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現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論2 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/
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148: １３２人目の素数さん [] 2019/12/31(火) 14:01:56.08 ID:5xvWacd/ , :'"´ _... --､ ｀ﾞ丶､ ／ _.. - '' ..: .:.::ヽ /:, ' ｀ ､ .:.:::::', i:' __ .. ｀ ､.. .:.:::', ! ,,:='''´ : . : .:.:::::,!_ !,,:=､ _,,,,,＿, : ｀ ､r',r ヽ ! ＿.. ; ´￣ : . ! iヽ :| l'´- / -､ : ! ｰ 'ﾉ ! r_ r=ノ . : :r-ｨ' ヽ ｀__............ : ! l ', , '___,,.--‐'´ . :,' | ヽ ､￣,,.. ''´ : .:／ !､ ', ￣ . : , :'": : ﾄ､＼ ヽ.. .. : : :_,,. '" : : : : l､! ＼ ｀ニi"´::::.... ! ＼―--- .... ,. -‐'''''"´/ l､:::: :. ... _,,ﾉ ｀i ／ / |､｀ﾞ''ー---―''":::/ . http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/148
149: １３２人目の素数さん [] 2019/12/31(火) 14:02:18.88 ID:5xvWacd/ , :'"´ _... --､ ｀ﾞ丶､ ／ _.. - '' ..: .:.::ヽ /:, ' ｀ ､ .:.:::::', i:' __ .. ｀ ､.. .:.:::', ! ,,:='''´ : . : .:.:::::,!_ !,,:=､ _,,,,,＿, : ｀ ､r',r ヽ ! ＿.. ; ´￣ : . ! iヽ :| l'´- / -､ : ! ｰ 'ﾉ ! r_ r=ノ . : :r-ｨ' ヽ ｀__............ : ! l ', , '___,,.--‐'´ . :,' | ヽ ､￣,,.. ''´ : .:／ !､ ', ￣ . : , :'": : ﾄ､＼ ヽ.. .. : : :_,,. '" : : : : l､! ＼ ｀ニi"´::::.... ! ＼―--- .... ,. -‐'''''"´/ l､:::: :. ... _,,ﾉ ｀i ／ / |､｀ﾞ''ー---―''":::/ . http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/149
150: １３２人目の素数さん [] 2019/12/31(火) 15:42:27.82 ID:XYIqsjuV と、数学以前に国語が壊滅状態で会話が成り立たない白痴が申しております http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/150
151: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/31(火) 19:22:38.98 ID:kpkOab9v 三歳児のおサル必死だなｗｗ（＾＾ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/151
152: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:07:16.72 ID:G5rtMfGn >>116 ここにもどる、正月ひまなのでｗ（＾＾ (引用開始) おサル 問題をわざと、論点そらししているな いま問題にしていることは 後者関数suc(a)で ｎ→∞の極限 すなわち 極限 lim ｎ→∞ suc(a) が正則性公理に反する というのがおサルの主張 そんなことはないというのが、 オレだよおれｗ（＾＾； (引用終り) いま分かっていることを整理しよう （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 ペアノの公理 (抜粋) 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 ペアノの公理は以下の図にまとめることができる: x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・ ここで、各f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...は明確に区別可能。 存在と一意性 集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。 まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。 集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。 ここで、次のように定義する。 ・0:=Φ={} ・N:= 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分 ・suc := 後者関数のNへの制限 この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。 一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[2]。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/152
153: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:07:56.36 ID:G5rtMfGn >>152 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 (抜粋) （ノイマン構成） ・任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。 suc (a):=a∪{a} ・自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される。 無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。 （Zermelo構成） 以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。 例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、 0 := {} 1 := {0} = {{}} 2 := {1} = {{{}}} 3 := {2} = {{{{}}}} と非常に単純な自然数になる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/153
154: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:45:41.33 ID:G5rtMfGn >>153 つづき さて 1.無限公理によってできる上記無限集合Mには、N⊂Mで自然数Nを含むけれども、Nを超える余分の元が含まれている （∵”自然数は「後者関数について閉じていて、0 を含む M の部分集合の共通部分」として定義される”とあるのだから、Nを超える余分の元が存在するということ） ２．結論を先取りしていえば、ノイマン構成のN=ωは、極限順序数（下記ご参照）であり、 ”順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)”である ３．上記ペアノの公理の図 （ある後者関数での x→f(x)→f(f(x))→f(f(f(x)))→・・・→ω→f(ω)→f(f(ω))・・・ つまり、この図の順序位相（英語版）に関する極限点がω この極限点ω以降が、１に記述のNを超える余分の元だ ４．Zermelo構成でも、 Φ→{Φ}→{{Φ}}→{{{Φ}}}→・・・→ω→{ω}→{{ω}}・・・ Zermeloの場合、３で x=Φ、 f(x)=suc(x)={x} ってことな 勿論、ωは後者関数の取り方に依存する が、>>152の「存在と一意性」にあるように ”二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる”ということ ５．よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと QED （参考） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 極限順序数 (抜粋) 任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω 極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる: ・順序数全体の成す類において順序位相（英語版）に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)。 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/154
155: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 09:47:26.62 ID:G5rtMfGn >>154 補足 > ５．よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として > ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと こうやって構成した ペアノシステムによるシングルトンのωが、正則性公理に反するはずもない http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/155
