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631(1): 2025/02/09(日) 02:12:51.65 ID:BnvKFdb2(1/3)調 AAS
斎藤毅著『集合と位相』
自然数 N の元を
0 := ∅
1 := P(0)
2 := P(P(0))
3 := 2 ∪ {2}
4 := 3 ∪ {3}
…
と定義しています。
そして、演習問題で
N の元の間の関係として、集合の包含関係を考え、
(N, ⊂) が全順序集合になることを証明せよという問題があります。
その演習問題の解答ですが、数学的帰納法を使っています。
通常、数学的帰納法は自然数の理論に含まれます。
ですが、斎藤さんは自然数の定義はしていますが、数学的帰納法については既知としています。
このようなことは許されるのでしょうか？
632: 2025/02/09(日) 02:31:49.56 ID:BnvKFdb2(2/3)調 AAS
自然数 m, n に関する条件 m ⊂ n ∨ n ⊂ m を C(m, n) で表し、自然数 n に関する条件 ∀m ∈ N C(m, n) を C(n) で表す。
すべての自然数 n に対して C(n) がなりたつことを、 n に関する帰納法で示す。
n = ∅ ならば任意の自然数に対し ∅ ⊂ m である。
よって、 C(0) がなりたつ。
633: 2025/02/09(日) 02:31:58.34 ID:BnvKFdb2(3/3)調 AAS
C(n) がなりたつとして、すべての自然数 m に対し C(m, n + 1) がなりたつことを、 m に関する帰納法で示す。
m = ∅ のときはよい。
C(m, n + 1) がなりたつとして、 C(m + 1, n + 1) がなりたつことを示す。
C(n) がなりたつから、 C(m + 1, n) もなりたつ。
n + 1 ⊂ m なら n + 1 ⊂ m ⊂ m + 1 であり、 m + 1 ⊂ n なら m + 1 ⊂ n ⊂ n + 1 だから、 m ⊂ n + 1 ∧ m ≠ n + 1 ∧ n ⊂ m + 1 ∧ n ≠ m + 1 の場合に示せばよい。
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