不等式への招待第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

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63(1): 2017/07/13(木) 01:04:00.92 ID:aYclV8OY(2/9)調 AAS
>>62
オノの不等式
> 1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、
> 1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと、鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

T.オノって何者だ？

64: 2017/07/13(木) 01:06:35.77 ID:aYclV8OY(3/9)調 AAS
Ono Inequality
鋭角三角形の3辺の長さを a, b, c, 面積を S とするとき、
27(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ (4S)^2

65(1): 2017/07/13(木) 01:19:17.26 ID:aYclV8OY(4/9)調 AAS
不等式スレの第１章より前から集めているコレクションから引っ張り出してきた。
（つい最近まで出典をメモする習慣がなかったことを激しく後悔…）

実数 a,b,c に対して、
(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2

さて、a,b,cを鋭角三角形の3辺の長さとして、この右辺と Ono Inequality の右辺の大小とか定まるかな？

66(2): 2017/07/13(木) 01:22:59.99 ID:aYclV8OY(5/9)調 AA×

67: 2017/07/13(木) 03:52:28.15 ID:oVTfqBd/(2/6)調 AAS
>>65
a,b,cが鋭角△をなすとき
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb)(aa+bb-cc) ≦ {(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦（4S/√3)^3 ≦ (2s/3)^6,
S=△ABC、 s=(a+b+c)/2.

(左)
(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）=（cc)^2 -（aa-bb)^2
=［c^2 - (a-b)^2］^2 - 2(aa+bb-cc)(a-b)^2
≦［c^2 - (a-b)^2］^2 　　　　(←鋭角)
=［(b+c-a)(c+a-b)］^2,
循環的に掛けて平方根。

(中)
相加-相乗平均より
　a+b+c ≧ 3｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)｝^(1/3),
　s ≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(1/3),

S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)　　　(←ヘロンの公式）
　≧ 3｛(s-a)(s-b)(s-c)｝^(4/3),

∴｛(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}^2 ≦ (4S/√3)^3,

(右)
S^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) ≦ 3(s/3)^4,

∴（4S/√3)^3 ≦（2s/3)^6.

68: 2017/07/13(木) 04:08:19.11 ID:oVTfqBd/(3/6)調 AAS
>>66 上

a+b-c=2z，b+c-a=2x，c+a-b=2y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
abc - (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) = (y+z)(z+x)(x+y) - 8xyz
　= x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2
　≧ 0,
等号は x=y=z、つまり a=b=c （正△）

* Ravi変換とかいうらしい。

69(9): 2017/07/13(木) 05:10:22.83 ID:aYclV8OY(6/9)調 AAS
(1)
正の数 a,b,c に対して、
(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+1

(3)
a+b+c=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
(a^2 + bc^4)(b^2 + ca^4)(c^2 + ab^4) ≦ 64
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　<〇√
　　　∥
　　くく

関係ないが、27ってよく出てくるよな。

[第6章.908]
a,b,c>0のとき、{(a+b+c)(ab+bc+ca)}^2≧27abc(a^3＋b^3＋c^3)

[第5章.560]
a,b,cが三角形の三辺の長さのとき、
8/27 ≦ (a+b)(b+c)(c+a)/{(a+2b)(b+2c)(c+2a)},

[第5章.573]
1/4<(a+b)(b+c)(c+a)/(a+b+c)^3≦8/27 [1991 IMO]

[第5章.667]
正の数a、b、c、dに対して
　2(ab + ac + ad + bc + bd + cd)^3 ≧ 27(abc + abd + acd + bcd)^2

[第2章.144]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27 [1999 CMO]

70(4): 2017/07/13(木) 05:12:12.43 ID:aYclV8OY(7/9)調 AAS
>>69の訂正

(2)
ab+bc+ca=3 をみたす正の数 a,b,c に対して、
a+b+c ≧ abc+2

71(3): 2017/07/13(木) 07:03:58.21 ID:aYclV8OY(8/9)調 AAS
(4)
正の数 a,b,c に対して、
{(b+c)/a}^3 + {(c+a)/b}^3 + {(a+b)/c}^3 ≧ 24

72(4): 2017/07/13(木) 10:54:34.52 ID:aYclV8OY(9/9)調 AAS
B.3989
外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu

a, b, c are positive numbers, such that a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4. Prove that a+b+c<3.

