dx dy の意味は？★２ (669ﾚｽ)
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201: 2022/01/22(土)20:05 ID:+B+HT00f(2/2) AAS
ヨコだが“dfが測度を与える”というのはStieltjes積分の意味やろ
関数φ(x)が与えられたときBorel可測集合上の測度μ(φ:X)を
μ( φ; (a,b) ) = f(b-0) - f(a+0)
μ( φ; {a} ) = f(a+0) - f(a-0)
で定めることができる
そしてこの測度による積分を∫f(x)dφ(x) などと書く場合がある
この場合のφは別に微分可能でなくても良いし、なんなら連続ですらなくてもよい、(むしろ連続でない場合にこそ真骨頂がある)
しかし可微分である場合には
∫f(x)dφ(x) = ∫f(x)φ'(x)dx
とかが成り立ったりしてる
省2
202: 2022/01/22(土)20:10 ID:J1/WkiBO(3/11) AAS
>>199
よくわからないんですけど、その測度の変換が常にヤコビアンになっているという主張なのではないですか？
203: 2022/01/22(土)20:19 ID:S8j7c3Fh(4/7) AAS
>>200
すみませんが、文献を示していただけないでしょうか？
204(5): 2022/01/22(土)20:27 ID:ULI7COT+(1) AAS
>>198の測度を使えば
∫_R dx = 1
x = 2y とおくと
∫_R dx ≠ ∫_R 2dy = 2
205: 2022/01/22(土)20:32 ID:J1/WkiBO(4/11) AAS
>>199
極座標の例では
f:X→Y、(r,θ)→(x,y)では、(r,θ)における長方形Dが、(x,y)においてはバウムクーヘンの切れ端f(D)みたいなものに変換されますよね？X=Y=R^2
その測度間の変換は比例関係にあるというのが通常の変数変換の公式です
μ_Y(f(D))=r*μ_X(D)
μ_X、μ_YはX,Yの測度
>>196の例では
f:X→Y、x→x+1によって、Xでの[0,1]区間CがYでの[1,2]区間f(C)へと移動しています
X=Y=[>>196における(R,Σ,μ)]
もし仮に、上の極座標と同様の関係が成り立つのであれば
省2
206: 2022/01/22(土)20:58 ID:J1/WkiBO(5/11) AAS
>>204
こちらの方がわかりやすいですね
通常の変換公式使うと答えが合いません
207: 2022/01/22(土)21:12 ID:kqlGdb+O(1) AAS
>>204
Mは1次元多様体
p∈M
(U, φ)は、pを含む座標近傍Uで、U〜R、φ(p) = 0となるもの。
ω∈Ω^1(M)、ωはU上でf(x)dx、M＼U上では0と表せるとする。fはなめらかな関数で、f(0)≠0とする。
Rの測度として、>>198のδ_0を取った場合を考える。
∫_M ω = ∫_R f(x)dx = ∫_R f(x)dδ_0 = f(0)
(V, ψ)は、pを含む別の開近傍で、V〜R、ψ(p) = 0。
V上でωはg(y)dy、M＼V上では0と表されるとする。このとき、
∫_M ω = ∫_R g(y)dy = ∫_R g(y)dδ_0 = g(0)
省5
208: 2022/01/22(土)21:12 ID:J1/WkiBO(6/11) AAS
よくよく考えたら、変数変換でヤコビアンが出るという事実が測度に依存するなんて当たり前でしたね
物理の人とかはdxdyとかを微小体積としてヤコビアン出してるわけです
そうできるのは、dxを微小量として考えているからであって、微小変化量というのは明らかにルベーグ測度の考え方です
209: 2022/01/22(土)21:20 ID:jyfGByJ+(1) AAS
・微分形式は体積（測度）とは独立
・Lebesgue測度とはたまたま一致する
ことが示されたのでは？
210(1): 2022/01/22(土)21:25 ID:ZBzIPk+2(1) AAS
いや、
? Lebesgue測度では、微小変化量の2次以降の部分は消える
? その構造をたまたま代数的に実現できる道具があったので、それを微分形式の定義にした
のでは？やはり微小変化量が本質。余接ベクトル場は方便
211: 2022/01/22(土)21:26 ID:S8j7c3Fh(5/7) AAS
どっちでもええのでは
212: 2022/01/22(土)21:28 ID:vMSo+2Nd(2/2) AAS
厳密さを謳えるような和書の「カレント」の理論の教科書ってないの？。
213(2): 2022/01/22(土)21:33 ID:iWu+1cUG(4/5) AAS
>>210
逆ではないのかと思う
すべては微分形式からはじまる
214: 2022/01/22(土)21:38 ID:J2mj5aKy(1) AAS
>>213
>>204で見たとおり、微分形式じゃルベーグ測度以外の積分と整合しないじゃん
つまり、微分形式は特別な場合に上手くいくだけのただのツール
215: 2022/01/22(土)21:39 ID:J1/WkiBO(7/11) AAS
>>213
微分形式を使って>>204を説明してください
216: [sag] 2022/01/22(土)21:44 ID:iWu+1cUG(5/5) AAS
多様体においては、微分形式と整合
しない測度は排除されるべきなのだよ
217(2): 2022/01/22(土)22:08 ID:HqLLFG7c(2/2) AAS
微分形式での測度って体積要素だろ
ルベーグ測度に対応する体積要素が dx
他の測度は別の体積要素になる
ディラック測度のような測度はカレントの理論が必要
218(1): 2022/01/22(土)22:12 ID:9Xp9ZnRc(1/5) AAS
微分形式は関手性と座標変換によって特徴付けられるわけだから
座標変換を変えることによって、Lebesgue測度以外の測度に対しても、微分形式のように振る舞うベクトル束を構成できる？
219: 2022/01/22(土)22:18 ID:9Xp9ZnRc(2/5) AAS
(U, φ_U), (V, φ_V), (W, φ_W)を3つの座標近傍
φ_V○φ_U^(-1) =: φ_VUなどと書くことにして、
座標変換fに伴うJacobianに相当するものを∂fなどと書くことにすると
U∩V∩W上で、
∂φ_UW ∂φ_WV ∂φ_VU = 1
みたいな条件が必要になると思うけど
220: 2022/01/22(土)22:18 ID:J1/WkiBO(8/11) AAS
>>217
前半はそうじゃないと思いますよ
ある体積要素でのあるサイクルの積分が実際のサイクルのルベーグ測度と一致するかどうかとは無関係に、微分形式である限り変数変換すればヤコビアン出てきちゃいますよね？
変数変換でヤコビアンが出るという性質は、測度に依存したものであることが先ほど示されたので、やはり微分形式と積分を両立させるには測度に依存した議論が必要になると思います
>>218
何を言ってるのかわかりません
座標変換を変えるってなんですか？
で変えるとなにがどう微分形式のようなベクトル束ができると言ってるのでしょうか
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