[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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863(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/15(火)23:51 ID:9ROe+Kvi(8/9) AAS
>>860
C++さん、どうも。スレ主です。
＞＞オイラーのファイ関数
＞φ関数とは書きますけれども…普通、トーシェント関数ではないでしょうか
最近は、トーシェント関数が普通かもしれませんが
以前は、”φ関数”だけで、”トーシェント関数”という呼び方は、あまり使われていなかったと思います
まあ、カナで”ファイ関数”という表記は珍しいですが、”物理のがきしっぽ”の記事なので、読者レベルを考えての表記でしょう
因みに、totientの命名は、Sylvester先生で、「Totidem」が由来とか
（参考）
外部ﾘﾝｸ:detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
省26
864: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/15(火)23:55 ID:9ROe+Kvi(9/9) AAS
>>863
つづき
Joseph Sylvester先生は、下記で行列を発明したことで有名です
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
James Joseph Sylvester
(抜粋)
Legacy
Sylvester invented a great number of mathematical terms such as "matrix" (in 1850),[9] "graph" (combinatorics)[10] and "discriminant".[11] He coined the term "totient" for Euler's totient function φ(n).[12]
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ジェームス・ジョセフ・シルベスター（James Joseph Sylvester, 1814年9月3日 - 1897年3月15日）は、イギリスの数学者。
省8
865: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)00:02 ID:OrOarbJT(1/12) AAS
>>863
オイラーのφ関数は、最初に１が出たあとは、全部偶数なんですね（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
オイラーのφ関数
(抜粋)
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。
1 から 20 までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…(オンライン整数列大辞典の数列 A000010)
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。
外部ﾘﾝｸ:oeis.org
省7
866(1): 2019/10/16(水)00:25 ID:eqCH01Ub(1/4) AAS
オイラーのトーシェント関数
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8
をスレ主は筆算で確認できますか？
867: 2019/10/16(水)00:33 ID:eqCH01Ub(2/4) AAS
n=21のときのオイラーのトーシェント関数は
3,6,9,12,15,18,21
と
7,14,21
以外なので21-7-3+1=12
省1
868: 2019/10/16(水)01:05 ID:eqCH01Ub(3/4) AAS
オイラーのトーシェント関数とは
nに対し1からnまでの整数でnと互いに素であるような数の個数
です
n=21なら、1,2,4,5,8,10,11,13,15,17,19,21の12個になります
互いに素とは、二つの数の最大公約数が1であるということです
869(1): 2019/10/16(水)01:06 ID:eqCH01Ub(4/4) AAS
面白いですね
870: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)05:18 ID:/906omXv(1/12) AAS
馬鹿は円分体の同型写像を具体的に構成する宿題をやったか？
それともガロア理論諦めるか？
後者をすすめるぞ 貴様には向学心がないからな
次からスレタイ変えろよ みっともないぞｗ
871(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:44 ID:OrOarbJT(2/12) AAS
>>866
ID:eqCH01Ubさん、どうも。スレ主です。
筆算でね（＾＾
出来ると思うよ、やらないけど
>>869
>面白いですね
面白いよね
φ(n)は、数論のいたるところに出てくるね（＾＾
872: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)07:48 ID:/906omXv(2/12) AAS
>>871
馬鹿、ガロア理論を諦めるｗｗｗｗｗｗｗ
873(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:51 ID:OrOarbJT(3/12) AAS
>>859
>円分体の同型写像を具体的に構成せよ
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体は、草場公邦のP131にあるよ
そこから、手でコピータイプしても良いが
それでは、みなさん面白くないでしょｗ（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:www.asakura.co.jp
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
省20
874(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:51 ID:OrOarbJT(4/12) AAS
>>873
つづき
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。
問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
(引用終り)
つづく
875(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:54 ID:OrOarbJT(5/12) AAS
>>874
つづき
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
外部ﾘﾝｸ[pdf]:arxiv.org
ここで、円分体そのものじゃないけど、
省19
876: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)07:56 ID:OrOarbJT(6/12) AAS
>>875 文字化け訂正
x^5 ? 2
↓
x^5 - 2
などね
-の記号が、多分コードが違うので、目では見分けが付かず、この板では文字化けするんだ（＾＾；
877: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM 2019/10/16(水)07:57 ID:/906omXv(3/12) AAS
>>873-875
馬鹿は、文章を読まずにコピペして誤魔化すから
いつまでたっても書いてあることが理解できないｗ
別に草場の本なんか見なくてもネットにもあるぞ
それ読め と・に・か・く・よ・め
878(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)11:37 ID:86h80x0A(1/8) AAS
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
”クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。”
（参考）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
クロネッカー・ウェーバーの定理
(抜粋)
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。
クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker?Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。
省12
879: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)11:38 ID:86h80x0A(2/8) AAS
>>878
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Kronecker?Weber theorem
(抜粋)
In algebraic number theory,
it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q,
having Galois group of the form (Z/nZ )^x .
The Kronecker?Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field.
In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients.
省8
880(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:16 ID:86h80x0A(3/8) AAS
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体って、単純そうで、結構深いよね(゜ロ゜;
乗法群、Group scheme of roots of unity （＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
乗法群
(抜粋)
数学と群論において、用語乗法群 (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：
・体、環、あるいはその演算の 1 つとして乗法をもつ他の構造の、可逆元が乗法の下でなす群[1]。体 F の場合には、群は {F ? {0}, ?} である、ただし 0 は F の零元であり二項演算 ? は体の乗法である。
・代数的トーラス（英語版） GL(1).
省6
881(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:17 ID:86h80x0A(4/8) AAS
>>880
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Multiplicative group
(抜粋)
In mathematics and group theory, the term multiplicative group refers to one of the following concepts:
・the group under multiplication of the invertible elements of a field,[1] ring, or other structure for which one of its operations is referred to as multiplication.
In the case of a field F, the group is (F ? {0}, ?), where 0 refers to theZero element of F and the binary operation ? is the field multiplication,
・the algebraic torus GL(1).
Examples
省6
882(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/10/16(水)15:18 ID:86h80x0A(5/8) AAS
>>881
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Group scheme
(抜粋)
Group schemes that are not algebraic groups play a significant role in arithmetic geometry and algebraic topology, since they come up in contexts of Galois representations and moduli problems.
The initial development of the theory of group schemes was due to Alexander Grothendieck, Michel Raynaud and Michel Demazure in the early 1960s.
Examples
・The multiplicative group Gm has the punctured affine line as its underlying scheme, and as a functor, it sends an S-scheme T to the multiplicative group of invertible global sections of the structure sheaf.
Algebraic tori form an important class of commutative group schemes, defined either by the property of being locally on S a product of copies of Gm, or as groups of multiplicative type associated to finitely generated free abelian groups.
省4
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