フェルマーの最終定理の証明 (797ﾚｽ)
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1(1): 大谷 05/20(月)16:09 ID:2yYvoKLo(1/5) AAS
n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^n+y^n=z^nをy^n=(x+m)^n-x^n…(1)と変形する。y,x,mは整数とする。
3^n=(x+1)^n-x^nは成立しない。
(1)は(3^n)k=[{(x+1)^n}k+u]-{(x^n)k+u}…(2)となる。k=(y/3)^n,uは実数。
(3^n)k={(x+1)^n}k-(x^n)kは成立しないので、(2),(1)も成立しない。
∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
778: 大谷 06/25(火)19:56 ID:82ugB8Kw(14/16) AAS
n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、y^3=(x+m)^3-x^3と変形する。両辺をm^3で割る。
(y/m)^3={(x/m)+1}^3-(x/m)^3となる。y/m=Y,x/m=Xとおく。
Y^3=3X^2+3X+1…?の有理数解を求める。Y=d/c,X=b/aとおく。(a,b,c,dは整数）
(d/c)^3=3(b/a)^2+3(b/a)+1
(d^3-c^3)/3*c^3=(b^2+ab)/a^2
a^2=3*c^3とすると、a=(3*c^3)^(1/2)となる。
よって、d^3-c^3-b^2={(3*c^3)^(1/2)}*b…?となる。
?はbが整数のとき成り立たないので、?は有理数解を持たない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
779: 大谷 06/25(火)20:00 ID:82ugB8Kw(15/16) AAS
n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、y^3=(x+m)^3-x^3と変形する。両辺をm^3で割る。
(y/m)^3={(x/m)+1}^3-(x/m)^3となる。y/m=Y,x/m=Xとおく。
Y^3=3X^2+3X+1…?の有理数解を求める。Y=d/c,X=b/aとする。(a,b,c,dは整数）
(d/c)^3=3(b/a)^2+3(b/a)+1
(d^3-c^3)/3*c^3=(b^2+ab)/a^2
a^2=3*c^3とすると、a=(3*c^3)^(1/2)となる。
よって、d^3-c^3-b^2={(3*c^3)^(1/2)}*b…?となる。
?はbが整数のとき成り立たないので、?は有理数解を持たない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
780: 大谷 06/25(火)20:22 ID:82ugB8Kw(16/16) AAS
n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、y^3=(x+m)^3-x^3と変形する。両辺をm^3で割る。
(y/m)^3={(x/m)+1}^3-(x/m)^3となる。y/m=Y,x/m=Xとおく。
Y^3=3X^2+3X+1…?の有理数解を求める。Y=d/c,X=b/aとする。(a,b,c,dは整数）
(d/c)^3=3(b/a)^2+3(b/a)+1
(d^3-c^3)/3*c^3=(b^2+ab)/a^2
a^2=3*c^3とすると、a=(3*c^3)^(1/2)となる。
よって、d^3-c^3=b^2+{(3*c^3)^(1/2)}*b…?となる。
?はbが整数のとき成り立たないので、?は有理数解を持たない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
781: 大谷 06/26(水)06:54 ID:+2wIaHb5(1) AAS
n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
x^3+y^3=z^3を、y^3=(x+m)^3-x^3と変形する。両辺をm^3で割る。
(y/m)^3={(x/m)+1}^3-(x/m)^3となる。y/m=Y,x/m=Xとおく。
Y^3=3X^2+3X+1…?の有理数解を求める。Yは有理数、X=b/aとする。(a,bは整数)
Y^3-1=3X^2+3X
(Y^3-1)/3=(b/a)^2+(b/a)
(Y^3-1)/3=(b^2+ab)/a^2…?
