[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて～な 六問目 (966ﾚｽ)
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602(2): 546 03/08/31 14:54 AAS
＞ネズミ算にばらつきが生じる原因となる要素が何なのか
例えば１０００個の地域に適当な数のねずみをばらまいて、
各地域ばらばらに毎年１．９倍、２．０倍、２．１倍からランダムに選んで増え続けるとしたら、
１００年後には上一桁が１の場所が約３割になってる可能性はかなり高いと言える？
603: 546 03/08/31 17:13 AAS
>>594や>>597はどうしても違うと思うのだが・・・
指数関数的な伸びによる影響はやはりあると思うんだけどな。
取りあえず>>602に対する意見求む。
604(1): 03/08/31 17:17 AAS
もうやめとけ・・・
スレタイを読め
605(1): 03/08/31 17:18 AAS
もはや質問スレに移行すべき内容になってるな。
606(1): 03/08/31 17:26 AAS
ざっと読んだけど>>594を書いてる人物は間違ってないか？
指数関数は関係あるだろ
それが人間の市町村の場合の人口分布に当てはまるかどうかは別として
607: 546 03/08/31 17:33 AAS
>>604、>>605
スマソ
そろそろやめます。
>>606
やっぱ指数関数は関係あるよね。
608: 03/08/31 17:56 AAS
544、出典だけでもえーからおしえーーーて
609(1): 03/08/31 18:02 AAS
＞例えば各領地に１匹、２匹、・・・、１０００匹のねずみを配置して
＞一年で２倍になるように増え続けるとしたら、
＞１００年後には上一桁が１の場所が約３割になってると言えるでしょ
言える。というかピッタリ。正確な分布は下のとおり（左から1,2,…)
{300, 88, 88, 87, 88, 88, 88, 86, 87}
610(1): 546 03/08/31 18:11 AAS
>>609
あ、調べてもらってどうもです。
というかその例は１から１０００までの数字をただ単に２＾１００倍しただけだから偏っちゃうんだよね。
書いた後に気付いた。
>>602のような場合はどうなりますか？
１００年のうちに適度にちらばっていって、log2くらいに落ち着くと思うんですが。
611(1): 03/08/31 18:24 AAS
>>610
これも1.9 2 2.1倍しかないからまだ偏る。
以下が3回試した結果。
適当な数ってのは1～1000までのランダムで決めた。
{293, 142, 108, 84, 92, 101, 69, 54, 57}
{286, 131, 92, 95, 91, 98, 96, 61, 50}
{264, 114, 98, 108, 91, 108, 76, 72, 69}
（理論値は{301.03, 176.091, 124.939, 96.91, 79.1812, 66.9468, 57.9919, 51.1525, 45.7575}）
ただし、人口や>>592は加算でこれは乗算だから根本が違う。
612: 03/08/31 18:35 AAS
611補足
例えば増える倍率をTan[x](xはPi/4<x<Pi/2でランダム)としたら理論値により近い結果になった。
613(1): 546 03/08/31 18:36 AAS
>>611
どうもです。
＞ただし、人口や>>592は加算
そう？
市町村の場合はともかく、例えば国別だったら人口は乗算じゃないの？
年○○％の伸び率とか言うじゃん。
614(1): 03/08/31 18:42 AAS
>>613
確かにそうだな。
しかし>>592は完璧な加算だと思うよ。子供産むなら別だが
615(1): 546 03/08/31 18:46 AAS
>>614
>>592は子供産む前提で、領地から領地への移動は無しというつもりで書きました。
分かりにくかったですね。
スマソ。
616(1): 03/08/31 18:51 AAS
>>615
わかるか！
617(2): 03/08/31 19:20 AA×
618(2): 546 03/08/31 19:24 AAS
>>616
すまねえ。
取りあえず国別の人口も調べてみた。
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.worldbank.org
上一桁が１，２，・・・，９の国の数は順に
１０億台（ ２， ０， ０，０， ０，０，０，０，０）
１億台（ ７， ２， ０，０， ０，０，０，０，０）
１０００万台（２９，１３， ７，６， ４，５，１，２，０）
