分からない問題はここに書いてね 472 (930ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん

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120: 2024/08/28(水) 00:46:59.89 ID:/KEcTnwV(1/2)調 AAS
3^x+4^y=5^z の自然数解
を教えてくださってもよろしくてよ

3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数
5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数
4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u)
u が偶数とする。
5^w - 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 1 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w ≡ 3 ( mod 8 ) が必要となって矛盾。
∴ u は奇数。
5^w - 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 3 ≡ 1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w ≡ 5 ( mod 8 ), 3^u ≡ 3 ( mod 8 ) が必要
∴ u,w は 奇数、r = (w-1)/2 は非負整数。
で 5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数
∴ 5^w - 3^u = 2
∴ 5^w + 3^u = 4^y/2
∴ 5^w = 4^y/4 + 1
∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4
∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数
∴ w = 1

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121(1): 2024/08/28(水) 01:05:01.89 ID:/KEcTnwV(2/2)調 AAS
3^x ≡ 1 ( mod 5 ) より u = x/2 は自然数
5^z ≡ 1 ( mod 3 ) より w = z/2 は自然数
4^y = (5^w+3^u)(5^w-3^u)
u が偶数とする。
5^w - 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 1 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
だが 5^w ≡ 1,7 ( mod 8 ) より両式と矛盾しないのは 5^w ≡ 1 ( mod 8 ) のみ。
しかしこのとき 5^w+3^u は mod 8 で 2 に合同な 4^y の約数だから 2 となり矛盾。
∴ u は奇数。
5^w - 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
5^w + 3 ≡ 0,1,2,4 ( mod 8 )
より 5^w - 3^u = 2 または 5^w + 3^u = 2 が必要となって後者は明らかに不可能
∴ 5^w - 3 = 2, w は奇数
5^w - 3^u は mod 8 で 2 に合同である 4^y の約数
∴ 5^w - 3^u = 2
∴ 5^w + 3^u = 4^y/2
∴ 5^w = 4^y/4 + 1
∴ (5^w-1) = (5-1)(5^(w-1)+...+1) = 4^y/4
∴ (5^(w-1)+...+1) は 4^y/4 の奇数の約数
∴ w = 1

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