?の分母を揃えると、a^2=3となるので、a=√3となる。
分子は、Y^3-1=b^2+√3b…?となる。
?の左辺は有理数なので、bが整数では成り立たない。
省4
782: 06/26(水)09:46 ID:3n7U4q4k(1/16) AAS
自然数nで約数の個数が√(3n)以上となるものを全て求める。
n = 2^p*3^q*N（p,q は非負整数、N は 2 でも 3 でも割り切れない自然数）
とすると、N の素因数は最小で 5 なので N の素因数の個数は log[5]N 以下である。
N の素因数が k 個のとき、約数の個数が最大となるのは、k 個の素因数がすべて異なるときで、2^k 個である。
したがって自然数 n の約数の個数は
(p+1)(q+1)*2^(log[5]N) = (p+1)(q+1)*N^(log[5]2)
√(3n) = √(3*2^p*3^q*N) ≦ (p+1)(q+1)*N^(log[5]2)
N ≦ {(p+1)^2/2^p*(q+1)^2/3^(q+1)}^{1/(1-log[5]4)} … (1)
f(p) = (p+1)^2/2^p
は
省18
783: 06/26(水)09:47 ID:3n7U4q4k(2/16) AAS
(1)x^2 + 5xy + 4y^2 = 19 の整数解を求める。
(x+y)(x+4y) = 19
x+y = 1
x+4y = 19 3y = 18, y = 6, x = -5
x+y = -1
x+4y = -19 3y = -18, y = -6, x = 25
x+y = 19
x+4y = 1 3y = -18, y = -6, x = 5
x+y = -19
x+4y = -1 3y = 18, y = 6, x = -25
省19
784: 06/26(水)09:48 ID:3n7U4q4k(3/16) AAS
(3)x^2 + 4xy + y^2 = 19 の整数解を求める。
(x+2y)^2 - y^2 = 19 ⇔ y^2 = (x+2y)^2 - 19
左辺に4xyがあるので (mod 4) の余りに着目すると
x^2 + y^2≡3 (mod 4) …… ※
整数の平方数は列挙すると
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,……
なので、任意の整数 n について
n^2≡0 (mod 4) または n^2≡1 (mod 4)
したがって
x^2 + y^2≡0 (mod 4)
省22
785: 06/26(水)09:50 ID:3n7U4q4k(4/16) AAS
x^2-6x+1 が負でない整数 n の平方 n^2 となるような整数 x を求める
x^2-6x+1 = (x-3)^2-8 = n^2
(x-3)^2-n^2 = 8
(x-3+n)(x-3-n) = 8
したがって
(x-3+n), (x-3-n)
のどちらかが偶数であるが、
(x-3+n)-(x-3-n) = 2n≡0 (mod 2)
x-3+n≡x-3-n (mod 2)
だから
省12
786: 06/26(水)09:53 ID:3n7U4q4k(5/16) AAS
p^2=x^3+y^3と表すことができる素数pをすべて求める。
自然数x、yを用いて
p^2 = x^3 + y^3
と表すことができる素数pをすべて求める。またこのときのx、y をすべて求める。
?x+y = pかつx^2-xy+y^2 = pのとき
y = p-xを一方の式に代入して
x^2-x(p-x)+(p-x)^2 = p
3x^2-3px+p^2-p = 0
x = {3p±√(12p-3p^2)}/6
ここで√の中に着目すると
省15
787: 06/26(水)09:56 ID:3n7U4q4k(6/16) AAS
a、b、c を負でない整数とし、a+1 が 3 の倍数または b+1 が 6 の倍数または c+1 が 6 の倍数のとき、a + b + c = 10000 を満たす (a,b,c) の組数を求める。
a + 1 = A, b + 1 = B, c + 1 = C
とおけば、A が 3 の倍数または B が 6 の倍数または C が 6 の倍数のときに
a + b + c = 10000 → (a+1) + (b+1) + (c+1) = 10003 → A + B + C = 10003
を満たす (A,B,C) の組数を求める問題になる(A,B,C は自然数)。
そこでまず A が 3 の倍数でなく、B が 6 の倍数でなく、C が 6 の倍数でない組数を求めるために
