分からない問題はここに書いてね 472 (930ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん

---

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

---

312(2): 2024/12/26(木) 11:45:05.02 ID:ayQgO3vN(1/5)調 AAS
R(z, w) が有理式であるとき、

∫ R(cos(x), sin(x)) dx を計算するのに、

tan(x/2) = t とおくというやり方があります。

R(z, w) = z とします。

∫ R(cos(x), sin(x)) dx = ∫ cos(x) dx を計算することを考えます。

不定積分の定義により、 a ∈ R を任意に固定したとき、

∫_{a}^{x} cos(t) dt を計算することになります。

a = 0 とします。 x は R 全体を動きます。

tan(x/2) = t とおいたとき、この変換でカバーできる x の範囲は 2 * π 未満です。
ですが、 x は R 全体を動きます。

これって問題じゃないですか？

---

314: 2024/12/26(木) 12:12:22.21 ID:ayQgO3vN(2/5)調 AAS
例えば、　x = 10000 * π の近傍での

∫_{0}^{x} cos(t) dt を計算するとします。

tan(x/2) = t という変換において、 9999 * π < 10000 * π < 10001 * π ですので、

x の範囲を (9999 * π, 10001 * π) に制限して考えます。

∫_{0}^{x} cos(t) dt = ∫_{0}^{9999 * π} cos(t) dt + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt = 定数 + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt

考えている x の範囲にかかわらず、 dx/dt = 1 / (dt/dx) = 1 / (1 / (2 * (cos(x/2))^2)) = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) = 2 / (1 + t^2) だから、
∫_{9999 * π}^{x} cos(s) ds = ∫_{-∞}^{t} ((1 - t^2) / (1 + t^2)) * (2 / (1 + t^2)) dt = … = sin(x) + C

---

315: 2024/12/26(木) 12:12:33.95 ID:ayQgO3vN(3/5)調 AAS
この計算結果自体は考えている x の範囲によらず、 sin(x) + 定数となる。

∫_{0}^{x} cos(t) dt は連続関数であり、 ∫_{0}^{0} cos(t) dt = 0 であるから、考えている x の範囲によらず、 ∫_{0}^{x} cos(t) dt = sin(x) である。

---

316: 2024/12/26(木) 12:22:21.93 ID:ayQgO3vN(4/5)調 AAS
>>313

ありがとうございます。

杉浦光夫著『解析入門I』は、親切に？いろいろ書かなくてもいいようなことまで説明していますが、不定積分の置換積分については、そのような説明がないです。

---

324: 2024/12/26(木) 19:46:42.78 ID:ayQgO3vN(5/5)調 AAS
杉浦光夫著『解析入門I』

p.250

d(Δ) ≦ (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}

などという不等式が登場しますが、明らかに

d(Δ) = (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2}

です。

「=」であるのに、「≦」、「≧」を使う理由はありません。

---

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

---

ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ

---

ぬこの手 ぬこTOP 0.048s