[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 77 (1002ﾚｽ)
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251: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)10:22 ID:K/Lr81ky(3/12) AAS
>>249 追加
(google訳)（一部手直し）
＜AI による概要＞
コリン・マクラーティの論文「有限階算術に基づくグロタンディークの大規模構造」は、2020年の記号論理学のレビュー、グロタンディークスタイルの代数幾何学の複雑なツール、例えばトポスや導来カテゴリなどは、そのような基礎付けに通常使用される強力なZFC集合論ではなく、はるかに弱い有限階算術体系の上に成り立つと主張している。この研究は、これらの強力な「大規模構造」ツールが確立されるには、はるかに弱い論理的強度しか必要とせず、特定の集合のトポスがすでにこのレベルの強度を必要としていることを示すことで、基礎的なギャップを埋めることを目指しています。
・中心的な議論:マクラーティは、グロタンディークの幾何学計算手法( EGA ) とボワマリー関数セミネール( SGA ) の定理が、derived categoriesとともに、有限階数の算術を使用して形式的に根拠づけられることを示しています。
・最も弱い基盤:この論文では、無限集合の単一の基本トポスでもすでにこのくらい強力であるため、有限階数算術はこれらのツールにとって最も弱い基盤であるとしています。
・集合論への示唆：この発見は、これらの大規模構造の無矛盾性を証明するために、有限階数算術よりも強いZFCの完全な強さを必要としないことを意味する。本研究は、有限階数算術と同等の証明論的強さを持つ公理によってこれらの構造の基礎を確立できることを示しており、有限階数算術はツェルメロ集合論（Z）によって無矛盾性が証明されている。
・実践的な洞察:この研究は、コホモロジーのツールは理論的には大規模な構造を必要とするものの、実際の応用では算術に近いことが多いという実践的な洞察を形式化しています。
・出版の詳細：この論文はReview of Symbolic Logic（第13巻、第2号、2020年）にdoi：10.1017/s1755020319000340で出版され、arXivでは論文1102.1773として見つけることができます。
252(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:01 ID:K/Lr81ky(4/12) AAS
>>249 追加
>Founded on Finite-Order Arithmetic
日本語では 有限階算術（あるいは高階算術か） とでもいうのか？
Second-order arithmetic、2階算術は 日本語であるようですが
”Finite-Order Arithmetic”は、不勉強で初耳です
英語検索でも、”Finite-Order Arithmetic”は あまりヒットしないす ；ｐ）
でも、私は 高階論者でして
「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています （＾＾
そういう意味で、
(参考)
省12
253: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:15 ID:K/Lr81ky(5/12) AAS
>>252 補足
用語について
・高階算術
・finite order arithmetic
・Higher-order logic
・Higher order arithmetic by Colin McLarty自身 2014 mathoverflow
(参考)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.aichi-gakuin.ac.jp
高階算術における抽象論
井澤 昇平
省30
254(1): 11/05(水)11:38 ID:Z1J+lKlF(1/4) AAS
>>243
カラスの世田は、数セミの記事すら、まともに読解できない（笑）
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数学セミナー 2025年3月
集合論の雑学 無限についてのおはなし 池上大輔
連載 第12回
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
１．イントロダクション
学部生時代に後輩が院生の先輩にした質問
省24
255(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:39 ID:K/Lr81ky(6/12) AAS
>>250
>Colin McLarty has looked into this
>The large structures of Grothendieck founded on finite order arithmetic, Review of Symbolic Logic 13 issue 2 (2020) pp. 296--325, doi:10.1017/S1755020319000340, arxiv.org/abs/1102.1773
これ、リンクのarxivは 2014年版だな
30 Apr 2014 COLIN MCLARTY
1. Outline
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II), or simple type theory with infinity, is n-th order arithmetic for all finite n. It deals with numbers, sets of numbers, and sets of those, up through any fixed finite level. Sections 2– 3 develop basic cohomology in any one of several set theories equivalent to this.
Sections 4–5 give a weak notion of a universe U, and a simpler notion of Ucategory than Grothendieck’s (SGA 4 I.1.2), in a theory of classes and collections conservative over set theory. Section 6 proves standard theorems on toposes, derived categories, and fibered categories. This is the weakest possible level for Grothendieck’s tools since a single elementary topos of sets with infinity is already as strong as finite order arithmetic.