A = 6p + s, B = 6q + t, C = 6r + u (p,q,r は非負整数、s,t,u は 5 以下の自然数ただし s ≠ 3)
とする。
10003 = 1667 × 6 + 1
なので
省15
788: 06/26(水)09:58 ID:3n7U4q4k(7/16) AAS
袋の中に1から7までの番号が書かれた球が入っている。ここから同時に3個の球を取り出す。取り出された3個の球に書かれている数を大きい順にX、Y、Zとする。X、Y、Zのそれぞれの期待値を求めよ。ただし、7個の球にはそれぞれ互いに異なる1個の番号が書かれていて、どの球も取り出される確率は等しいとする。(東北大学)
X がとりうる値は 3≦X≦7 であるから
P(X=3) = C(2,2)/35 = 1/35
P(X=4) = C(3,2)/35 = 3/35
P(X=5) = C(4,2)/35 = 6/35
P(X=6) = C(5,2)/35 = 10/35
P(X=7) = C(6,2)/35 = 15/35
∴E[X] = 3(1/35) + 4(3/35) + 5(6/35) + 6(10/35) + 7(15/35)
= 6
Y がとりうる値は 2≦Y≦6 であるから
省15
789: 06/26(水)10:01 ID:3n7U4q4k(8/16) AAS
定数 x，y に対して an = x^n + y^n で定義される数列 {an}(n=1,2, … ) がある。a1, a2, a3 は整数で
(i)a2 = -4
(ii)a3 は 3 で割って 1 余るを満たす。
このとき次の各問いに答える。
(1)a1 は 6 で割って 4 余る整数であることを示す。
(2)a1 = -2 のとき a(n+2)、a(n+1)、an の満たす関係式を求める。
また、このとき an = 2^(n+1)(n が 3 の倍数のとき)、または an = -2^n(n が 3 の倍数でないとき)と表されることを示す。
a2 < 0よりx,y は複素数であるから、x1,x2,y1,y2を実数として
x = x1 + ix2
y = y1 + iy2
省15
790: 06/26(水)10:01 ID:3n7U4q4k(9/16) AAS
AA省
791: 06/26(水)10:02 ID:3n7U4q4k(10/16) AAS
AA省
792: 06/26(水)10:03 ID:3n7U4q4k(11/16) AAS
AA省
793: 06/26(水)10:06 ID:3n7U4q4k(12/16) AAS
θを実数とするとき、sin(cosθ)とcos(sinθ)の大小を比較する。
sin(cos(x+2π)) = sin(cosx)
cos(sin(x+2π)) = cos(sinx)
なので0≦x < 2πの範囲を考えれば十分。さらに
sin(cos(π-x)) = sin(cos(π+x))
cos(sin(π-x)) = cos(-sin(π+x)) = cos(sin(π+x))
からx = πに関して対称なので0≦x≦πの範囲を考えれば十分。
?0 ≦x < π/2の場合
0 < cosx≦1, 1 < π/2
なので
省19
794: 06/26(水)10:08 ID:3n7U4q4k(13/16) AAS
AA省
795: 06/26(水)10:09 ID:3n7U4q4k(14/16) AAS
AA省
796: 06/26(水)10:10 ID:3n7U4q4k(15/16) AAS
AA省
797: 06/26(水)10:11 ID:3n7U4q4k(16/16) AAS
x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1 (a,b,c＞0)
という条件下での x + y + z の最大値と最小値を求める。
(x/a,y/b,z/c)を成分とするベクトルをp↑、(a,b,c)を成分とするベクトルをqとする。
p↑= (x/a, y/b, z/c)
q↑= (a, b, c)
x、y、z が条件を満たして変化するとき、p↑は空間内のどんな単位ベクトルにもできる。また、qは定ベクトルである。
x + y + z =p↑・q
であるから、p↑、qのなす角をθとして、
x + y + z =|p↑||q|cosθ = (cosθ)√(a^2+b^2+c^2).
θは0≦θ≦πの任意の値をとるから、x+y+zの最大値は√(a^2+b^2+c^2)である。
省25
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