純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）18 (415ﾚｽ)
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266:  [] 2024/04/21(日) 23:18:31.93 ID:+2zd27AU

淡中忠郎先生の「数学雑談」か。記憶に残っていないが
淡中忠郎先生の記事は、数学セミナーで何度か見かけたと思います
淡中忠郎先生の数学教科書もありましたね
しかし、下記のように淡中圏でお名前がこんなに有名になるとは、当時はさっぱり知りませんでした

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E5%9C%8F
淡中圏

淡中圏（たんなかけん、tannakian category）とは与えられた体Kに関係するある付加的な構造を備えた、ある種のモノイダル圏Cである。

そのような圏Cの役割は、K上定義された代数群Gの線形表現の圏をおおよそ見積もることにある。この理論の多数の応用が今までになされてきた。

解説
名前の由来はコンパクト群Gとそれらの表現に関する淡中・クライン双対性である。この理論ははじめアレクサンドル・グロタンディークのセミナーで発展し、その後にドリーニュによって再考され、幾分簡易化された。理論は、副有限群あるいはコンパクト群Gの有限組み合わせ的な表現に関する理論であるグロタンディークのガロア理論に似ている。

より詳しくはSaavedra Rivanoの論評にあるが、理論の要点はガロア理論のファイバー関手
ΦをCから
K_Vectへのテンソル関手Tに置き換えることにある。
Φからそれ自身への自然変換がなす群、すなわちガロア理論における副有限群はTからそれ自身へのテンソル構造を保つ自然変換のなす群（単にモノイドとする場合もある）に置き換える。これは代数群ではないが、代数群の逆極限（すなわち副代数群）である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Tannakian_formalism
Tannakian formalism

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E5%8F%8C%E5%AF%BE%E6%80%A7
淡中・クライン双対性
解説
この理論は淡中忠郎とマルク・クレインにちなんで命名された。 レフ・ポントリャーギンが考えた可換群の場合とは対照的に、非可換コンパクト群の双対概念は群ではなく、Gの有限次元表現によって形成される、何らかの付加的な構造を持つ表現の圏Π(G)である。

淡中とクラインの双対性定理は、Π(G)の圏から群Gへの逆行列を記述し、その表現の圏から群を回復することを可能にする。 さらに、彼らは、この方法で群から生じうるすべてのカテゴリーを完全に特徴づけている。 後にアレクサンダー・グロタンディークは、同様のプロセスによって、淡中の双対性がTannakian formalismを介して代数群の場合に拡張できることを示した。 一方、淡中とクラインの理論は数理物理学者によって発展・改良され続けた。淡中-クライン理論の一般化は量子群の表現を研究するための自然な枠組みを提供し、現在では量子超群、量子亜群、およびそれらの双対ホップ環状体に拡張されている。

https://en.wikipedia.org/wiki/Tannaka%E2%80%93Krein_duality
Tannaka–Krein duality

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1705834737/266

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