１００万台（１０， ９，１３，８，１３，６，４，８，３）
１０万台（１１， ８， ３，６， １，３，３，２，０）
１万台（ ０， １， ４，１， ２，３，３，３，２）
計（５９，３３，２７，２１，２０，１７，１１，１５，５） 全２０８ヶ国
誤差はあるものの全体としてはやはり、上一桁が１よりの国が多く、９よりの国が少ない傾向がある。
これも俺は、人口が指数関数的に伸びるからだと思うのだがどうだろう？
619: 03/08/31 19:27 AAS
>>618
もうやめとけって。人口の分布がどんな分布になるかなんて数学のテーマじゃないだろ？
620: 03/08/31 19:31 AAS
>>618
もう多少関係するって結論で良いだろ。
621(2): 03/08/31 19:35 AAS
>>617
問1
左から真ん中
左から右
真ん中から右
左から真ん中
右から左
右から真ん中
左から真ん中
問2
一番下以外を移して一番下を移し最初に移したのをその上に移すから
n-1個の円盤を他の棒に移す時の回数*2+1となる。
漸化式を解くと（簡単なので省略）2n+1
問3
問2の考え方で数学的帰納法。後は誰でも出来るので省略
622: 03/08/31 19:36 AAS
この「1番大きい桁の数字が1になる場合が多い」ってのは数学の部屋にあったよ。
かなり昔に見て感動した覚えがある。
623(1): 03/08/31 20:01 AAS
>>621
こんな有名問題知らんのか？
624: 03/08/31 20:08 AAS
>>623
レスすると知らないことになるのか？
625: 03/09/01 10:03 AAS
age
626: 03/09/01 10:56 AAS
>> 546
>日本の各市町村の人口を調べたところ、上一桁が「１」で始まるところが最も多かった。
>なぜだろうか？
雑誌「数学のたのしみ（日本評論社）」に「高校生のための数学教室」と題する吉田知之氏の
連載があり、「１で始まる数が多いのはなぜか」について数回にわたり詳しい解説があった。
一読を勧める。
627(1): 03/09/01 11:44 AAS
>>621
問2の考え方はあってるけど、2n+1じゃなくて2^n-1。
どう漸化式を問いたのかと。
>>617
問3の意味が分かりません。
628(3): 03/09/01 16:03 AAS
>>627
a[n]=2a[n-1]+1から一般項求めるんだった。
前に解いたことがあって記憶で適当に書いてたせいで間違えました。
629(1): 628 03/09/01 16:29 AAS
a[n]=2a[n-1]+1
a[n]=2(a[n-1]+1/2)
a[n]/2^n=(a[n-1]+1/2)/2^(n-1)
a[n]/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^n
a[n]/2^n+1/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^(n-1)+1/2^n-1/2^n
a[n]/2^n+1/2^n=a[n-1]/2^(n-1)+1/2^(n-1)
a[n]/2^n+1/2^n=a[1]/2^1+1/2^1
a[n]/2^n+1/2^n=1
a[n]+1=2^n
a[n]=2^n-1
630(1): 03/09/01 20:03 AAS
>>629
面白い求め方するね
普通は両辺に+１して３行くらいで終わるけど
631(1): 03/09/01 20:50 AAS
さくらみてて思いついた問題
－問題－
f(x)を0≦x≦1で定義された連続な下に凸な関数とする。
lim[n→∞]∫[0→1][0→1]･･･[0→1]f((X1+X2+･･･+Xn)/n)dX1dX2･･･dXn
が収束することをしめしその極限値をもとめよ。
632: 03/09/01 20:54 AAS
>>631
訂正。
－問題－
f(x)を0＜x＜1で定義された連続な下に凸な正値関数とする。
In=∫[0→1][0→1]･･･[0→1]f((X1+X2+･･･+Xn)/n)dX1dX2･･･dXn
があるNで有限値になるときlim[n→∞]Inが収束することをしめしその極限値をもとめよ。
633: 628 03/09/01 20:56 AAS
>>630
a[n]=2a[n-1]+1
a[n]+1=2a[n-1]+2
この後は？？
634(1): 03/09/01 21:03 AAS
a[n]+1=2(a[n-1]+1)、a[1]+1=2
∴a[n]+1=2^n
∴a[n]=2^n-1
635: 03/09/01 21:23 AAS
鉄ヲタが泣いて喜ぶテレビやっとる。
636(1): 03/09/02 02:24 AAS
>>227の出典おしえろage
637: 03/09/02 04:50 AAS
