[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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443(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/17(土)23:31 ID:y2zepp9J(12/13) AAS
>>442 タイポ訂正
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様収束は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
↓
なので、「RからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)はQでの値だけで一意的に定まるか？」では 一様連続は 不要
「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様連続は 必要
444: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/17(土)23:44 ID:y2zepp9J(13/13) AAS
>>442 追加
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」では 一様収束は 必要
”Tietze extension theorem”貼っておきますね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Tietze extension theorem
In topology, the Tietze extension theorem (also known as the Tietze–Urysohn–Brouwer extension theorem or Urysohn-Brouwer lemma[1]) states that any real-valued, continuous function on a closed subset of a normal topological space can be extended to the entire space, preserving boundedness if necessary.
Formal statement
省11
445: 440 05/18(日)02:40 ID:LhBQrX7V(1/2) AAS
「任意の有理コーシー列に対して、fによる像が収束する」
という条件（これを、fはQ上でコーシー連続という）
で十分だった。このとき「同じ同値類に属する任意の2つの
有理コーシー列はfによって同じ値に収束する」は自動的に成立する。
なぜなら、もし異なる値に収束するなら、2つをミックスすることで
「fによる像が収束しない有理コーシー列」が構成できるが、これは条件に反するから。
「コーシー連続」の車輪の再発見みたいになって申し訳ない。
446(1): 05/18(日)02:42 ID:LhBQrX7V(2/2) AAS
>>443
その結論は正しいですね。セタさんは「一様連続」という概念が好きらしい。
それには一理あると思いますよ。
もしご自分でその理由が説明できれば感心しますが。
447(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/18(日)07:55 ID:kvRHpDhK(1/3) AAS
>>446
>その結論は正しいですね。セタさんは「一様連続」という概念が好きらしい。
>それには一理あると思いますよ。
>もしご自分でその理由が説明できれば感心しますが。
ID:LhBQrX7V さん、投稿ありがとう
スレ主です
固有名詞の話は別として
理由は、簡単で 下記の通り
記
>>427の はてなブログ Branched Evolution で
省11
448(1): 05/18(日)08:09 ID:dHKV9stj(1/4) AAS
>>442
>𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥)と 差を作るのが 常用の手スジで
また手スジか(笑)
まるで「大学屁の数学」を愛読する受験生みたいな物言いだな
さて
>「QからRへの連続函数f(x)があるとき、
> f(x)をRからRへの連続函数に（一意的に）拡張できるか？」
>では 一様連続は 必要
2^X:Q→R って R→Rに拡張できるけど
これ、QからRへの一様連続函数？
省1
449(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/18(日)08:16 ID:kvRHpDhK(2/3) AAS
>>442 蛇足
>下記 stackexchange に落ちていた
裏話だが
1）日本語情報より、英語情報が100倍と言われる
2）そこで google翻訳で 検索キーワードを 英語に訳して 検索した
キーワード”Real function Continuous function Determined by the values of rational points”
で 冒頭が
”Why is every continuous function on the reals determined ...
Mathematics Stack Exchange
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com›...このページを訳す
省24
450(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/18(日)08:26 ID:kvRHpDhK(3/3) AAS
>>448
ホイヨ
>>419より再録
数学科1年で詰んだら
”開集合（位相空間論）”には、突っ込めないのか？
数学科1年で詰んだら
”岡の不定域イデアル ＆ カルタンの層 の思想”には、突っ込めないのかな？？
それまる見え
まる分かりｗ ；ｐ）
追伸
省8
451: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 05/18(日)08:29 ID:enICiOPc(1/2) AAS
数学自体移民の血だから帰してあげたほうがいいんじゃないの。
452: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 05/18(日)08:30 ID:enICiOPc(2/2) AAS
イスラムもマナー悪いさ。性の。
453: 05/18(日)08:33 ID:dHKV9stj(2/4) AAS
>>447
１，日本語だけじゃなく英語も読めない？
Since the real line R is complete, continuous functions on R are Cauchy-continuous.
On the subspace Q of rational numbers, however, matters are different.
