不等式への招待第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

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861: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:01:30.29 ID:xP4OelQr(4/11)調 AAS
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862: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:01:45.79 ID:xP4OelQr(5/11)調 AAS
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863: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:02:01.09 ID:xP4OelQr(6/11)調 AAS
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864: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:02:18.87 ID:xP4OelQr(7/11)調 AAS
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865: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:02:35.01 ID:xP4OelQr(8/11)調 AAS
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866: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:02:50.43 ID:xP4OelQr(9/11)調 AAS
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867: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:03:05.90 ID:xP4OelQr(10/11)調 AAS
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868: 2017/09/04(月) 18:13:26.80 ID:T4IfN+s2(1)調 AAS
>>857
a=b=cのとき=が成り立つ。

869: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/04(月) 18:32:16.46 ID:xP4OelQr(11/11)調 AAS
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870(3): 2017/09/04(月) 19:47:33.92 ID:MgnBmrDH(1)調 AAS
>>848
LHS >= 27((ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^(2/3) >= RHS

871(2): 2017/09/04(月) 22:31:06.87 ID:r46JbgIy(1)調 AAS
>>870
左側はさらに厳密な
LHS >= 9((ab^3+bc^3+ca^3)^2 + (a^3b+b^3c+c^3a)^2 + ((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))^2
を示した方が簡単なおもしろい不等式

872: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:32:34.12 ID:ZSz+2Alj(1/20)調 AAS
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873: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:32:56.76 ID:ZSz+2Alj(2/20)調 AAS
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874: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:33:17.11 ID:ZSz+2Alj(3/20)調 AAS
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875: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:33:35.23 ID:ZSz+2Alj(4/20)調 AAS
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876: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:33:51.21 ID:ZSz+2Alj(5/20)調 AAS
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877: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:34:09.43 ID:ZSz+2Alj(6/20)調 AAS
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878: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:34:25.04 ID:ZSz+2Alj(7/20)調 AAS
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879: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:35:02.43 ID:ZSz+2Alj(8/20)調 AAS
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880: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:35:21.06 ID:ZSz+2Alj(9/20)調 AAS
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881: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 00:35:38.96 ID:ZSz+2Alj(10/20)調 AAS
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882: 2017/09/05(火) 02:53:45.95 ID:3z9XJ0W/(1/3)調 AAS
>>870 >>871

LHS =（a+b+c)^2（aa+bb+cc)^3 ≧ 27(ab^3+bc^3+ca^3)(a^3b+b^3c+c^3a)
は無理ですね。

〔参考〕
(aa+bb+cc)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3）または 3(a^3b+b^3c+c^3a)

[第5章.268, 284-290]
[第2章.389]
文献[8]、安藤、§2.3.2　p.61 中段、g_{p,q}(a,b,c）≧0,

883(2): 2017/09/05(火) 03:34:06.76 ID:3z9XJ0W/(2/3)調 AAS
>>754 (2)
>>768

s = a+b+c,
t = ab+bc+ca,
S2 = aa+bb+cc,
S3 = a^3 +b^3 +c^3,
とおく。

S2 - t =｛(a-b)^2 +（b-c)^2 +（c-a)^2}/2 = F_0,
とおく。コーシーより
s･S3 - S2･S2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,
∵ ab ≦（aa+bb)/2 ≦ S2 /2，etc.

LHS - RHS =（S2)^3 - st･S3
=（S2-t)S2･S2 - t(s･S3-S2･S2)
≧ F_0･S2･S2 - t･F_0･S2
=（F_0)^2･S2
≧ 0,

884: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:37:49.67 ID:ZSz+2Alj(11/20)調 AAS
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885: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:38:08.06 ID:ZSz+2Alj(12/20)調 AAS
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886: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:38:24.47 ID:ZSz+2Alj(13/20)調 AAS
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887: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:38:40.90 ID:ZSz+2Alj(14/20)調 AAS
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888: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:38:57.36 ID:ZSz+2Alj(15/20)調 AAS
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889: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:39:13.34 ID:ZSz+2Alj(16/20)調 AAS
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890: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:39:29.81 ID:ZSz+2Alj(17/20)調 AAS
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891: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:39:46.49 ID:ZSz+2Alj(18/20)調 AAS
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892: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:40:04.06 ID:ZSz+2Alj(19/20)調 AAS
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893: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/05(火) 03:40:23.55 ID:ZSz+2Alj(20/20)調 AAS
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894(1): 2017/09/05(火) 05:07:23.93 ID:q778+o9X(1/2)調 AAS
>>883
> コーシーより
> ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≦ F_0･S2,