難問とその解法（作用素・数論編）sage
638: 03/09/02 04:54 AAS
>>636
どうでもいいことかもしれんが、
>>227で、「全ての素数p」に対し～になる時～である、って表現は
微妙な問題を含んでそうなので、
任意の異なる自然数n,m（n≠m）について、
n,mをpで割った余りをn_p,m_pとして、
n_p＞m_pとなるような素数pが存在することを証明せよ。
と言った方が、見通しが良くなる気が。
もちろん、n＞mの時は自明なので、
n＜mの場合だけ考えればいいのだけど。
639: tangent 03/09/02 10:57 AAS
数列ａ[n]が
ａ[n+1]=(ａ[n]+k)/(1-kａ[n]) ,ａ[0]=0 （kは実数）
を満たすとき、数列ａ[n]をn,i,kをもちいてあらわせ.(iは虚数単位)
640: 03/09/02 21:17 AAS
b[n]:=(a[n])-i)^(-1)とおけば
b[n+1]=αb[n]-β
α=(1-ik)/(1+ik)
β=k/(1+ik)
あとはご自由に
641(3): 03/09/02 22:15 AA×
外部ﾘﾝｸ:fanel.jpn.ch
642: 03/09/02 22:33 AAS
>>641
円錐に、
横からみたら正方形になるような、加工を施してやるだけではだめ？
すこし厚みをもった板を入れるなど。
643(1): 03/09/02 22:35 AAS
画像ﾘﾝｸ
ペイントで256色保存に指定したのにサイズが500KB超えた
アップしてるときにやたら時間かかるから気付いたんだけどﾅﾝﾃﾞﾀﾞﾛｰ
ナローバンドの人は見ないほうがよろし。
たいした図じゃないんで
644: 03/09/02 22:38 AAS
>>643
それは、底面が厚さ0の板ではないか。
645(1): 03/09/02 22:51 AAS
円柱の上の面に点A,Bを、下の面に点C,Dを
ABとCDが直径になるように、ABとCDが直交するように取った後
ABCとABDでスライスした立体が641を満たす。
646(1): 03/09/02 23:00 AAS
>>645
ラインがはいらないか？
647(3): 03/09/02 23:09 AAS
>>646
下から見る。
648(1): 03/09/02 23:12 AAS
上から
↓
◎
△回←横から
↑
前から
649: 648 03/09/02 23:13 AAS
ごめん簡単だったｗ
650: 03/09/02 23:16 AAS
>>647
正方形にラインがはいらないか？
651: 647 03/09/02 23:19 AAS
入ってるな、派手に。
やすりで削っちゃだめか？ｗ
652(1): 647 03/09/02 23:23 AAS
上から、細かく断面図を取ったときに、
直線→細い楕円→円
と変化していくような立体はどうですか？
653: 628 03/09/02 23:41 AAS
>>634
おお、等比数列にするのですね。
定数数列を作らなくてもいいのか。勉強になった。
654(2): 03/09/03 00:35 AAS
>>641
どうやっても、円の真ん中に線が入るだろ。
一番高い場所は、正面から見たら１点なのに、横からみたら線なので、
一本の線になるが、この線がエッジにならないようにするのは
不可能。（なんせ正面からみたら、これだし。）
だから、存在しないが答え。
655(2): 03/09/03 04:05 AAS
>>654
なるほど。
じゃあ別の問題になるけど、正面が逆三角だったら？
656: 03/09/03 04:17 AAS
>>655
隠れてる部分は図にはかかないってなら
>>652氏が書いたのを上下逆にすりゃいいんじゃね？
657(2): 03/09/03 04:22 AAS
式でかけば
x^2+y^2≦1、-1≦z≦1、z≧-2y-1、z≧2y-1
かな？
658(3): 03/09/03 04:39 AAS
>>657
いやだからそれじゃダメなのは散々指摘されてるし。
-1＜z≦1のとき、4x^2/(z+1)^2+y^2≦1
z＝-1のとき、x=0, -1≦y≦1
これ最強。
659(1): 03/09/03 04:43 AAS
>>658
>>657じゃダメなん？三角形逆さにしてるからいいんじゃないの？
660(1): 03/09/03 04:48 AAS
>>659
逆さにしたら、横から見た時の線が消えるのか？
661(2): 03/09/03 04:51 AAS
>>660
ああ、横からみたときの放物線みたいな線か。これみえてるね。
662: 03/09/03 05:06 AAS
>>661
放物線ってゆーより、楕円の半分だね。
円柱を平面で切ったものだから。
663: 03/09/03 14:24 AAS
>>658
取りあえずこれ完璧だな。
乙。
>>661他
