[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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923(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:31 ID:CX/otP+s(6/9) AAS
>>919 補足
ζ=exp(2πi/n)を根とする 二項方程式 x^n-1＝0は、加約で因子（x-1）を持つので、次数は１つ下げられる
だから、最小多項式の次数はｎ−１までは下がります
なので、定理中で「ζ=exp(2πi/n)の最小多項式は」と書くと、次数が合わないですね
（ｎ−１次の方程式が、ｎ個の根を持つことになりますから）
だから、式を直すか、根の数を直す必要がありますね
924: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)11:32 ID:CX/otP+s(7/9) AAS
>>923 誤変換訂正
加約で因子（x-1）を持つので、
↓
可約で因子（x-1）を持つので、
925(1): 2019/10/17(木)12:01 ID:4+tTJiqO(1) AAS
ζ=exp(2πi/5)、a=(ζ+2)^4(ζ^2+2)、K=Q(ζ)、Lはx^5-aの分解体、PはGal(L/Q)の2-Syllow群、MはPの作用で動かないLの元全体
にしたらどうだろ？
[M:Q]=5、LはMを含む最小のガロア拡大までは正しいけど、どんなm∈M＼Qをとっても最小多項式はx^5-cの形にならないのではなかろうか？
半分勘だけど。
926(1): 2019/10/17(木)13:10 ID:fQMp07ks(1/4) AAS
>>925
これ撤回。
反礼にならないな。
ガロア群がc5とaut(c5)の半直積のケースは全部最小多項式が２項のものがとれるのかな？
927(2): 2019/10/17(木)13:54 ID:fQMp07ks(2/4) AAS
>>926
成立するかも。
Q(exp2πi/5)の類体が1を認めると割とスッキリ示せるっぽい。
しかし類対論は真剣に勉強した経験ないので自信なし。
928(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)17:53 ID:CX/otP+s(8/9) AAS
>>927
どうもスレ主です。
ひょっとして、おっちゃんですか？
外していら、失礼（＾＾；
929(1): 2019/10/17(木)18:15 ID:fQMp07ks(3/4) AAS
>>928
私はオッさんではある。
やっぱりLをx^5-(-1+√5)/2の分解体にした時むりかな？
無理である可能性をx^5-k kはKの単数の場合まで絞り込めたけど難しいね。これ。
930: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)18:50 ID:CX/otP+s(9/9) AAS
>>929
＞私はオッさんではある。
ああ、そうでしたか
これは失礼しました
しかし、難しいことを考えられますね（＾＾
931: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)18:58 ID:448PbhX4(6/12) AAS
>>914
いちいちごもっとも
>>909みたいにアケスケに書けば
1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1
みたいなナイーブな認識が
円分体のガロア群に関しては
全然見当違いだと分かる
（クンマー拡大とは違うのだよｗ）
例えばφ12は4次式で
ζ=exp(2πi/12)cos(2π/12)+i*sin(2π/12)
省19
932(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:00 ID:448PbhX4(7/12) AAS
>>915
>Mara Papiyasさんも勉強しながら書かれてる感じですが、
そうですね ツッコむために勉強してます（ひでぇ）
>スレ主さんとは違って自分の頭を通して書いているな
>というのが分かります。
そうですね そうでないとツッコめませんから（ひでぇ）
>「アーベル群とアーベル群の直積はアーベル群にしかならないだろう」
>とか、数学徒であれば誰でも気づくツッコミも入れてきます。
省9
933: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(8/12) AAS
>>916
>(スレ主は)まとまった理論が頭の中に構築されている感じがしません。
全くおっしゃる通り
あのね、工学屋は別にガロア理論なんて知らなくたって困りませんよ
代数学の基本定理だって、結論だけ知っときゃいいｗ
「ｎ次方程式は、重解も含めて必ずｎ個の解がある」とかね
解は、数値解法でゴリゴリ求めればいい
馬鹿が粋がって「ガロア理論がー」とかいって初歩的な誤りを連発
しかも誤りを指摘されても決して認めずワケワカランな抗弁するから
イジりまくられる
省4
934(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:02 ID:448PbhX4(9/12) AAS
