ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (540ﾚｽ)
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22: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 13:37:36.40 ID:vzADU7Bh

前スレ ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/991
(引用開始)
>「ガロア群σを体の自己同型写像として見たとき、σ(α)=ζαとなる固有ベクトルαが存在することを示せばいい」
セタさんはそもそも、「べき根であること」とその条件が同値であることが分かってなかったな。
むしろ全力で否定してたはずｗ
(引用終り)

補足します
下記の通り
ラグランジュのレゾルベント は、有力な手法ではあるが、5次方程式では 行き詰ってしまって
詰んでしまったのです

そこで、ガロアは考えた
ラグランジュのレゾルベントを一般化した ガロアレゾルベントを考えよう！
そして、ガロアは ガロアレゾルベントを使った 代数方程式の理論を構築したのです
それが、今に残る 彼の第一論文です

ここが
分からない人は、ガロア第一論文を、読みましょう！
ガロア第一論文を読まず、つっかかる人がいますｗｗ ；ｐ）
（否定しているのは、”ラグランジュのレゾルベントは決して万能ではない”ってところですよ
　付言すれば、”ラグランジュのレゾルベント つかえねぇ〜！”という場面がたくさん あるよということです ；ｐ）

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Resolvente
Lagrange-Resolvente
代数方程式の理論において、ラグランジュのレゾルベントは、多項式の零点（根）と単位元の原始根から形成される補助量であり、別の多項式方程式であるレゾルベント方程式を満たします。ラグランジュのレゾルベントに加えて、他のレゾルベントも存在します。
本編
これは1770年頃にジョゼフ・ルイ・ラグランジュによって導入されたもので[ 1 ]、高次代数方程式が根号、つまり方程式の係数から閉じた表現によって、基本的な算術と根号抽出のみを使用して解けるかどうかを調査するために用いられました。
5 次方程式を扱うとき、ラグランジュは彼の方法の限界に遭遇しましたが、この場合、問題は単純化されませんでした。アベルは後に、一般に根号では解けないことを示した。
一般的に、レゾルベントは多項式、またはより一般的には、初期方程式の根における有理関数であると理解されている。
レゾルベント方程式の下にレゾルベントを決定するための補助方程式が得られる。
ラグランジュによれば、根を置換するときには、解決子はできるだけ少ない値を持つべきである。
これらのより一般的なレゾルベントにより、方程式のガロア群とその部分群を（関連するレゾルベントとともに）調査することができ、 19 世紀の教科書におけるガロア理論の扱いの不可欠な部分でした（この文脈ではガロア レゾルベントと呼ばれます）。[ 3 ]「レゾルベント」という用語は、もともとレオンハルト・オイラー（1738）が4次方程式に関連して作った造語であり[ 4 ]、その名称はラテン語（解決するという意味のresolvere）に由来する。4 次方程式を解くこれらの古典的な方法では、 4 次方程式の 3 次解析と呼ばれる 3 次補助方程式に導かれます。[ 5 ]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/22

26: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 14:52:45.07 ID:vzADU7Bh

前スレ フォロー
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/972
(引用開始)
２と３と５と７の平方根が 有理数体上線形独立であることを 初めて示したのは誰？
　↓英訳
Who first showed that the square roots of 2, 3, 5, and 7 are linearly independent over the field of rational numbers?
Copilotさんに喰わせると
その答え：
The linear independence of square roots of distinct square-free integers over ℚ has been studied extensively in number theory and algebra. One of the earliest rigorous treatments of this topic can be traced back to A.S. Besicovitch (1940), who explored the linear independence of fractional powers of integers. Later, L.J. Mordell (1953) also contributed to the study of the linear independence of algebraic numbers.
The general result states that if n₁, n₂, ..., nₖ are distinct square-free integers, then {√n₁, √n₂, ..., √nₖ} is linearly independent over ℚ. This follows from deeper results in Kummer theory and the Galois theory of radical extensions.
Would you like to explore the proof in more detail? It involves some fascinating applications of field extensions and trace arguments.
でした
(引用終り)

さて、フォローです
google検索：L.J. Mordell (1953) Kummer theory the square roots of 2, 3, 5, and 7 are linearly independent over the field of rational numbers
で、下記ヒット
Besicovitchと Mordellと 両方 stackexchangeの回答にあります（これがネタ？）

なお、arxiv投稿 ”ON THE DEGREE OF REPEATED RADICAL EXTENSIONS FERNANDO SZECHTMAN”2021
が、本格的です（Can. Math. Bull. 64 (2021) 877-885 に掲載か）

(参考)
https://math.stackexchange.com/questions/30687/the-square-roots-of-different-primes-are-linearly-independent-over-the-field-of
The square roots of different primes are linearly independent over the field of rationals
asked Apr 3, 2011 at user8465
(抜粋)
answered Apr 3, 2011 at Bill Dubuque

Elementary proofs like that above are often credited to Besicovitch (see below). But I have not seen his paper so I cannot say for sure whether or not Besicovic's proof is essentially the same as above. Finally, see the papers reviewed below for some stronger results.

2,33f 10.0X
Besicovitch, A. S.
On the linear independence of fractional powers of integers.
J. London Math. Soc. 15 (1940). 3-6.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/26

27: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/28(水) 14:53:16.49 ID:vzADU7Bh

つづき

Let  ai=bi pi, i=1,…s,
where the pi  are s
different primes and the bi
positive integers not divisible by any of them. The author proves by an inductive argument that, if xj
are positive real roots of xnj−aj=0, j=1,...,s,
and P(x1,...,xs)
is a polynomial with rational coefficients and of degree not greater than nj−1
with respect to xj,
then P(x1,...,xs)
can vanish only if all its coefficients vanish.  Reviewed by W. Feller.

15,404e 10.0X
Mordell, L. J.
On the linear independence of algebraic numbers.
Pacific J. Math. 3 (1953). 625-630.

Let K
be an algebraic number field and x1,…,xs
roots of the equations  xnii=ai (i=1,2,...,s)
and suppose that (1) K
and all xi
are real, or (2) K
includes all the ni
th roots of unity, i.e. K(xi)
is a Kummer field. The following theorem is proved. A polynomial P(x1,...,xs)
with coefficients in K
and of degrees in xi
, less than ni
for i=1,2,…s
, can vanish only if all its coefficients vanish, provided that the algebraic number field K
is such that there exists no relation of the form  xm11 xm22⋯xmss=a
, where a
is a number in K
unless  mi≡0modni (i=1,2,...,s)
. When K
is of the second type, the theorem was proved earlier by Hasse [Klassenkorpertheorie, Marburg, 1933, pp. 187--195] by help of Galois groups. When K
is of the first type and K
also the rational number field and the ai
integers, the theorem was proved by Besicovitch in an elementary way. The author here uses a proof analogous to that used by Besicovitch [J. London Math. Soc. 15b, 3--6 (1940) these Rev. 2, 33].  Reviewed by H. Bergstrom.

https://arxiv.org/abs/2006.07951
Journal reference: Can. Math. Bull. 64 (2021) 877-885 [Submitted on 14 Jun 2020 (v1), last revised 27 May 2021 (this version, v2)]
https://arxiv.org/pdf/2006.07951
ON THE DEGREE OF REPEATED RADICAL EXTENSIONS
FERNANDO SZECHTMAN
Abstract. We answer a question posed by Mordell in 1953, in the case repeated radical extensions, and find necessary and sufficient conditions for [F[ m1 √N1,..., mℓ √Nℓ] : F] = m1 ···mℓ, where F is an arbitrary field of characteristic not dividing any mi.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748354585/27

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