この横から見たときの放物線みたいな線はヤスリで削ってもいい場所だよね。
頂点に近づいたときの削り方が怪しげだけど、甘く採点すればまあこれも答えかな？
664(1): 03/09/03 14:34 AA×
>>641>>654>>655>>658
665(2): 趣味です。 [age] 03/09/03 14:52 AAS
．（１）①①②②③③④④⑤⑤⑥⑥⑦⑦⑧⑧⑨⑨の１８枚のカードがあります。
今、これらのカードの中から３枚を取り出して１列に並べ、３ケタの整数を作ります。
全部でａ個の異なる整数ができるとすると、ａは、９×９×９よりも、いくつ大きいですか、それともいくつ小さいですか。
その値を答え、「大きい」「小さい」のどちらかを○で囲みなさい。
（２）①①①②②②③③③④④④⑤⑤⑤⑥⑥⑥⑦⑦⑦⑧⑧⑧⑨⑨⑨の２７枚のカードがあります。
今、これらのカードの中から４枚を取り出して１列に並べ、４ケタの整数を作ります。異なる整数は全部で、何個ありますか？
666: 03/09/03 14:54 AAS
>>664
(3)も(4)も不可能。
□の４つ角の部分は、○から見ると直径の端点の部分（(3)では左右の端、
(4)では上下の端）に当たるので、座標が特定されるが、△の方から見ると
その点は存在しない。
667: 03/09/03 15:04 AAS
>>665
（１）９小さい
（２）9^4-9＝6552
668: supermathmania ◆ViEu89Okng 03/09/03 15:10 AAS
[>665]の問題はやけに簡単なのだが。何かのひっかけなのか？
[>665]を改変してみよう。(これも簡単か？)
[>665]の(2)のカードを一枚以上幾つか並べて、整数を作る。作れる整数はいくつあるか？
[>665]の(2)のカードを一枚以上幾つか並べて、3の倍数を作る。作れる3の倍数はいくつか？
669(1): 小六 [age] 03/09/03 15:15 AAS
図はかけないので略しますが想像で考えてください。
（１）右の図で､四角形ＡＢＣＤはＡＤ＝３ｃｍ、ＢＣ＝4.5ｃｍで、ＡＤとＢＣが平行な台形です。
辺ＡＢの真中の点をＥとすると、ＤＥは角ＡＤＣの二等分線になり､ＥＣ＝６ｃｍとなりました。
この台形から三角形ＡＥＤを切り取り､Ｅを中心に180度回転します。その図形と､台形から三角形ＡＥＤを切り取った残りの部分とを合わせたものは何角形ですか？
（２）（１）の台形ABCDの面積を求めなさい。ただし、３辺の長さの比が３：４：５である三角形は直角三角形であることを利用してもかまいません。
（３）右の２図で、三角形ABCは角A=90度、ＡＢ＝ＡＣの直角二等辺三角形、三角形ＢＤＣは、角Ｄ＝90度の直角三角形です。ＡＤ＝5ｃｍのとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めなさい。
670(1): 03/09/03 15:57 AAS
>>669
(1)三角形
＞この台形から三角形ＡＥＤを切り取り､Ｅを中心に180度回転します。
この文では、四辺形DEBCを回転させたように見えるぞ。
回転させるのは△AEDそのものだろ。
(2)27
(3)12.5
四角形ABCDじゃなくてABDCだろ。
671(3): 03/09/03 16:34 AAS
一つの正三角形をうまく切って、相似比1:1:2
の相似な図形３つに分けるにはどうしたらよいか。
672: 03/09/03 17:22 AAS
不可能
673(2): 小六 [age] 03/09/03 17:51 AAS
>>670
（３）12.5 はどうやって導くのでしょうか？
詳細をお願いいたします。
674(1): 03/09/03 18:16 AAS
>>671
切り口がいわゆる普通の曲線でなくてもいいなら、できる。
（フラクタル曲線）
正三角形をABCとし、AB,ACをそれぞれ2:1に内分する点をD,E
DEの４等分点を順にF,G,H
BCの３等分点を順にI,J
GI,GJの中点をそれぞれK,Lとする。
フラクタル曲線の構築のしかた
(1)三角形ADEから出発する。
(2)辺DEを、折れ線DFKIJLHEで置き換える
(3)置き換えた折れ線の４つの線分DF,KI,JL,HEの部分を
折れ線DFKIJLHEと相似な折れ線で置き換える。
(4)(3)の操作を繰り返す。
このようにしてできるフラクタル曲線の内部の領域と、
もとの正三角形からこの領域を除いた２つに分かれている部分のそれぞれは
相似であり、相似比は2:1
675(1): 03/09/03 18:27 AAS
>>673
円周角の定理を使って、45°になるところを探す。
あとは、切ってつなげば、直角２等辺三角形
676: 03/09/03 18:30 AAS
そんなことより小学生のうちからこんなところ見てちゃｲｸﾅｲＹＯ！
