03:29.51 ID:i+EantH6

>>22
(引用開始)
https://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=15277
Two Number Theory Items (and Woody Allen)
Posted on September 20, 2025 by woit
(引用終り)

上記 woit ブログより
Winnie Pooh says:
October 16, 2025
I’m curious as to why people are still beating the Mochizuki vs. Scholze & Stix horse, and not the more recent Mochizuki vs. Scholze & Stix vs. Joshi horse.
(google訳)
2025年5月、キルティ・ジョシは「望月・ショルツ・スティックス論争に関する最終報告書」を発表し、次のように主張した。
– 望月の最初の議論には欠陥がある
– ショルツとスティックスの議論にも欠陥がある
– そして、彼自身が望月の欠陥を埋めて証明を完成させた。
キルティ・ジョシの言葉を引用します。
> ピーター・ショルツとヤコブ・スティックスはこの問題を認識していた（2018年）が、彼らは推測して、そのような構造の多くは存在し得ないと（誤って）主張した（§1.3を参照）。
Source: https://arxiv.org/pdf/2505.10568

Peter Woit says:
October 16, 2025
Winnie Pooh,
(google訳)
ジョシにとっての問題は、望月がショルツと同様に彼に強く反対していることです。私が尋ねた専門家たちは皆、ジョシが本当に証明を持っているのかどうか悲観的です。
私は、これが従来の査読システムによって解決されることを願っています。
ジョシが証明付きの論文を評判の良い学術誌に投稿し、その学術誌が一人か複数の査読者を見つけて、彼の議論を注意深く精査し、どこに欠陥があるのかを指摘するか、あるいはその妥当性を保証するでしょう。
ジョシ氏以外の専門家が彼の証明を検討し、それが有効であると確信し、他の人に説明できるようになるまでは、このブログで非専門家の間でこの部分について議論することには意味がないと私は思います。
(引用終り)

あきらかに Peter Woit は、ダブスタｗ　（＾＾
つまり、ジョシのarxiv投稿は、査読が終わっていないと退けるが

一方、ショルツの文章は 査読どころか arxivへの投稿論文でさえない
（つまりは、今後とも 未来永劫 査読雑誌への掲載の可能性ゼロｗ）
なお、望月IUT論文は、査読掲載されたものだ

つまりは、Woitのおっさん
自分自身では IUT関連の数学について
全く判断を下す能力ゼロって 自白しているってことだよねｗ　；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/30

35: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 21:54:39.35 ID:i+EantH6

エフイチ(F1)大陸の話

https://m-hiyama.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/20100716/1279251080
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2010-07-16
エフイチ大陸の発見と開発には日本人が大きな貢献

http://d.ｈａｔｅｎａ.ne.jp/m-hiyama/20100713#c ：
ティッツの50年前の観察から30年近く誰も顧みなかったことが90年代から、特に21世紀に入って火がついたみたいです。でも、ガウスのようなウルトラ天才は200年前にある程度は見越していた気配があります。

てなことを、 F1の歴史が書いてある論文で一昨日知りました。

> F1はリーマン予想絡みでもホットだとか?
その歴史付き論文を読んで、リーマン予想絡みであることと、多くの日本人が本質的に貢献していることを知りました。

今日も、いわゆる一元体F1（エフイチ）の話です。上記コメント内の「F1の歴史が書いてある論文」とは次です。

Title: Mapping F1-land: An overview of geometries over the field with one elementa
Authors: Javier Lo'pez Pen~a, Oliver Lorscheid
URL: http://arxiv.org/abs/0909.0069
Pages: 21 pages
題名の"Mapping F1-land"は、エフイチ大陸の地図を作ろうといった意味だと思います。以下、この論文を「エフイチ大陸の地図」として引用します。

僕がエフイチについて知ったのは、たまたまコンヌ／コンサニ論文を目にしたからです。

Title: Characteristic 1, entropy and the absolute point
Authors: Alain Connes and Caterina Consani
URL: http://www.alainconnes.org/docs/Jamifine.pdf
Pages: 66 pages
コンヌ／コンサニ論文を（読めるところだけ）拾い読みしているうちに、F1の全体像を知りたくなったのですが、ペーニャ／ロアシャイド*1の「エフイチ大陸の地図」はそんな目的にはピッタリです。F1研究の歴史と現状が手際良くまとまっています。

「エフイチ大陸の地図」の、F1の歴史の記述を読んで「ヘーッ、そうだったのぉ」と少し驚いたことが2つあります。

リーマン予想と密接に関係する。
日本人の貢献が非常に大きい。

リーマン予想に関してはサッパリわかりません。F1上でゼータ関数を定義して計算することが、リーマン予想解決につながるような、なんかそんなことらしい。ともあれ、動機がリーマン予想なら、数論が盛んな日本の研究者がたくさん登場するのは必然なのかもしれません。

ついでに、「エフイチ大陸の地図」からほんとの“地図”を引用しましょう。
http://www.chimaira.org/img2/f1-land-map.gif
ごく一部だけはかすかに分かるので、地図の説明をいずれまた。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/35