>>919
>なんか、混乱していませんか？
おまえがなｗ
ぶっちゃけ「最小多項式」が分かってないだろｗ
wikipedia
最小多項式 (体論)
「α の最小多項式は
α を根として持つ F[x] の 0 でないすべての多項式のうち
次数が最小のモニック多項式である。」
省2
935(1): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:04 ID:448PbhX4(10/12) AAS
>>923
wikipediaの円分多項式のところを読め
φnを円分多項式とする
(x^12-1)
＝φ1φ2φ3φ4φ6φ12
ζ=cos(2π/12)+i*sin(2π/12)とする
φ1=(x-1) 根は１
φ2=(x+1) 根はζ^6=-1
φ3=(x^2+x+1) 根はζ^4、ζ^8
φ4=(x^2+1) 根はζ^3=i ζ^9=-i
省2
936: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:10 ID:448PbhX4(11/12) AAS
>>901
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.hyogo-u.ac.jp
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
馬鹿は上記の論文読んでないだろ
読めば、定理4.9(p72)で貴様の主張が否定されてると分かるぞ
937: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/17(木)19:21 ID:448PbhX4(12/12) AAS
x^5+b=0のとき、判別式Dfは3125*b^4で、
3125は5^5だから、Δf=√Dfは、有理数になりようがない
つまり、x^5+b=0のガロア群はF20
938(1): 2019/10/17(木)20:14 ID:rXxqe236(7/8) AAS
>>918
aを3乗数でない整数とすると、x^3-aはQ上既約。
分解体KはQ上6次拡大体なので、Gal(K/Q)=S_3.
ただし、1の原始3乗根ωを添加した体上では
Gal(K/Q(ω))=C_3と退化する。これが一般3次方程式との違い。
つまり、一般3次方程式は最初に2次方程式を解いたあとωを添加して3次クンマー拡大でべき根表示が得られる
（分解体Kにωが含まれることを必ずしも意味しない）わけですが
最初の2次拡大とQ(ω)/Qが一致する特殊ケースが2項方程式（及びそれと同値な方程式）なわけです。
わたしが指摘したのは、この類似が5次方程式でも成立してるよねってことです。
なので、Mara Papiyas氏の挙げた2項方程式は
省1
939(1): 2019/10/17(木)20:16 ID:rXxqe236(8/8) AAS
>>927
最初の4次拡大がQ(ζ)/Q（ζは1の原始5乗根）と一致するかどうかなので、そんな難しい話じゃないと思いますよ。
940(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)20:51 ID:khSgay+Z(6/9) AAS
>>938
＞まさしくスレ主の言う位数20の可解群を持つ方程式になってるわけですよ、Q上のね。
ID:rXxqe236さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう
いや
ご指摘の通りです
Q上で、5次方程式の既約 ２項方程式 x^5-a＝0 のガロア群、位数20の可解群を持ちます
ご指摘の通りです m(＿ ＿)m
941(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:08 ID:khSgay+Z(7/9) AAS
>>914 >>934-935
ID:rXxqe236さん、ID:448PbhX4さん、あなたたちが正しいわ
大変失礼しました。円分多項式（円周等分多項式）ですよね
草場公邦 「ガロワと方程式」P118 5.5 「円周等分多項式の既約性」
に、詳しい説明がありました
とすると、”１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ”さん 外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
ｎ＝pのときのイメージのままで書いているのかも（＾＾；
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
円分多項式
省26
942(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/17(木)22:13 ID:khSgay+Z(8/9) AAS
>>940 追加
巡回群については、下記が参考になるでしょう
外部ﾘﾝｸ[pd]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
巡回群をガロア群に持つ5次方程式の判別とその解法(数式処理と数学研究への応用)
元吉 文男
数理解析研究所講究録 (1990), 722: 17-20
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