面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (360ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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265: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 06:34:20.63 ID:e60Qap8s >>251 のヒント ワイン全体の集合をW、奴隷全体の集合をSとおく。 集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合を2^Xとおく。 また、集合Xと整数kに対し、X(k) = {Y⊂X : |Y| = k} とおく。 どのワインをどの奴隷に飲ませるかを表す写像 f:W→2^S を考える。 V⊂Wに対して f(V):=∪_(v∈V)f(v) と定めることにより、fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。 問題は、拡張したfの W(500) への制限が単射になるような f が存在する最小の |S| を求めることと言い換えられる。 （ここからヒントの本題） 全ての正の整数 k≦500 に対し、f の W(k) への制限は単射になる。（なぜか？） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/265
266: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 06:36:21.32 ID:e60Qap8s >>265 誤 fは2^Wから2^Wへの写像に拡張できる。 正 fは2^Wから2^Sへの写像に拡張できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/266
274: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 14:17:15.37 ID:kaOtwNfL >>265 ヒント続き （証明） k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時 |W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。 もし f(A)=f(B)と仮定すると、 f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C) となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。 ゆえに f(A)≠f(B). （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/274
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