caushyをどう使ったんでせうか？
たしかに差をとれば (F_0)^2 + uF_{-1} ≧0 となりますが、caushyでパッと出す方法を知りたいです。

895: 2017/09/05(火) 05:20:01.95 ID:q778+o9X(2/2)調 AAS
わかりました。おじゃましますた。

896: 2017/09/05(火) 11:21:44.67 ID:3z9XJ0W/(3/3)調 AAS
>>894

〔補題〕（>>754 (2) のための）
a,b,c >0 とすると
(aa+bb+cc){2(aa+bb+cc）-（ab+bc+ca)｝≧（a+b+c)(a^3+b^3+c^3）≧（aa+bb+cc)^2,

(略証)
左側は
S2（S2+F_0）- s･S3 =｛(a-b)^2+cc}/2 (a-b)^2 + cyclic. ≧ 0,
右側がコーシーでしたね。
s･S3 -（S2)^2 = ab(a-b)^2 + bc(b-c)^2 + ca(c-a)^2 ≧ 0，（終）

あとは >>883 のとおり。

897(1): 2017/09/06(水) 06:00:26.89 ID:AYr/rfmQ(1/2)調 AAS
>>848 >>870 >>871

(aa+bb+cc)^(3/2）=｛(ss + 2F_0)/3}^(3/2)
≧ √(ss/3）（ss/3 + F_0）　　　（← AM-GM)
= （4sss -9st)/(3√3)
≧（7st -36u)/(3√3）　　（← F_1=sss-4st+9u≧0)
≧（3√3)(st -5u)/4　　　（← st-9u≧0)
= （3√3）｛(ab^3+bc^3+ca^3）+（a^3b+b^3c+c^3a）+ 2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]}/(4s)
≧（3√3）｛(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}/s,　　（← AM-GM)

を示した方が簡単なおもしろい不等式…

898: 2017/09/06(水) 06:40:45.04 ID:XFngCi/7(1/3)調 AAS
>>897
ゴクリ…。弄り甲斐のある不等式ですね。

２行目のAM-GMの使い方が分かりませぬ。

899(1): 2017/09/06(水) 06:47:49.58 ID:XFngCi/7(2/3)調 AAS
すみません、わかりました。
それにしても、その形になるように変形しようという発想を知りたいですね。

900: 2017/09/06(水) 09:11:04.47 ID:VtL80ANE(1)調 AAS
[問題]
nを2以上の自然数として
σ(n)をnの約数の総和、H_n:=?_{k=1}^n 1/k とする
このとき
σ(n)＜H_n+exp(H_n)log(H_n)
が成り立つことを示せ

901(2): 2017/09/06(水) 09:27:53.49 ID:XFngCi/7(3/3)調 AAS
a, b, c >0 に対して、

(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27 {(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}^2
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ 27abc (a^2 + b^2 + c^2) (a^3 + b^3 + c^3)
(a+b+c)^2 (a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)^3 (ab+bc+ca) (a^3 + b^3 + c^3)

などが得られるが、残念ながら、右辺の上中下の３式の大小は定まらないでおじゃる。

902: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:40:07.11 ID:nJ0wcqLn(1/20)調 AAS
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903: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:40:25.67 ID:nJ0wcqLn(2/20)調 AAS
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904: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:40:44.19 ID:nJ0wcqLn(3/20)調 AAS
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905: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:41:02.30 ID:nJ0wcqLn(4/20)調 AAS
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906: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:41:20.03 ID:nJ0wcqLn(5/20)調 AAS
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907: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:41:38.15 ID:nJ0wcqLn(6/20)調 AAS
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908: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:41:56.34 ID:nJ0wcqLn(7/20)調 AAS
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909: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:42:14.70 ID:nJ0wcqLn(8/20)調 AAS
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910: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:42:32.94 ID:nJ0wcqLn(9/20)調 AAS
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911: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 10:42:52.05 ID:nJ0wcqLn(10/20)調 AAS
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912: 2017/09/06(水) 13:05:19.96 ID:AYr/rfmQ(2/2)調 AAS
>>899
左辺の無理式
（ss/3 + …)^(3/2)
を有理式で評価するために使ったでござる。

（ab^3+bc^3+ca^3）、（a^3b+b^3c+c^3a）を経由せずに直接
(4sss-9st）- 27(tt-3su)/s =（(4ss+7t) F_1 + 21u F_0 + su F_{-1})/ss ≧ 0
も簡単でつが、面白いので入れますた。