Section 7 relates this to proofs of Fermat’s Last Theorem.
つづく
256(2): 11/05(水)11:40 ID:Z1J+lKlF(2/4) AAS
>>254のつづき
（ここが記事の本論）
６．グロタンディーク宇宙の存在と選択公理の違い
（ａ）フェルマーの最終定理が数学的構造（Ｚ、+、×、０，１）において
∀や∃の範囲を整数全体Ｚに制限することで得られる論理式（一階算術の論理式）
で表現できる
（ｂ）一階算術の論理式の真偽がゲーデルの構成可能宇宙Ｌと集合全体Ｖで変わらない
↓
フェルマーの最終定理がZFCの下で証明可能ならばZFの下でも可能
一方、
省17
257(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:40 ID:K/Lr81ky(7/12) AAS
つづき
7. A proof of Fermat’s Last Theorem in PA?
We have founded the whole SGA for arbitrary sites, while individual proofs in number theory use only low degree cohomology of sites close to arithmetic.
Detailed bounds may suffice to get existing proofs into n-order arithmetic for relatively low n, as in Section 3.8.4. That might be a good context for such hard logical analysis as Macintyre (2011) begins for FLT.
More work might bound the constructions within a conservative extension of PA (Takeuti, 1978) to show some existing proof of FLT works essentially in PA.
It might help further reduce the proof to Exponential Function Arithmetic (EFA) as conjectured in (Friedman, 2010).
Such estimates are likely to be difficult.
This is no logical end run around serious arithmetic.
Not motivated by concern with logic, Kisin (2009b) extends and simplifies (Wiles, 1995), generally using geometry less than commutative algebra, visibly reducing the demands on set theory. And Kisin (2009a) completes a different proof of FLT by a strategy of Serre advanced by Khare and Wintenberger.
References
省3
258: 11/05(水)11:46 ID:Z1J+lKlF(3/4) AAS
>>256のつづき
蛇足
７．グロタンディーク宇宙とSGA
Colin McLarty,The large structures of Grothendieck founded on finite-order arithmetic
では、グロタンディークによる代数幾何の基礎理論の基本文献SGAで行われる議論は、
グロタンディーク宇宙の存在を仮定せずZFCあるいはそれより弱い集合論の公理系で
展開できることを主張し、そのための詳細の議論を述べている。
私（池上氏）には、代数学の知識が足りないため、内容の真偽が検証できないが
SGAに詳しく、興味がある方は、ぜひチャレンジしてみて
259: 11/05(水)11:50 ID:Z1J+lKlF(4/4) AAS
池上氏の記事のポイント
１．選択公理は、証明できる一階算術の定理を増やさないが
グロタンディーク宇宙の存在は、証明できる一階算術の定理を増やす
２．現在の集合論の手法では一階算術の定理の範囲を変えることはできない
この程度の要約、サクッと書けない素人が、匂わせ書き込みとかすんな
不快なだけだから
260(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)11:52 ID:K/Lr81ky(8/12) AAS
>>255
Finite order arithmetic (Takeuti, 1987, Part II)
>>257
References
Takeuti, G. (1987). Proof Theory. Elsevier Science Ltd, 2nd edition.