For example, define a two-valued function so that f(x) is
0 when x^2 is less than 2 but
1 when x^2 is greater than 2.
(Note that x^2 is never equal to 2 for any rational number x.)
This function is continuous on Q but not Cauchy-continuous,
since it cannot be extended continuously to R.
省22
454: 05/18(日)08:38 ID:dHKV9stj(3/4) AAS
>>450
>>450
＞”開集合（位相空間論）”には、突っ込めないのか？
＞”岡の不定域イデアル ＆ カルタンの層 の思想”には、突っ込めないのかな？？
１は、そんなのより、もっと基礎の
Q上連続、Q上コーシー連続、Q上一様連続
の３条件の違いがわかってないので、
突っ込んで差し上げたｗ
一般位相とか層とか、１には１００００年早いｗ
455: 05/18(日)16:34 ID:dHKV9stj(4/4) AAS
もはや何も言い返せなくなると
別スレッドでどうでもいい与太話ばかり
長々とコピペする１
数学の初歩から分かってなかった現実から目を背け続ける
だから万年高校生なんだって！
456(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/19(月)14:45 ID:q68wgaXf(1/2) AAS
>>449 裏話さらに追加
>>399より
Q：”「実数から実数への連続関数は
すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”
この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
（ 外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
（上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”）
ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で 有理点で不連続
さらに （下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで 取り上げたことがある（10年ほど前に）
省25
457: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/19(月)14:46 ID:q68wgaXf(2/2) AAS
つづき
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ディリクレの関数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
トマエ関数
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Thomae's function
References
1. Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009), "Modifications of Thomae's Function and Differentiability", The American Mathematical Monthly, 116 (6): 531–535, doi:10.4169/193009709x470425, JSTOR 40391145
省23
458: 05/19(月)15:02 ID:GPwql2eD(1) AAS
>>456
> 423の”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので
理解すれば正しいと分かる
わけもなく信じるとか信じないとかいう下駄占いをする必要はない
下駄占い
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
下駄占い（げたうらない）は、日本の占い、または子供の遊びの一つ。
足に履いている下駄を投げ、落ちてきた下駄が表か裏かで、明日の天気を占うもの。
「明日天気（あしたてんき）」、「天気占い（てんきうらない）」ともいう。
459: 05/19(月)19:24 ID:vxMtQroI(1) AAS
オチコボレさんがコンプレックス拗らせてペタペタコピペしてるね
460: 05/19(月)20:12 ID:21OIwkrc(1/3) AAS
>>456
>Q：”「実数から実数への連続関数はすべての有理数の点の上での値だけで特定できる」”
>この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で
＞ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続
＞トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、
＞無理数点で連続で 有理点で不連続
どっちも、実数から実数への連続関数ではないが
こんなトンチンカンだから大学１年の微分積分で初日から落ちこぼれる・・・
＞このような病的な場合を抑えるには
＞単なる連続では足りないのでは？
省6
461: 05/19(月)20:18 ID:21OIwkrc(2/3) AAS
>>456
＞ちょっと検索すると
＞”定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる”
＞”距離空間上に定義された一様連続関数は
＞ 完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる”
＞がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第
ただ検索するだけで、まるで考えてない
確かに「一様連続関数は一意に拡張できる」
しかし「一意に拡張できるのは一様連続な場合だけである」とは書いてない！
462: 05/19(月)20:25 ID:21OIwkrc(3/3) AAS
>>456
>”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので
>（”Copilot”が、一様連続と （単なる）連続 の微妙な 機微を理解しているわけないからなぁ）
微妙な機微が理解できないのは、証明の文章が全く読めないニホンザルの１、貴様だろ
QからRへの関数のコーシー連続の条件だけで、RからRへの連続関数の一意拡張を示すのに必要十分である
このことはQのコーシー列の同値類からRを構成する方法が分かっていれば当たり前のことで
その証明が全く信用できないというのは、
「落ちこぼれのボクは、実数の定理が全然わからないから
この証明も全然理解できまっしぇん」
と白状してるのと同じである
省3
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