677: ごめんなさい。。。ビッグバン宇宙論は間違いでした。 03/09/03 19:14 AAS
科学者よ、恥を知れ！！！
ビッグバン宇宙論は完全に間違いだった！
科学の原則を無視した、デタラメのインチキ理論だったのだ。
そして、そのビッグバン宇宙論の世界的な浸透は
アメリカ、ユダヤ・キリスト教勢力による世界支配のための思想戦略なのだ！
また、ビッグバン宇宙論の思想によって戦争が起こり、
貧富の差がひらき、終末的な絶望感が世界に蔓延しているのだ。
ビッグバン宇宙論は世界の平和を揺るがす、悪の元凶となっているのだ。
ビッグバン宇宙論とは、
「宇宙は『無』からビッグバン（大爆発）によって誕生した」という理論である。
この理論は、ユダヤ・キリスト教の創造神話（神が天地を創造した）そのものである。
ビッグバン宇宙論の実態は、科学理論ではなく宗教思想なのである。
「真空」には時間も空間も存在していて『無』ではない。
『無』は文字通り、存在するものではないのだ。だから、
『無』は科学的に証明できるものではない。
そして、『無からの誕生』も科学で証明できるものではないのだ。
だから、ビッグバン宇宙論が仮説である可能性は、０％なのだ。
ビッグバン論は完全に間違いであり、宇宙は時間も空間も無限なのである。
ビッグバン宇宙論が科学の正統であるという思想を、世界中の人々に
浸透させる戦略が成功したことにより、ユダヤ・キリスト教勢力の
世界における優位性が確立されていったのだ。（２０世紀に）
そして、その思想的支配の最たるものが、アメリカやイギリスによる
イラク戦争なのだ。
ビッグバン宇宙論の浸透により、世界中に終末思想（世界の終わり）が蔓延してしまっている。
そのことにより、自己中心的、せつな的、短絡的な考え方が社会に広がっている。
科学的に間違っているビッグバン宇宙論から脱却しなければならない。
そして、宇宙は無限だということを理解しなければならない。
人間は本当の宇宙観、世界観を構築し、新しい時代に進んでいかなければならないのだ。
ビッグバン宇宙論が世界を支配している限り、平和な世界にはならないのだ。
そのことを科学者は重く受けとめるべきである。
さらばビッグバン宇宙論！！！！！！！！
678(1): 03/09/03 19:50 AAS
>>673
条件がぬけてないかい？
>右の２図
これがどんなものかわからない。三角形BCDを直角二等辺三角形と
勝手に仮定すると5*5/2=12.5だけど、これでも問題の条件は満たしている
わけで。
679: 03/09/03 19:56 AAS
>>678
>>675嫁
680(5): 03/09/03 22:18 AAS
【問題】
１から１０を並び替えてできる数の列は、
うまくとれば必ず長さ４の単調列（単調増加列or単調減少列）がとれることを証明せよ。
681: 03/09/03 22:26 AAS
(x+18)(x+67)(x+13)(x-36)
682(2): 03/09/03 23:11 AAS
>>680
反例: 10,7,8,9,4,5,6,1,2,3
683: 03/09/03 23:13 AAS
>>682
10,8,4,1と取れば単調減少
684(1): 03/09/03 23:35 AAS
>>674
フラクタルでしか不可能なの？
証明できますか？
685(1): 03/09/03 23:56 AAS
>>684
いんや、たまたまフラクタルの例を見つけただけなんで。
求む、出題者の解答。
686(1): 03/09/04 00:09 AAS
>>685
いや、俺が出題者ｗ
ネットで問題見つけたものの答え見つからなかった。
ごめんよ。
687: 03/09/04 00:16 AAS
三角波・方形波はなぜ、フーリエ級数展開するのか教えてください。
また、そのとき方もお願いします。
688(1): 03/09/04 00:29 AAS
>>686 >>671
674だけど、フラクタルなんか使わない例が見つかった（ｗ
正三角形をABC
AB,AC,BCの中点をD,E,F
EF,ECの中点をG,H
DE,FCを1:2に内分する点をそれぞれI,J
GHを2:1に内分する点をKとすると、
相似な３つの五角形ABJIE、JIEGK、ECJKGに分割でき、
相似比は2:1:1
ちなみに、線対称な分割の仕方は、フラクタルの例しかないと思う。
689: 671 03/09/04 00:37 AAS
>>688
すげー！！！！
五角形かよ！！！！
良く分かったねえ。
乙！
690: 03/09/04 13:33 AAS
>>682
「うまくとれば」ってそういうことか。
691(4): 03/09/04 17:31 AAS
>>680
一般に、n＞m^2 (n,mは自然数)のとき、
1からnまでの整数を並べ替えた有限数列を{a(k)} (k=1～n)とし、
1からnまでの整数の集合の項数mの部分集合Sをうまくとると、
