[過去ﾛｸﾞ] 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 (1002ﾚｽ)
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963: 04/14(月)17:52 ID:CQHMOZH4(1) AAS
840 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/04/14(月) 14:40:23.05 ID:r2r+++xf
a,bが自然数のとき
(a^2+1)/bと(b^2+1)/aがともに自然数⇔(a^2+b^2+1)/(ab)が自然数
が同値なことを示すにはどうすばいいですか。
964: 04/14(月)17:58 ID:EgjOHIoE(1) AAS
あっちで解答書いたけど、そもそもこれが面白い問題なのか？
965: 04/15(火)01:12 ID:a1jS5Vw+(1) AAS
x^5+y^5+z^5
966: 04/15(火)16:01 ID:vIWGW1y3(1) AAS
有界凸図形の K がある。単位球 S 上から P を面積についての一様分布について任意にえらんだとき OP→に垂直な平面 α(P) へ K を射影したときの面積を A(P) とする。A(P) の期待値は K の表面積の 1/4 に等しい事を示せ。
967: 04/15(火)20:24 ID:/QMvLWx/(1/2) AAS
厳密な証明は分からんけど
Kの微小表面積dSからの寄与は|cosθ|dSでこれを全方向で平均すれば∫[π,0]|cosθ|(2πsinθ)dθdS/4π=dS/2
各dSは凸性からちょうど2回寄与することを考慮すれば
K全体ではS/4になる
968: 04/15(火)20:29 ID:/QMvLWx/(2/2) AAS
Kの表面積としてS使ったけど問題文の単位球Sと記号被ってた…
969: 04/16(水)23:53 ID:fWe7q/oV(1) AAS
a^2+b^2=c^2
b^2+c^2=d^2
を満たす自然数a,b,c,dの組は存在しないことを示せ
970: 04/17(木)05:24 ID:cKRhmuHd(1) AAS
これか
外部ﾘﾝｸ:en.m.wikipedia.org
971: 04/17(木)07:40 ID:UYTe+fLQ(1) AAS
なるほどシンプルで面白い
972(1): 04/21(月)10:26 ID:RUXv0XJQ(1) AAS
4x^8+17+12√2を実数範囲で因数分解せよ
973: 04/21(月)11:46 ID:AbCQeYth(1) AAS
x³+y³ = p(xy+p) (x,y ∈ ℕ,p:prime)
974: 04/21(月)18:16 ID:ug437n6J(1) AAS
>>972
4(x^2+x+1+1/√2) (x^2-x+1+1/√2) (x^2+(1+√2)x+1+1/√2) (x^2-(1+√2)x+1+1/√2)
975: 04/23(水)21:17 ID:gkU9/g4y(1) AAS
あ、はい
976: 04/24(木)18:57 ID:6sWJeXnJ(1) AAS
f(x)+f(-x)+f(1/x)=x
f(x)を求めよ
977: 04/24(木)19:07 ID:fx0NxxCT(1/2) AAS
f(x)=1/x (x≠0), 任意 (x=0)
978: 04/24(木)19:27 ID:fx0NxxCT(2/2) AAS
他にも無数に有るな
979: 04/25(金)01:05 ID:wcORTY0F(1/2) AAS
∀p : prime ∃n∈ℕ 2^n + 3^n + 6^n ≡ 1 ( mod p )
980: 04/25(金)02:57 ID:iP0fYop5(1/2) AAS
f(x)+f(-x)+f(1/x)=x
f(-x)+f(x)+f(-1/x)=-x
f(1/x)+f(-1/x)+f(x)=1/x
f(-1/x)+f(1/x)+f(-x)=-1/x
これらを足して3で割ると
f(x)+f(-x)+f(1/x)+f(-1/x)=0
これから第4式を引けば
f(x)=1/x
981: 04/25(金)06:30 ID:iP0fYop5(2/2) AAS
p=2のときn=1でok
p=3のときn=2でok
p≧5のときn=p-2でok (フェルマーの小定理)
982: 04/25(金)06:54 ID:wcORTY0F(2/2) AAS
ｇｊ
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