F_n(a,b,c）=（a^n)(a-b)(a-c）+（b^n)(b-c)(b-a）+（c^n)(c-a)(c-b）≧0,

913: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:22:19.07 ID:nJ0wcqLn(11/20)調 AAS
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914: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:22:37.04 ID:nJ0wcqLn(12/20)調 AAS
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915: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:22:54.18 ID:nJ0wcqLn(13/20)調 AAS
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916: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:23:10.89 ID:nJ0wcqLn(14/20)調 AAS
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917: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:23:27.78 ID:nJ0wcqLn(15/20)調 AAS
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918: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:23:45.22 ID:nJ0wcqLn(16/20)調 AAS
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919: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:24:02.39 ID:nJ0wcqLn(17/20)調 AAS
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920: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:24:21.79 ID:nJ0wcqLn(18/20)調 AAS
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921: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:24:39.16 ID:nJ0wcqLn(19/20)調 AAS
￥

922: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/09/06(水) 13:24:54.95 ID:nJ0wcqLn(20/20)調 AAS
￥

923(1): 2017/09/07(木) 02:11:20.92 ID:Fuvmh2la(1)調 AAS
>>901

ならば　0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 のとき

（下）≧（1-k)*(中）+ k*(上),

はいかがでござる？

924: 2017/09/07(木) 05:11:20.81 ID:+sD3y4UN(1/5)調 AAS
>>923
なるほど、その発想はなかったでござるよ、ニンともカンとも。

0.03826828245292 ≦ k ≦ 16/27 をみたす k の中で、
（1-k)*(中）+ k*(上) がきれいな形に整理できるものがあれば、いい不等式が作れますな。

その k の範囲はどうやって求めたのですか。
kのままで差を取って計算したのですか？

925(2): 2017/09/07(木) 05:11:48.93 ID:+sD3y4UN(2/5)調 AA×
>>754 >>0

926: 2017/09/07(木) 05:26:00.67 ID:+sD3y4UN(3/5)調 AAS
A,B,C,D>0 に対して、AB ≧ CD ⇒ A+B ≧ C+D は無条件では成り立たないから、
上の式を弄って、下の式を導くのは無理そう。

927: 2017/09/07(木) 06:49:03.06 ID:+sD3y4UN(4/5)調 AAS
(2^a + 2^b)/2 ≧ √(2^a*2^b) = 2^{(a+b)/2} ≧ 2^{√(ab)}

巡回させて加えて、2^a + 2^b +2^c ≧ 2^{√(ab)} + 2^{√(bc)} + 2^{√(ca)}

( ﾟ∀ﾟ) OK？

928(1): 2017/09/07(木) 07:12:08.52 ID:+sD3y4UN(5/5)調 AAS
a, b, c >0 に対して、

2^(a^2) + 2^(b^2) + 2^(c^2)
≧ 2^(ab) + 2^(bc) + 2^(ca)
≧ 2^{a√(bc)} + 2^{b√(ca)} + 2^{c√(ab)}
≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}
≧ …
（以下無限に続く）

( 'A`) 自作の不等式といふものは、見栄えも悪いし、作成方法もバレバレよのぅ。もう少し綺麗にならんものかな。

929: 2017/09/07(木) 22:14:26.49 ID:pS+6z7mN(1)調 AAS
>>901
(上)(中) <= (下)^2

930(8): 2017/09/08(金) 03:00:35.95 ID:Xvh/PpT+(1/4)調 AAS
>>925
上は対数とってチェビシェフで。
下はどうでおじゃる？

〔補題〕
a,b>0 のとき　a^a + b^b ≧ a^b + b^a,

(略証)

・1≦a≦b のとき
　b^b ≧（b^a)a^(b-a),
(左辺）-（右辺）≧ a^a +（b^a)a^(b-a）- a^b - b^a
=（b^a - a^a)(a^b - a^a)/(a^a)
≧ 0,

・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
（左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),

・Max{1,a｝≦b のとき
b^x ≧ a^x より
（左辺）-（右辺）=∫[a,b]｛log(b) b^x - log(a) a^x｝dx ≧ 0,

・0<a,b≦1 のとき、
う〜む。。。思ったよりめんどくせえ。

〔ベルヌーイの式〕
0<a,b≦1 のとき、
1-b+ab ≧ a^b ≧ a/(a+b-ab),
0<a≦1≦b のとき
1-b+ab ≦ a^b ≦ a/(a+b-ab),

931(1): 2017/09/08(金) 08:37:49.22 ID:iwl1FmH8(1/10)調 AAS
Cauchyより、
{a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)} ≧ {a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b)}^2