Sの項を昇順に並べた有限数列を{b(k)} (k=1～m)として
{a(b(k))}が昇順または降順に並ぶようにできる。
ってことが言えそう。
方針：次の長ったらしい補題を、帰納法で証明する。
「mを2以上の自然数とし、
1からm^2までの整数を並べ替えたある有限数列{a(k)} (k=1～m^2)が、
『1からm^2までの整数の集合の項数m+1の任意の部分集合Sは
Sの項を昇順に並べた有限数列を{b(k)} (k=1～m+1)として
{a(b(k))}が昇順または降順に並ぶようにできない』
という条件を満たすとき、
1からm^2までの整数をm×mのマス目に重複しないように並べた
配置{c(j,k)} (j,k=1～m)をうまくとると
c(j,k)＜c(j,k+1) (j=1～m, k=1～m-1)
c(j,k)＜c(j+1,k) (j=1～m-1, k=1～m)
a(c(j,k))＜a(c(j,k+1)) (j=1～m, k=1～m-1)
a(c(j,k))＞a(c(j+1,k)) (j=1～m-1, k=1～m)
とすることができる。また、このような配置{c(j,k)}は一意に決まる。」
あとは、まかせた。
692(3): 03/09/04 17:43 AAS
>>691 >>680
あ、しまった。
＞ 一般に、n＞m^2 (n,mは自然数)のとき、
＞ 1からnまでの整数を並べ替えた有限数列を{a(k)} (k=1～n)とし、
＞ 1からnまでの整数の集合の項数mの部分集合Sをうまくとると、
＞ Sの項を昇順に並べた有限数列を{b(k)} (k=1～m)として
＞ {a(b(k))}が昇順または降順に並ぶようにできる。
＞ ってことが言えそう。
これ、間違い。正しくは
一般に、n＞m^2 (n,mは自然数)のとき、
1からnまでの整数を並べ替えた有限数列を{a(k)} (k=1～n)とし、
1からnまでの整数の集合の項数m+1の部分集合Sをうまくとると、
Sの項を昇順に並べた有限数列を{b(k)} (k=1～m+1)として
{a(b(k))}が昇順または降順に並ぶようにできる。
ってことが言えそう。
でした。後半の部分はそのまま。
693(2): 03/09/04 17:59 AAS
>>691-692 >>680
んで、あとはまかせたとは書いたものの、もうちょっと詳しく。
mが補題の条件を満たすとき、n=m^2+1は最終的に証明する命題の条件を
満たすことの証明：
1からm^2+1までの整数を並べ替えた数列からm^2+1を除いたものから、
m+1個の昇順または降順の列がとれない場合について考える。
その数列を{a(k)} (k=1～m^2)とすると、補題より
配置c(j,k) (j,k=1～m)が存在し、
c(1,1)＜c(1,2)＜...＜c(1,n)＜c(2,n)＜...＜c(n,n)
a(c(1,1))＜a(c(1,2))＜...＜a(c(1,n))＞a(c(2,n))＞...＞a(c(n,n))
となるので、{a(k)} (k=1～m^2)にm^2+1を追加するとき、
a(c(1,n))より前に挿入すれば、m+1個の降順の列ができ、
a(c(1,n))より後ろに挿入すれば、m+1個の昇順の列ができる。
694(1): 03/09/04 18:18 AAS
>>691-693
＞方針：次の長ったらしい補題を、帰納法で証明する。
この補題は予想なん？それとも証明できたけど書くのメンドイから書いてないだけ？
695(1): 03/09/04 18:33 AAS
>>691-693 >>680
補題の証明の概略：
次のように、有限数列{p(k)}(k=1～N_p),{q(k)}(k=1～N_q)を定める。
p(1)=1
a(p(k))=1のとき、p(k)は最終項(N_p=k)
a(p(k))＞1のとき、
p(k+1)は、p(k)＜p(k+1)≦m^2、a(p(k))＞a(p(k+1))を満たす最小の整数
q(1)=m^2
a(q(k))=1のとき、q(k)は最終項(N_q=k)
a(q(k))＞1のとき、
q(k+1)は、q(k)＞q(k+1)≧1、a(q(k))＞a(q(k+1))を満たす最小の整数
このとき、条件より、N_p≦m, N_q≦m
また、{p(k)},{q(k)}の項の重複はp(N_p)=q(N_q)だけなので、
{p(k)},{q(k)}の項を合わせた集合の要素数はN_p+N_q-1
1～m^2の整数から、p(k),q(k)の各項を除外したものを昇順に並べた列を
{x(k)} (k=1～N_x)とすると、そのN_x=m^2-(N_p+N_q-1)
ここで、N_p≠mまたはN_q≠mと仮定すると、
N_x=m^2-(N_p+N_q-1)＞m^2-2m+1＝(m-1)^2なので、
帰納法の仮定より{a(x(k))}からは必ずm個の昇順または降順の列がとれ、
降順の場合は、末尾に{a(q(k))}のどれかを付加して