37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 22:07:23.78 ID:i+EantH6

"ネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示"
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/
数学総合 若手研究集会INDEX
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2020/pdf/wakate_abstract_2020.pdf
第16回数学総合若手研究集会数学の交叉点アブストラクト集
冨田 拓希慶應義塾大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻
捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対積表示

https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~wakate/mcyr/2020/pdf/tomita_takuki.pdf
捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示
慶應義塾大学大学院理工学研究科基礎理工学専攻
冨田拓希(Takuki TOMITA)

概要
黒川は、その“p 1での極限”(絶対ゼータ関数)が持つであろう無限積構造(絶対Euler積) を示唆している。本レポートでは、ConnesとConsaniにより定義された捩れなしネーターF1スキームに対する絶対ゼータ関数の絶対Euler積表示を与える。

1 合同ゼータ関数と絶対ゼータ関数

2 F1スキーム一元体F1とはZの“係数体”とみなせるような数学的対象であり、1957年にTitsにより有限体Fq の類似として初めて言及された。そして1990年代にDeningerと黒川が、F1の概念を導入することにより、Weil予想と類似した方法でRiemann予想にアプローチできるという可能性を示唆した[Man95]。それ以降F1上の幾何学の理論を様々な方法で構築しようとする試みがなされていて、現在も発展途上の理論である。本レポートではDeitmar[Dei05]が定義したモノイドスキームの理論を発展させたConnesとConsani [CC10]のF1の理論を用いる。ちなみにこの理論におけるF1は、自明な乗法モノイド1に0を付け加えて演算を延長した1乗法モノイド0,1として定義する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/37

43: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/01(土) 23:15:33.51 ID:i+EantH6

http://pantodon.jp/index.rb?body=F1
信州大
Algebraic Topology
1個の元から成る体

Soulé の [Sou04] によると, 1個の元から成る体 F1 の存在は, 数多くの数学者が夢想したことのようである。その論文の最初の節は, F1 の歴史について書かれている。

F1 を考えるというアイデアは, 対称群と線形群を統一して扱いたい, という要望に基づくものだそうだ。n次対称群を GLn(F1) や SLn(F1) と考えたり, n個の元からなる集合を F1 上のn次元射影空間, (n+1)個の元から成る基点付き集合を F1 上のn次元 affine 空間と考えると都合の良いことがあるからである。

最初に考えたのは Tits だろうか。Soulé の論文には Tits の [Tit57] や Manin の [Man95] などの文献が挙げられている。当然であるが, 他にも有限体上の general linear group と対称群の類似に気が付いた人はいるようである。Borger の [Bor] では, R. Steinberg の [Ste51] が上げられている。確かに§2の最後にそれらしい記述がある。Lescot [Les09] は, Zhu の2000年の preprint でのアイデアとの比較が行なわれている。Lorscheid [Lor16] の解説によると, より一般に Weyl群を Lie 群 (代数群) の F1-point と見るべきのようである。

この neverendingbooks の post では, Riemann予想が motivation として書いてある。そこから link の張られている Connes と Consani と Marcolli の "Fun with F1" [CCM09] にあるように, noncommutative geometry のアイデアが使えるというのは興味深い。

もちろんまだ発展途上の分野であり, 様々なアイデアが提案されている段階, だと思う。 それらの関係については, López Peña と Lorscheid の [LL11], そして Lorscheid の [Lor16] の part I を見るとよいかもしれない。Le Bruyn の lecture note [Le 16] も, 歴史的なことにも触れてあって面白い。

体があれば, 様々なことができる。最も基本的なのは, 線形代数だろうか。 このpostでは, “F1n上のlinear algebra”について述べられている。 元になっているのは, Kapranov と Smirnov の未発表論文 [KS] らしいが。F1上の線形代数については, Thas の [Tha16] の§4でもまとめられている。

GLn(F1)  を n次対称群と解釈するということは, braid群 を F1 を使ってどう表わすかというのは, 自然な疑問である。 このneverendingbooksのpostによると, GLn(F1[t]) が答えのようである。

線形代数の次は, 体上の可換環や associative algebra, そして可換環から代数幾何学を構築することだろう。 F1 上の代数幾何学の類似を geometry over F1 などと言ったりする。
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/43

48: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/11/02(日) 17:22:31.31 ID:PmfdHnoP

さて、ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
公理的集合論について、下記のVitali set
と フルパワー選択公理との関係を書いておく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
ルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]
構成と証明
有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。

https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set
Vitali set
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3] In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]

https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model
Solovay model
(google訳)
数学の集合論分野において、ソロヴェイモデルはロバート・M・ソロヴェイ （1970 ）によって構築されたモデルであり、選択公理を除くツェルメロ・フランケル集合論（ZF）の公理がすべて成立するが、実数のすべての集合はルベーグ測定可能である。この構築は、到達不可能な基数の存在に依存している。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1761878205/48

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