そこで、
{a^(2a) + b^(2b) + c^(2c)}^2 ≧ {a^(2b) + b^(2c) + c^(2a)}*{a^(2c) + b^(2a) + c^(2b)}　　…(★)

が成り立てば解決と考えたけど、(★)が証明できない。
試しに b=c=1 を代入してみたらいけるので、成り立っているような感じだけど、ニンともカンとも…。

932(1): 2017/09/08(金) 08:44:00.05 ID:iwl1FmH8(2/10)調 AAS
>>930
ベルヌーイの式はどうやって証明するのですか？

ベルヌーイの不等式
r≦0 or 1≦r のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx
0≦ｒ≦1 のとき、(1+x)^r ≧ 1+rx

とは別物ですか？

933: 2017/09/08(金) 12:36:41.94 ID:Xvh/PpT+(2/4)調 AAS
>>932

>>854 を参照。

a→1/a とすれば
　a^b ≦ 1-b+ab

1<b のときは不等号が逆向き。

a=1+x、b=r

934(2): 2017/09/08(金) 12:59:14.60 ID:Xvh/PpT+(3/4)調 AAS
>>931

>>930 より
a^(2a）+ b^(2b）≧ a^(2b）+ b^(2a),
巡回的にたして AM-GMする。
a^(2a）+ b^(2b）+ c^(2a）≧｛a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)}/2 +｛a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}/2
≧ √{a^(2b）+ b^(2c）+ c^(2a)} √{a^(2c）+ b^(2a）+ c^(2b)}　……（★）

935: 2017/09/08(金) 14:38:39.14 ID:iwl1FmH8(3/10)調 AAS
>>928
> ≧ 2^{abc√(ab)} + 2^{abc√(bc)} + 2^{abc√(ca)}

≧ 2^{√(abc√(ab))} + 2^{√(abc√(bc))} + 2^{√(abc√(ca))}
の間違いだな。

936(3): 2017/09/08(金) 14:38:44.92 ID:Xvh/PpT+(4/4)調 AAS
>>930 >>934

〔補題〕
0<a≦b,　0<c≦d のとき
a^c + b^d ≧ a^d + b^c,

(略証)
m =（c+d)/2，h=（d-c)/2 > 0 とおく。
題意より、0 < a^m < b^m，0 < a^h < b^h,
よって
a^c - a^d - b^c + b^d
= a^(m-h）- a^(m+h）- b^(m-h）+ b^(m+h)
= a^m｛a^(-h）- a^h｝+ b^m｛b^h - b^(-h)}
≧ a^m（b^h - a^h）{1 +（ab)^(-h)}
≧ 0,
簡単だった...

937: 2017/09/08(金) 14:40:27.66 ID:iwl1FmH8(4/10)調 AAS
>>934
むむむ…。すると >>930 の補題の 0<a,b≦1 のときが示されれば解決ですか。

938: 2017/09/08(金) 14:48:12.11 ID:iwl1FmH8(5/10)調 AAS
>>936
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!

939: 2017/09/08(金) 16:10:35.21 ID:iwl1FmH8(6/10)調 AAS
検索したら…

面白スレ六問目 208 (出題のみ解答なし)
a, b >0 のとき、(a^b+b^a)/(a^a+b^b) のとりうる範囲を求めよ。

940(1): 2017/09/08(金) 16:24:51.04 ID:iwl1FmH8(7/10)調 AAS
>>930
> >>925
> 上は対数とってチェビシェフで。

私は (a-b)(log a - log b) ≧0 を巡回させて加えて整理しますた。

チェビシェフって、具体的にどうやるんですか？きっと前スレも同じ方法。

> 正の数a,b,cに対して (a^b)(b^c)(c^a)≦(a^a)(b^b)(c^c) を示せ。
> 対数とってチェビシェフ

941(1): 2017/09/08(金) 18:03:30.03 ID:iwl1FmH8(8/10)調 AAS
>>930
> 〔補題〕
> a,b>0 のとき　a^a + b^b ≧ a^b + b^a,

この間からずっと探していて、先程手書きメモから発掘。そのメモによると、

　a,b,c,d>0 かつ ab≧cd かつ b = min{a,b,c,d} のとき、a+b ≧ c+d ……(☆)

　対称性から a≧b として、(a^a)(b^b) ≧ (a^b)(b^a) かつ a^a, a^b, b^a ≧ b^b で、(☆)を適用。

とだけ書きなぐってあった。例によって出典メモもなく、数学板の過去ログを検索してもヒットせず。

942: 2017/09/08(金) 22:02:47.27 ID:iwl1FmH8(9/10)調 AAS
>>936と、第２章 466-467 より、
a, b >0 に対して、a^a + b^b ≧ a^b + b^a >1