昇順の場合は、先頭に{a(p(k))}のどれかを付加して、
{a(k)}からm+1個の昇順または降順の列がとれることになる。（詳細略）
これは、条件と矛盾。
よって、N_p＝mかつN_q＝m
あとは、帰納法の仮定から、{a(x(k))}の構造が分かるので、それをもとに
配置{c(j,k)}を構築できる。
696: 03/09/04 18:36 AAS
>>695
ああ、またタイプミス発見．．．
証明の概略の９行目あたり
誤：q(k+1)は、q(k)＞q(k+1)≧1、a(q(k))＞a(q(k+1))を満たす最小の整数
正：q(k+1)は、q(k)＞q(k+1)≧1、a(q(k))＞a(q(k+1))を満たす最大の整数
697(1): 03/09/04 18:40 AAS
長さ１ｍの棒を、３６０度回転させるのに必要な面積の最小値。
理論的には、限りなく小さい面積で一回転できるらしいんだけど、どうするんだ・・・？
698(2): 03/09/04 19:02 AAS
>>697
直径2mの円に内接する正2n+1角形の各頂点に向かって、
円の中心からトゲトゲが伸びてるような図形を考え、
棒が、中心とある頂点を結ぶ線分をなしている状態から、
その頂点から一番遠い頂点（２つある）と円の中心を結ぶ線分まで
移動するだけのすきまを確保する。そうすると、
例えば正７角形なら、頂点に反時計回りに１～７と番号をふると
１→５→２→６→３→７→４→１
と移動する間に180°回転している。これを繰り返すと１回転。
でもって、ｎを大きくしていくと、必要な面積は限りなく小さくなる。
（そのかわり、回転に要する手順も限りなく多くなる。）
699: 03/09/04 19:04 AAS
>>694
多分、証明できたと思う。
（ちゃんと書き下してはないけど。）
700(1): 03/09/04 19:25 AAS
>>698
デルトイドですか？
701: 03/09/04 19:47 AAS
>>700
ちがうと思ふ
702: 03/09/04 21:11 AAS
>>698
>その頂点から一番遠い頂点（２つある）と円の中心を結ぶ線分まで
>移動するだけのすきまを確保する。
線分の両端を、トゲ上を移動させた時の軌跡でいいですか？
それと、例えば７角形の場合、具体的に何m^2になるんですか？
703(1): 03/09/04 21:40 AAS
｜α｜=｜β｜=｜α-β｜=2 のとき
(α/β)^3の値を求めよ
704: 03/09/04 21:44 AAS
女＝悪 の証明
女は時間と金がかかる（girls require time and money）ので
Girl = Time × Money ・・・(1)
時は金なり(Time is Money)という諺によると
Time = Money ・・・(2)
(2)を(1)に代入すると
Girl = Money × Money
ここで、金は諸悪の根源(money is the root of all evil)だから
Money = √(Evil)
したがって
Girl = √(Evil) × √(Evil) = Evil
女＝悪 （証明終）
705: 03/09/04 23:13 AAS
Men = Evil^3, however
外部ﾘﾝｸ[php]:pure-essence.net
706: 03/09/05 00:10 AAS
女＝悪って，もう２桁回以上見てるけど．
全部文体が違うんだよなぁ．ってことはコピペじゃあないのね．何でだろ．
思い出しながら書いてるんだろうか．
707: 03/09/05 00:12 AAS
>>703
-1 かな．
図イメージして考えた．
708: 03/09/05 04:17 AAS
ある大学に真面目で有名な教授がいました
ある時、教え子の女子学生A子、B子から同時に告白され、そこで教授が２人に
「じゃああなたたちは私の事をどれだけ愛してますか？」と質問したところ
「私はA子の100倍愛してます」
「いえいえ、私なんかB子の1000倍は愛してますわ」
と答えが返ってきて、教授は怒って帰ってしまいました
いったいなぜでしょう？
709: 03/09/05 08:02 AAS
a = 100b
b = 1000a
∴ a = b = 0
真面目な教授は二人の言うことを真面目に信じたんだろうねえ。
710(1): 小六 [age] 03/09/05 09:24 AAS
次の問題を教えてください。
赤、青､黄色、白の同じ大きさのサイコロがあり､各サイコロにはそれぞれの面に数字が書いてある。１，２，３が書いてある面が集まる頂点をａとし、４，５，６が書いてある面が集まる頂点をｂとします。
これらのサイコロの面と面をぴったりと合わせて立体を作ります。
ただし、赤のｂと青のａ、青のｂと黄のａ、黄のｂと白のａが重なるようにして立体を作ります。
