純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)18 (402レス)
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327: [] 2024/05/06(月) 00:28:13.89 ID:Co8XPBRF >>323 補足 ・代数的整数の全体 A は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 C の部分環をなす だね ・f (α) = 0 を満たすモニック多項式 f (x) ∈ Z[x] が存在する が、急所だ ・下記 ”性質 二つの代数的整数の和、差、積もまた代数的整数となる” のあとにあるように 代数的整数 x, y のモニック多項式 f (x)=0、g (y)=0を使って、h(x+y)=0,h'(xy)=0のモニック多項式が構成できる(つまりx+y、xyが代数的整数になる) ことを示すんだな (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0 代数的整数 数論において代数的整数(だいすうてきせいすう、英: algebraic integer)とは、ある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである。代数的整数の全体 A は加法と乗法について閉じており、ゆえに複素数環 C の部分環をなす。この環 A は有理整数環 Z の C における整閉包となっている。 代数体 K の整数環 OK は K ∩ A に等しく、また体 K の極大整環(英: maximal order)となっている。全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している。x が代数的整数であることは、環 Z[x] がアーベル群として有限生成(即ち有限生成 Z-加群)であることと同値である。 定義 以下は α ∈ K が代数的整数であることの同値な定義である。ここで K は代数体(有理数体 Q の有限拡大)とする。原始元定理より、この K は適当な代数的数 θ ∈ C によって K = Q(θ) とすることもできる。 ・f (α) = 0 を満たすモニック多項式 f (x) ∈ Z[x] が存在する。 ・α の Q 上の最小モニック多項式 f (x) ∈ Z[x] が存在する。 代数的整数は有限拡大 K / Q の整元となっている。即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1705834737/327
補足 代数的整数の全体 は加法と乗法について閉じておりゆえに複素数環 の部分環をなす だね を満たすモニック多項式 が存在する が急所だ 下記 性質 二つの代数的整数の和差積もまた代数的整数となる のあとにあるように 代数的整数 のモニック多項式 を使ってのモニック多項式が構成できるつまりが代数的整数になる ことを示すんだな 参考 代数的整数 数論において代数的整数だいすうてきせいすう英 とはある整数係数モニック多項式の根となる複素数のことである代数的整数の全体 は加法と乗法について閉じておりゆえに複素数環 の部分環をなすこの環 は有理整数環 の における整閉包となっている 代数体 の整数環 は に等しくまた体 の極大整環英 となっている全ての代数的整数はそれぞれ何らかの代数体の整数環に属している が代数的整数であることは環 がアーベル群として有限生成即ち有限生成 加群であることと同値である 定義 以下は が代数的整数であることの同値な定義であるここで は代数体有理数体 の有限拡大とする原始元定理よりこの は適当な代数的数 によって とすることもできる を満たすモニック多項式 が存在する の 上の最小モニック多項式 が存在する 代数的整数は有限拡大 の整元となっている即ち代数的整数は環の拡大における整元の特別な場合である つづく
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