第３章 109-111 より、
a, b, c >0 に対して、a^b + b^c + c^a >1

[疑問]
次式は成り立ちそうだけど、証明が分かりませぬ。
a^a + b^b + c^c ≧ a^b + b^c + c^a

943: 2017/09/08(金) 23:40:24.31 ID:iwl1FmH8(10/10)調 AAS
>>940
もしかして、並べ替え不等式のことを言っているのかな？
　同順序積の和 ≧ 乱順序積の和 ≧ 逆順序積の和

チェビシェフは、
　同順序積の和の平均 ≧ 平均の積 ≧ Σ 乱順序積の和の平均

944: 2017/09/09(土) 00:56:44.14 ID:fG3xA4Le(1/2)調 AAS
>>936
簡単ぢゃなかった......orz
0<a,b≦1 のときは？だった。

凡例　0<a<1/3，b=2a，c=1, d=2，（c/a = d/b ≧3）

大風呂敷　広げすぎたけど、 c/a = d/b ≦ e に限れば成り立つかも。

懲りずに作るでござる。

〔補題〕
0<a,b，0≦k≦e のとき
　a^(ka）+ b^(kb）≧ a^(kb）+ b^(ka),

>>941
　a≧b　⇒　a^a，b^a ≧ b^b　が成立たないところが…

945: 2017/09/09(土) 07:38:47.20 ID:PPAy6pZb(1/3)調 AAS
>>930
左側（a^b + b^a）≦ 1 + ab はどうやって出すんですか？

　1 + ab = (1-b+ab) + b

と分けて、ベルヌーイを使うのかなと思ったら、

　a^b ≧ 1-b+ab
　b^a ≦ b

で不等号の向きが揃わない…

946(1): 2017/09/09(土) 09:14:36.51 ID:PPAy6pZb(2/3)調 AAS
>>930
> ・0<a≦1≦b のとき、ベルヌーイより、
> （左辺）≦ 1 + ab ≦ a + b ≦（右辺),

ここですが、a^a ≧ a^b、b^a ≧ b^b だから、差をとれば終わりでは？

(a^a + b^b) - (a^b + b^a)
= (a^a - a^b) + (b^b - b^a)
≧0

947(2): 2017/09/09(土) 17:18:16.44 ID:fG3xA4Le(2/2)調 AAS
>>946
その通りでつ。

>>783 に追加

a,b,c>0 に対して、
（aa+bb+cc)^3 ≧（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≧…

>>754 (1)(5）より

948: 2017/09/09(土) 17:20:25.53 ID:+iIUOrjC(1)調 AAS
トーフトの不等式

949(1): 2017/09/09(土) 18:15:23.39 ID:PPAy6pZb(3/3)調 AAS
>>947
すまぬ、不等号の向きが逆でござる。
>>757の証明では、修正済みですね。

>>754 (1) 【訂正】
a, b, c >0 に対して、(ab+bc+ca)^3 ≦ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)

950: 2017/09/10(日) 17:07:26.90 ID:GGGugCiK(1)調 AAS
>>949
>>754 (1）

［第3章.727］より
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧（ab+bc+ca)^3,

951(2): 2017/09/11(月) 02:33:18.51 ID:Ls/z+whG(1/11)調 AAS
[第３章 843、845] より、

a≧b≧0，c≧d≧0のとき、

√（a^2+ad+d^2）+√（b^2+bc+c^2）≧√（a^2+ac+c^2）+√（b^2+bd+d^2）

952(2): 2017/09/11(月) 07:41:49.10 ID:Ls/z+whG(2/11)調 AAS
>>951 の類題
[第１章 68、71] より、

実数x,y,zに対して √(x^2+y^2-xy)+√(y^2+z^2-yz) ≧ √(z^2+x^2+zx)

953(2): 2017/09/11(月) 08:02:10.25 ID:Ls/z+whG(3/11)調 AAS
>>951は、根号内が負にならないように x, y, z >0 (≧0) とすべきだよな。

954(2): 389 2017/09/11(月) 09:18:52.80 ID:Bpls46N5(1)調 AAS
>>389の不等式について

元の問題(>>515)の2は、その対偶に当たる
∃k, ∀(x,y)>0 (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u) ⇒ (Dが△ABCの内部および周上)
(>>389の←)
を示せばよい？

近大発表の解答を探したが、既刊の2冊には載っていなかった

『２１世紀無差別級数学バトル』
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
『白熱！無差別級数学バトル』
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp

955: 2017/09/11(月) 10:40:19.10 ID:Ls/z+whG(4/11)調 AAS
>>954
2009年の問題だから、数蝉2010年8月号P.60
近畿大学『数学コンテスト』／12年の歩みを振り返って／大野泰生＋佐久間一浩
外部ﾘﾝｸ[html]:www.nippyo.co.jp

に解説があるやもしれぬ… ('A`)

956(5): 2017/09/11(月) 14:27:23.93 ID:lLjA+cjN(1/3)調 AAS
>>952

3直線 OA、OB、OC を
　∠AOB = ∠BOC = ∠AOC/2 = π/3,
となるようにとる。
OA上、座標xの点をX，
OB上、座標yの点をY，
OC上、座標zの点をZ とする。
このとき
　XY = √(xx-xy+yy),
　YZ = √(yy-yz+zz),
　ZX = √(zz+zx+xx),
　XY + YZ ≧ ZX,

等号成立条件は y(x+z)=xz．｛x=z=2y も含む.}

>>953　？

957(1): 2017/09/11(月) 14:33:07.83 ID:Ls/z+whG(5/11)調 AAS
>>956
問題文の x,y,z は実数だけど、実数でも成り立つのかな？

958: 2017/09/11(月) 16:04:03.38 ID:CvOz8PAv(1)調 AAS
>>953
>>957
非負でなくてはならない条件はつかってないと思うけどどういうこと？

959(1): 2017/09/11(月) 16:19:08.50 ID:Ls/z+whG(6/11)調 AAS
う〜ん、私が理解できていないだけみたい。

>>956
> OA上、座標xの点をX，

この意味が分かりません。

960(1): 2017/09/11(月) 16:28:39.37 ID:Ls/z+whG(7/11)調 AAS
>>42
> 〔問題216〕
> 実数a〜dについて
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ab+bc+cd)^2,
> （aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧（3/4) (ad-bc)^2,

上側
4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ab + bc + cd)^2
＝ (ab - bc + cd + 2da)^2
≧ 0

下側は、Wolfram 先生に以下の２通りを処理させても、ずっと『COMPUTING』のまま結果を出さない。

factor 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
expand 4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2

つまり因数分解できないんだろうけど、長い式は展開してくれないのかな？
平方和になるのかな？

961(1): 2017/09/11(月) 16:38:45.88 ID:Ls/z+whG(8/11)調 AAS
手計算で展開してから、Wolfram先生に因数分解してもらった。

4(a^2 + ac + c^2)(b^2 + bd + d^2) - 3(ad - bc)^2
= 4(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2d^2 + d^2a^2 + a^2bd + ab^2c + acd^2 + bc^2d + abcd) - 3(a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2)
= 4a^2b^2 + b^2c^2 + 4c^2d^2 + d^2a^2 + 4a^2bd + 4ab^2c + 4acd^2 + 4bc^2d + 10abcd
= (2ab+ad+bc+2cd)^2
≧0

962(1): 2017/09/11(月) 17:20:43.44 ID:IDWqxmZH(1)調 AAS
>>959
OAを，Oを原点とする座標軸みたいに考えて言ってる

要するに直線OA＝直線OXであって |OX|=x となるような点Xを取りなさいということ．

963(1): 2017/09/11(月) 17:22:26.50 ID:lLjA+cjN(2/3)調 AAS
>>956
直線OAをx軸とし、OAの向きを正とします。
もちろん、x軸，y軸，z軸は直交しません（斜交軸）

>>960-961

>>47-48 から
(aa+ac+cc)(bb+bd+dd）=（ad-bc)^2 +（ad-bc)(ab+bc+cd）+（ab+bc+cd)^2,
これと
xx+xy+yy ≧（3/4)xx，(3/4)yy
から出ますけど...

964: 2017/09/11(月) 17:52:18.68 ID:lLjA+cjN(3/3)調 AAS
>>952
では図に頼らず代数的に...

LHS^2 - RHS^2 = 2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）+（2yy-t)
=｛4(xx-xy+yy)(yy-yz+zz）-（2yy-t)^2｝/｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
= 3DD /｛2√(xx-xy+yy)√(yy-yz+zz）-2yy+ｔ}
≧ 0,
ここに、t = xy+yz+zx,
等号成立条件は D = xy+yz-zx = 0,

965: 2017/09/11(月) 18:32:41.88 ID:Ls/z+whG(9/11)調 AAS
>>962-963
ありがとうございます！今から考えてみます。

>>963
じゃあ xx+xy+yy ≧3xy だから、次式も成り立ちますね。
（aa+ac+cc) (bb+bd+dd）≧ 3(ad-bc)(ab+bc+cd)