（１）面に書かれた数字まで考えて､できうる立体は何通りですか？
（２）(1)の立体の中で､特に上から見た時上面が左上青、右上黄、左下赤、右下白となるのは何通りありますか？
（３）立体の見える面の数字を足すとき､和の最大はいくつですか？
711(3): 03/09/05 13:11 AA×
712(1): 03/09/05 13:35 AAS
「封筒のコメントには矛盾はない」という保証がない。
713: 03/09/05 13:50 AAS
>>712
＞番号で答え、理由も述べよ。
714: 03/09/05 14:21 AAS
>>710
ここは質問をするスレッドではない。
715(3): 03/09/05 14:30 AAS
【１】「‥‥これは矛盾だからだ。」
【４】「‥‥矛盾だからだ。」
「俺」は、「封筒のコメントに矛盾はない」という
保証などはしてない。
716(2): 03/09/05 14:31 AAS
【６】が間違い。
封筒２のコメントは正しいが、実際にその通りであるとは誰も言っていない。
717: 711 03/09/05 14:41 AAS
解答が割れてるなあ・・・
問題に不備があったかな・・・？
>>715
Ａ君が自分で仮定して矛盾を導いてるのでそこはおかしくないと思う。
>>716
＞封筒２のコメントは正しいが
実際、封筒２に千円札が入っていたので、封筒２のコメントは正しくないかと。
718: 715 03/09/05 14:55 AAS
だからさ、A君はコメントには矛盾がないと勝手に決めてかかってるじゃん。
矛盾がある場合のことを考慮していない。
719: 716 03/09/05 16:30 AAS
んー、ちょっと答え方がまずかったかな。
「封筒２のコメントは（２つの文章から判断すると）正しい（ことになる）が」ってことなんだけど。
【５】の文章も同じように捉えると、それまでの流れも含めて推論に何ら間違いはない。
→答えは【６】の「従って」の部分
こう思って、【６】だとレスしたんだけど、やっぱり間違いかな？
どっちにしても、この問題は封筒のコメントとその中身の関連性について触れていないことがポイントだよね？
だとすると、どれでも答えになり得るような。
たとえば、中身の判定にコメントを頼りにすること自体間違いだから【１】だとも言えるし。
>>715のように、コメントに矛盾がないと決めつけている点をおかしいとすることもできる。
問題の不備っていうか捉え方の違いかも。
出題者の意図を是非聞きたいです。
720(1): 03/09/05 19:22 AAS
封筒１に書かれた文が正しいかどうかという問題が決定可能であると
仮定したのが間違い。
結局、問題は
「この文は間違っている」という文は正しいか否かという問題に帰結する。
このような自己言及的記述に、無制限に排中律を適用することはできない。
721: 03/09/05 19:35 AAS
あ、ちなみに
>>720＝私は出題者じゃないっす。
まあ、ラッセルのパラドックスも、自己言及性が問題になっていたわけだし。
ラッセルのパラドックスは別にして、この手の「うそつき」系パラドックスを
排中律を完全に捨てるという立場の体系以外では、どのように解釈して
回避してるのか、だれか簡単に（ｗ 教えてください。
722: 03/09/05 21:34 AAS
>>711
出典は国一模試？
723(1): 711 03/09/06 03:58 AAS
取りあえず俺の用意しておいた解答を言います。
＞【２】「よって封筒１のコメントは間違っている。」
がおかしい。
実際、中身を考慮しながら考えると分かりやすいと思う。
千円札は封筒２に入っていた。
つまり封筒２のコメントは間違っている。
この時封筒１の真偽は決定不可能。（真だとしても偽だとしても矛盾が生じる）
Ａ君は【２】で「正しくないなら間違っている」と結論付けているが、これは誤り。
真でも偽でもない文章は世の中に存在する。
その可能性に思いが至らなかったので、それ以降間違った推論をしてしまったというわけです。
724(2): 03/09/06 17:22 AAS
これどっちを押すと正解なの？
外部ﾘﾝｸ:www.geocities.co.jp
725(1): 03/09/06 17:27 AAS
>>724
もー秋田
726(1): 03/09/06 17:34 AAS
>>725はひっかかった
727: 03/09/06 17:39 AAS
>>726
ソースは見た
728: 03/09/06 22:09 AAS
コンパスのみ（定規を用いず）を用いて平面上の二点Ａ，Ｂの中点を求めよ。
ただし、Ａ，Ｂは異なる点であるとする。
また、コンパスの直線上の部分でコンパスから取り外した鉛筆を使って直線を
引いてはいけません。
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