156: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/01(水) 10:05:53.13 ID:Vft3k8P2 反します。 正確に言えば集合Ωが F = {x | ∃xn∈…x2∈x1=Ω, xn=x} とおくとき Fの任意の元がsingletonか空集合 を仮定するとZFCの公理ではΩは有限Zermelo順序数になります。 よってこの性質をもつΩでω番目の順序数を持つことはできません。 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/156
157: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:10:38.22 ID:G5rtMfGn >>155 補足 > ５．よって、Zermelo構成でのω、つまりは空集合を出発点として > ペアノシステムにより、シングルトンのωが存在し、これはシングルトンの可算無限重の集合と解釈できるってこと Zermelo構成でのωについて、もう少し考えてみよう １．(下記の)時枝問題のように、可算無限個の箱というものを考えることができる ２．同じように、可算無限個の棒の列、|||・・・も考えられる ３．同じように、可算無限個の括弧 } の列、}}}・・・も考えられる ４．括弧の向きを、逆転させれば、・・・{{{ ５．上記３と４と空集合Φとから、・・・{{{Φ}}}・・・ （＝可算無限重シングルトン）ができる これは、>>154での{・・{{{Φ}}}・・}(＝n重シングルトン)の lim n→ω の極限と解釈できる ６．まとめると、”可算無限個の箱”を認めれば、その流れで、 「・・・{{{Φ}}}・・・ （＝可算無限重シングルトン）」が理解できるってことな (参考) 過去スレ20 再録 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/2-7 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。 「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. 実数列の集合 R^Nを考える. s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版). (引用終り) http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/157
158: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:11:52.95 ID:G5rtMfGn >>156 極限で定義したと言っている それで終りでしょ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/158
159: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/01(水) 10:18:16.16 ID:Vft3k8P2 >>158 定義などできていないし、できていればZFCの公理が矛盾することが証明されて現代数学は破綻します。 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/159
160: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:25:53.58 ID:G5rtMfGn >>157 >>157 補足 可算無限個の箱に近い、現代数学の例が 下記の形式的冪級数の係数 a0,a1,a2,・・・ たちだな 係数 a0,a1,a2,・・・ たちに、具体的な数を入れることができる 箱に、数の代わりに { や, }を入れることができる そうすれば、>>157の６ができる（箱の列を２つ用意する必要があるが） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0 形式的冪級数 (抜粋) 形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。 定義 A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、 Σ_{n=0}^{∞} a_n X^n=a0+a1 X+a2 X^2+・・・ の形をしたものである。 形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。 (引用終り) http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/160
161: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:26:47.44 ID:G5rtMfGn >>159 極限が定義できなければｗ（＾＾； 現代数学は、崩壊するぜｗ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/161
162: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:28:14.68 ID:G5rtMfGn いいか 極限が定義できると言っているんだ その極限の定義を使って Zermeloの後者関数の極限が定義できるんだよ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/162
163: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/01(水) 10:34:13.61 ID:Vft3k8P2 そもそもあなた数学の勉強なんてする気もないし、コピペしてる文章も老後によむ準備で読んだこともないんですよね？ だったらなんでそんな自信満々に自分の定義が成立してるなどということが言えるの？ 説明しようにも論理式も読めないんですよね？ どうしたいんですか？ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/163
164: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:50:05.57 ID:G5rtMfGn >>153 補足 （ノイマン構成）に倣って、 後者関数suc (a)に対して、 それまでに出来た集合の和 ∪a との対応を考えよう 番号 ∪a 0:=Φ 1:={Φ} {0} 2:={{Φ}} {0,1} ・ ・ n:={・・{Φ}・・} {0,1・・n-1} ・ ・ ↓（極限 lim n→∞ ） ω:=・・・{Φ}・・・ {0,1・・n-1・・}（＝：N（自然数）*)） 注*) １． {0,1・・n-1・・}＝：N（自然数）は、極限順序数ωより前の全ての有限順序数の集合である ２．ノイマン構成では、後者関数の定義が、「a以前に出来た全ての集合」なので 特に、ω＝Nになる ３．しかし、ノイマン構成以外の後者関数の定義においては、そうはならない！（＾＾ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/164
165: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/01(水) 10:55:37.45 ID:Vft3k8P2 そもそもNeumann構成での順序数の定義は極限など使っていないでしょ？ 1) 順序数を定義する 2) 順序を入れる 3) 位相がはいる。 4) 結果としてwはw未満の順序数の上極限となっていることが確かめられる。 です。 順序数の集合が定義されてなければ順序集合も位相も定義できません。 http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/165
166: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/01(水) 10:58:14.25 ID:G5rtMfGn >>164 補足 １．勿論、これはZermeloの意図した 自然数の公理的構成とは違って、 現代数学の成果 例えば、順序位相による極限などを、自由に使っている ２．いま、問題にしていることは、 21世紀の視点から ノイマン構成によって、自然数の公理的構成が可能なことは、既知として ノイマン構成以外の後者関数を使った場合どうなるか？ 特に、Zermeloのシングルトンによる後者関数を使った場合にどうなるかを 現代数学の視点で検証しようということ ３．Zermeloのシングルトン後者関数が、正則性公理に反するというもの（＝おサルさん）がいる そんなことは無いと、私スレ主はいう そういう議論ですよ（＾＾ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/166
167: １３２人目の素数さん [sage] 2020/01/01(水) 10:59:56.91 ID:Vft3k8P2 訂正 4) ωはω未満の順序数の上界となっていることが確かめられる。 です。 順序数の集合が定義できてないのに、極限もへったくれもないでしょ？ これは別に論理式わからなくても理解できるはずですけど？ ほんとは分かってるんじゃないんですか？ http://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1576852086/167
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