フェルマーの最終定理の証明 (909ﾚｽ)
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789: 06/26(水)10:01 ID:3n7U4q4k(8/20) AAS
定数 x，y に対して an = x^n + y^n で定義される数列 {an}(n=1,2, … ) がある。a1, a2, a3 は整数で
(i)a2 = -4
(ii)a3 は 3 で割って 1 余るを満たす。
このとき次の各問いに答える。
(1)a1 は 6 で割って 4 余る整数であることを示す。
(2)a1 = -2 のとき a(n+2)、a(n+1)、an の満たす関係式を求める。
また、このとき an = 2^(n+1)(n が 3 の倍数のとき)、または an = -2^n(n が 3 の倍数でないとき)と表されることを示す。
a2 < 0よりx,y は複素数であるから、x1,x2,y1,y2を実数として
x = x1 + ix2
y = y1 + iy2
とおくことができる。
a1 = x1 + y1 + i(x2+y2) = 実数
より、
x2 + y2 = 0
x2 = β(>0)
y2 = -β
とおく。
a2 = (x1+iβ)^2 + (y1-iβ)^2
= x1^2 + y1^2 - 2β^2 + i(x1-y1)β = -4
より、
x1 = y1 = α
a2 = α^2-β^2 = -2
a1 = 2α
a3 = (α+iβ)^3 + (α-iβ)^3 = 2α(α^2-3β^3)
= 2α(α^2-3(α^2+2)) = -4α(α^2+3)
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