竹内 外史先生だね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
竹内 外史（たけうち がいし、1926年1月25日 - 2017年5月10日）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Gaisi Takeuti (竹内 外史, Takeuchi, Gaishi; January 25, 1926 – May 10, 2017[1]) was a Japanese mathematician, known for his work in proof theory.[2]
省16
261(1): 11/05(水)11:58 ID:FFxAuNzB(1/11) AAS
>>252
>「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています （＾＾
言ってる意味がよく分からないんだけど、「一階でない論理がある」との違いを説明してみて
>でも、私は 高階論者でして
一階が持つ良い性質は要らないと？
分かった上で言ってる？
262: 11/05(水)12:28 ID:C4DDj+Yv(1/3) AAS
こいつまだ一階がどうこうが話に関係すると思ってる。
一回述語論理って単語勉強し始めて何か月経ってるんや。いつになったら意味が取れるんや。
せめて自分には理解でいきないくらいはわからんのか？お前の理解やと話しとおらん資料いくらでもあったやろ？それよんで理解の修正ができんのか？
どこまで頭わるいんや。
263: 11/05(水)12:39 ID:C4DDj+Yv(2/3) AAS
ともかく単語の日常会話での通常の意味から数学的な意味を推定して終わりを繰り返してるだけやからいつまでたっても理解の間違いを修正できない。
圏論の話も
・グロータンディックって代数幾何で圏論つかった。
・グロータンディックはグロータンディックユニバースを考えた。
∴圏論のためにはグロータンディックユニバースが必要
もうチンパンジーぐらいの知能しか感じない。どこまでアホなんや。手に負えん。
264: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)13:20 ID:K/Lr81ky(9/12) AAS
>>260 補足
>7. PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？
素数定理の歴史(下記)と対比すると分かり易いだろう
１）素数定理は、ゼータ関数と複素関数論を用いる高等数学による証明だったが
アトル・セルバーグ[5]とポール・エルデシュ[6]は初等的な証明が得られた（下記）
２）素数の話だから、初等整数論内の証明があっても おかしくは ない
一方、高等数学による プロ数学者には 見通しのよい証明があってもいい（高等数学がしばしば先行する）
高等数学による証明と 初等整数論内の証明とは 両立する
なお、”PAにおけるフェルマーの最終定理の証明？”は、まだ？つき・・
(参考)
省11
265: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)13:44 ID:K/Lr81ky(10/12) AAS
>>257
>Not motivated by concern with logic, Kisin (2009b) extends and simplifies (Wiles, 1995), generally using geometry less than commutative algebra, visibly reducing the demands on set theory. And Kisin (2009a) completes a different proof of FLT by a strategy of Serre advanced by Khare and Wintenberger.
下記だね
References
Kisin, M. (2009a). Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations. Inventiones Mathematicae, 178(3):587–634.
Kisin, M. (2009b). Moduli of finite flat group schemes, and modularity. Annals of Mathematics, 170(3):1085–1180.
これを、検索すると(2009a)
外部ﾘﾝｸ:www.researchgate.net
Modularity of 2-adic Barsotti-Tate representations
December 2009Inventiones mathematicae 178(3):587-634
省10
266: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 11/05(水)13:56 ID:K/Lr81ky(11/12) AAS
>>252 補足
でも、私は 高階論者でして
「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています （＾＾
そういう意味で、
↓
でも、私は 高階論者でして
「人の思考は 一階論理に縛られない」と思っています （＾＾
そういう意味で、”Finite-Order Arithmetic”使えば
フェルマーの最終定理証明に
グロタンディーク宇宙は 不要では？
省1
267: 11/05(水)14:04 ID:vZYtBEGo(1/3) AAS
＞高階論者（と称するド素人）
＞「（一般）人の思考は 一階論理に縛られない」
数学者
「数学の理論は、一階述語論理上の公理系として表現され
定理は一階述語論理によって公理から証明される」
268: 11/05(水)14:10 ID:vZYtBEGo(2/3) AAS
”Finite-Order Arithmetic”＝「有限階論理」
わざわざこう表現することからして
一階ではなく二階以上
ということだと認識している
ついでにいうと二階算術とは、整数のみならず、
整数の部分集合に対する限量子を用いるという意味
もちろん、その場合も一階算術同様
一階述語論理に公理を追加した公理系を用いる
上記は
数学を全く知らぬド素人（例：カラスの世田）
省1
269: 11/05(水)14:11 ID:vZYtBEGo(3/3) AAS
誤 ”Finite-Order Arithmetic”＝「有限階論理」
正 ”Finite-Order Arithmetic”＝「有限階算術」
270: 11/05(水)14:14 ID:FFxAuNzB(2/11) AAS
>>252
>>261への回答が無いんだけど、君、
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。
（健全性）証明可能な二階述語論理の文は常に真である。すなわち standard semantics に従ったあらゆるドメインで真である。
（完全性）standard semantics において常に妥当な二階述語論理の論理式は、全て証明可能である。
（実効性）与えられた論理式の並びが妥当な証明かどうかを正しく決定できる証明検証アルゴリズムが存在する。
この系を言い換えると、二階述語論理は完全な証明理論に従わない、とも言える。この観点で、standard semantics を伴った二階述語論理は一階述語論理とは異なり、そのせいもあって論理学者は長年、二階述語論理に関わることを避けてきた。ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインは二階述語論理は「論理」ではないと考える理由としてこれを挙げている[5]。
くらいは読んで理解したうえで言ってるんだよね？
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