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544: 2025/01/28(火) 09:08:44.40 ID:UQNK4DVH(1/4)調 AAS
>>538
ありがとうございました。
その方法で、 g'(x) = 0 になる点が x = √3/2 であることも分かります。
ですが、杉浦さんはもっと素朴な方法で g'(x) = 0 になる点を計算しています。
杉浦さんが x = √3/2 が極大点であると結論付けたのはおそらくレムニスケートの形を知っているから数学的に証明することなくそう書いたのだと思います。
545: 2025/01/28(火) 09:18:42.29 ID:UQNK4DVH(2/4)調 AAS
f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) = 0
f_y(x, y) = 4 * y * (x^2 + y^2 + 1) = 0 になる点はちょうど、 (-√2, 0), (0, 0), (√2, 0) です。
杉浦さんは、陰関数定理の証明と同様の論法で、 f(x, g(x)) = 0 となる (0, √2) で定義された C^1（C^∞）級の関数 g(x) が存在することを証明しています。
g(0) = g(√2) = 0 です。
レムニスケートを描画した図を見てみると、 g は [0, √2] で連続であることがわかります。
これは何か一般的な命題から保証されることでしょうか？
546: 2025/01/28(火) 09:22:31.80 ID:UQNK4DVH(3/4)調 AAS
f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0 について考えた場合にも同様に、
陰関数定理の証明と同様の論法で、 f(x, g(x)) = 0 となる (-1, 1) で定義された C^1（C^∞）級の関数 g(x) が存在することが分かります。
今回の場合も g は x = -1 および x = 1 で連続になっています。
これらのことは単なる偶然なのか、何かの命題で保証されることなのでしょうか？
547: 2025/01/28(火) 09:31:35.14 ID:UQNK4DVH(4/4)調 AAS
>今回の場合も g は x = -1 および x = 1 で連続になっています。
この書き方は不正確なので訂正します。
f(-1, y_0) = 0 を満たす y_0 に対して、
lim_{x → -1+0} g(x) = y_0 が成り立ち、
f(1, y_1) = 0 を満たす y_1 に対して、
lim_{x → 1-0} g(x) = y_1 が成り立つという意味です。
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