966(1): 2017/09/11(月) 21:29:10.93 ID:Ls/z+whG(10/11)調 AAS
>>956
たとえば x>0 y<0 のときに、
XY = √(xx-xy+yy) じゃなく
XY = √(xx+xy+yy) になりませんか？

967: 2017/09/11(月) 21:30:28.09 ID:Ls/z+whG(11/11)調 AAS
いやいやいや、>>966は忘れてくだされ。負のときは角度が変わるから、大丈夫なんだね。

968: 2017/09/12(火) 02:14:22.13 ID:YsdDbYfo(1/3)調 AAS
>>389 >>954

⇒ は簡単なんでつが…　>>568

三角形を回して考えるのかな。
p’，r’，t’< v’ ならばｘ→∞
p’，r’，t’ > v’ ならばｘ→0
q’，s’，u’< w’ ならば y→∞
q’，s’，u’ > w’ ならば y→0
として反例を探す。

969(1): 2017/09/12(火) 03:54:04.96 ID:YsdDbYfo(2/3)調 AAS
>>947

AM-GM で
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
=｛(aabb+c^4)/2 +2ccaa}(a-b)^2 +｛(bbcc+a^4)/2 +2aabb}(b-c)^2 +｛(ccaa+b^4)/2 +2bbcc}(c-a)^2 + 2abc?
≧ 2ccaa(a-b)^2 + 2aabb(b-c)^2 + 2bbcc(c-a)^2 +2abc?
= 2abc{(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2 + ?}
≧ 0,
ここに、? =（a-b)(b-c)(c-a),

〔補題〕
-1/2 < ?／｛(ca/b)(a-b)^2 +（ab/c)(b-c)^2 +（bc/a)(c-a)^2｝≦（7-3√3)/22 = 0.0819930717

左側は（a，b，c）=（a，1，1/a）で a→∞ のとき近づく。
さて、どうやって示すんでしょうね...

970: 2017/09/12(火) 09:02:09.48 ID:bjO3mpkI(1)調 AAS
和積版並べ替え不等式で一発

971: 2017/09/12(火) 14:13:31.04 ID:YsdDbYfo(3/3)調 AAS
>>969

AM-GMで
(aabb+c^4)/2（a-b)^2 +（bbcc+a^4)/2（b-c)^2 +（ccaa+b^4)/2（c-a)^2 + abc?
≧ abc{c(a-b)^2 + a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + ?}
= 2(abb+bcc+caa - 3abc)
≧ 0,　　　　　［第４章.626］
を使うと、
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）-（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa)
≧ abc{2(ca/b)(a-b)^2 + 2(ab/c)(b-c)^2 + 2(bc/a)(c-a)^2 + ?},

972(4): 2017/09/12(火) 20:07:31.54 ID:bmf0+g5o(1/4)調 AA×
>>0

973(1): 2017/09/12(火) 20:10:11.31 ID:bmf0+g5o(2/4)調 AAS
【おまけ】難易度：鼻くそ
a,b,c,d,e>0 に対して、a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≧ (a+b+c+d)e

974(2): 2017/09/12(火) 23:02:36.39 ID:bmf0+g5o(3/4)調 AAS
>>972 を改造しようとして、λの最小値を出そうとしたが、挫折したでござる。

a, b, c, d >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ λ*(a+b+c+d)

975(1): 2017/09/12(火) 23:20:00.20 ID:N0+9SYTs(1)調 AAS
>>972
Tournament of the town
a/12 + b/3 + 4c/3 >= (abc)^(1/2)
a/4 + b >= (ab)^(1/2)

>>973
L - R = (a-e/2)^2 + …

976(1): 2017/09/12(火) 23:30:54.46 ID:bmf0+g5o(4/4)調 AAS
>>972
２文字なら簡単に作れるのでおじゃるが…

a, b >0 に対して、a + (ab)^(1/2) ≦ {(1+√2)/2}*(a+b)

977(1): 2017/09/13(水) 03:07:54.73 ID:i1anpb+k(1/18)調 AA×
>>0

978: 2017/09/13(水) 06:13:10.00 ID:HyiuMNX2(1/2)調 AAS
耳栓をしたら世界が変わってワロタ

979(4): 2017/09/13(水) 07:02:09.13 ID:jekxCsX+(1/3)調 AAS
>>974
　a = a,
　√ab　≦｛1/(2√p)｝（a+pb),
（abc)^(1/3）≦｛1/[3(pq)^(1/3)]｝（a+pb+qc),
（abcd)^(1/4）≦｛1/[4(pqr)^(1/4)]｝（a+pb+qc+rd),
ここに、
p = 3.37617521979458
q = 9.55342152751350
r = 32.2851876698453

辺々たすと
λ = 1.42084438540961

980: 2017/09/13(水) 10:07:15.32 ID:i1anpb+k(2/18)調 AAS
>>975
顔文字(ToT)の正体は Tournament of the town なのか…
幾つかの国でやっているようだから、出題年度だけでは見つけるのは大変でござるな。

wiki (Tournament of the town)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
AoPS
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

加奈陀
外部ﾘﾝｸ[php]:www.math.toronto.edu
独逸
外部ﾘﾝｸ[html]:www.math.uni-hamburg.de
仏蘭西
外部ﾘﾝｸ[html]:www.tournoidesvilles.fr
以色列
外部ﾘﾝｸ:www.taharut.org

イスラエルは読めぬ…。右寄せになっているが右から左に書くのか？

981(1): 2017/09/13(水) 10:15:37.91 ID:i1anpb+k(3/18)調 AAS
>>979
３変数でよかったのか…。次のように６変数でやっていますた。

a = a
√ab = √{(pa)(b/p)} ≦ {(pa)+(b/p)}/2
（abc)^(1/3） = {（qa)(rb)(c/pq))}^(1/3） ≦ {（qa)+(rb)+(c/pq)}/3
（abcd)^(1/4） = {（sa)(tb)(uc)(d/stu)}^(1/4） ≦ {（sa)+(tb)+(uc)+(d/stu)}/4

1 + p/2 + q/3 + s/4 = 1/2p + 3/r + t/4 = 1/3pq + u/4 = 1/4stu
pa = b/p
qa = rb = c/pq
sa = tb = uc = d/stu

982: 2017/09/13(水) 10:36:59.57 ID:i1anpb+k(4/18)調 AAS
>>4
埋蔵地のリンクが切れているところが結構あるので修正中。
>>1の過去ログ・まとめサイト、>>2の和書以外は、まとめサイト参照でいいかもね。

983: 2017/09/13(水) 10:49:00.52 ID:i1anpb+k(5/18)調 AAS
>>165
[不等式第7章 241]
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ

これも未解決ですな

984(1): 2017/09/13(水) 10:49:48.18 ID:i1anpb+k(6/18)調 AAS
>>469
> >>388
> >>456
> 相当な量の改良問題があった
>
> for reals
> [1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>
> AOPS
> [1], [2] : c6h588096p3481394
> [3] : c6h4830p15309
> [4], [5] : c6h581954p3438879
>
> 他にもいろいろ

この辺に改造できそうなネタがたくさん埋もれていそう。

985: 2017/09/13(水) 11:15:48.43 ID:i1anpb+k(7/18)調 AAS
数研通信に SMV-Theorem についての解説があった。

数検通信
外部ﾘﾝｸ[html]:www.chart.co.jp

89号、対称的な不等式の証明方法について、柳田五夫 ← コレ

他に不等式絡みの記事

80号、3次の同次対称式P(a,b,c)の不等式について、柳田五夫
76号、絶対値記号を含む不等式について、柳田五夫
75号、不等式の証明に役立つ不等式と接線の利用について、柳田五夫
66号、1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e (a,b,c,d,e∈N)の最大値について、柳田五夫
60号、接線を利用した台形の面積で，ある不等式を証明する、柳田五夫
08号、ある不等式の証明について、柳田五夫

89号、数学的帰納法とベルヌーイの不等式、大谷昌範
85号、モローの不等式の証明、藤岡優太
80号、n数の相加・相乗平均の関係の証明、西元教善
76号、ベクトルの三角不等式の活用、岡本雅史
66号、チェバ・メネラウスの定理から導く三角形の不等式、中村公一
60号、巡回不等式特集、大塚秀幸
50号、不等式をつくる、仁平政一
42号、いままで出会ったことのない「ある不等式」について、仁平政一
49号、相加・相乗平均の不等式を産み出す根源的不等式について、西元教善
47号、不等式の証明の統一的方法、仁平政一
20号、チェビシェフの不等式について、遠藤一成、中島政彦

986: 2017/09/13(水) 11:22:52.28 ID:i1anpb+k(8/18)調 AAS
新スレを建てたでござる。
今後とも御指導お願いしますでござる。

不等式への招待第９章
2chｽﾚ:math

987(1): 2017/09/13(水) 12:57:54.60 ID:i1anpb+k(9/18)調 AAS
>>979
ｐ, q, r の値は具体的にどう表されるのですか？解くのは大変そうですが…

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 15 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ

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