A.422、B3987 にも不等式があるね。

73(1): 2017/07/13(木) 17:42:43.45 ID:oVTfqBd/(4/6)調 AAS
>>71
(4)
(b+c)/a=x, (c+a)/b=y, (a+b)/c=z とおく。

x^3 + y^3 + z^3 = {(x+y+z)^3 +5s(ss-3t) +3(s^3-4st+9u)}/9 ≧ (1/9)(x+y+z)^3,

x+y+z = 6＋（a/b+b/a-2)＋(b/c+c/b-2)＋(c/a+a/c-2）≧ 6,

>>72

B.3987
　中の b+c に注目する。
　（a+b+c)(b+c+d）=（b+c)(a+b+c+d）+ ad
　≧（b+c){(a+b)＋(c+d)}
　≧ 2｛√(a+b)｝（b+c）｛√(c+d)},
　循環的に掛ける。

B.3989
　a=2cos(A)，b=2cos(B)，c=2cos(C) とおく。A+B+C=π
　cos(x）は下に凸だから
　a+b+c = 2{cos(A)+cos(B)+cos(C)｝≦ 6cos((A+B+C)/3）= 6cos(π/3) = 3,

ご参考
　外部ﾘﾝｸ:ameblo.jp

74: 2017/07/13(木) 17:54:31.64 ID:oVTfqBd/(5/6)調 AAS
>>73 訂正

B.3989
　cos(x）は｜x｜<π/2 で上に凸でした。

(別解)
　a=2sin(A/2)，b=2sin(B/2)，c=2sin(C/2) とおく。以下同様

75: 2017/07/13(木) 18:37:29.12 ID:oVTfqBd/(6/6)調 AAS
>>72

A.422
Σ[i=1,n] x(i) = x(n+1) = S とおく。
Σ[i=1,n] x(i)^2 ≧ SS/n,
y=√x は上に凸だから
(左辺)^2 ≦ n｛ Σ[i=1,n] x(i) [S -x(i)] }
　　= n｛ SS -Σ[i=1,n] x(i)^2 }
　　≦ n (SS - SS/n)}
　　= (n-1) SS,

(右辺)^2 = SΣ[i=1,n] [S - x(i)]
　　= S (n S - S)
　　= (n-1) SS,

76(2): 2017/07/14(金) 01:59:14.12 ID:54s0BI7v(1/6)調 AAS
>>72

A.422
(左辺)^2 ≦ n｛Σ[i=1,n] x(i)[S-x(i)] }
　　≦｛Σ[i=1,n] x(i)} {Σ[j=1,n] [S-x(j)]}　(チェビシェフ)
　　= S・(n-1)S
でもいいか...

〔B.3987.改〕
n個の正数｛a,b,c, …,z｝がある。
連続するk項の和を巡回的に掛けたものをＰ_k とおく。
Ｐ_1 = abcd…z,
Ｐ_2 =（a+b)(b+c)(c+d)……(z+a),
Ｐ_3 = (a+b+c)(b+c+d)……(z+a+b),
Ｐ_4 = (a+b+c+d)(b+c+d+e)……(z+a+b+c),
このとき、
　(Ｐ_k)^2 ≧ Ｐ_{k-1}・Ｐ_{k+1},
　Ｐ_{mn} ≧ (m^n)Ｐ_n,
を示せ。

77(6): 2017/07/14(金) 02:41:47.40 ID:5qutPAyo(1)調 AAS
>>72
蒐集癖に火がついたでござる ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ…

以下、a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。←非負実数でいいよね？多分…
(1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
(2) abc+2 ≧ ab+bc+ca ≧ abc
(3) a+b+c<3
(4) (2+a)(2+b)(2+c) ≧27abc
(5) sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3

(5)は、リンク先を見ると
sqrt{(2-a)/(2+a)} + sqrt{(2-b)/(2+b)} + sqrt{(2-c)/(2+c)} ≧ 3sqrt{3} ≧ sqrt(4-a^2) + sqrt(4-b^2) + sqrt(4-b^2)
と書いている者もいる。証明は未確認。

民明書房刊「不等式ヲタの異常な蒐集癖、または私は如何にして心配するのを止めて不等式を愛するようになったか」より
(1) 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…
(2) USAMO 2001 外部ﾘﾝｸ[php]:artofproblemsolving.com
(3) >>72 B.3989 外部ﾘﾝｸ[cgi]:www.komal.hu
(4) 外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
(5) 外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

78: 2017/07/14(金) 04:47:25.52 ID:54s0BI7v(2/6)調 AAS
>>77

(3)　はイランMO-2002、A16 かな？

Solution 見ても出典が無い。ほんとに　KoMaL

「博士の愛した不等式」慎重文庫（2005）

79(1): 2017/07/14(金) 04:54:42.20 ID:54s0BI7v(3/6)調 AAS
>>76

〔B.3987.改〕
k≦L　のとき、Ｐ_k・Ｐ_L ≦ Ｐ_{k-1}･Ｐ_{L+1}

80: 2017/07/14(金) 10:25:53.58 ID:54s0BI7v(4/6)調 AAS
>>66 下

a+b-c=z，b+c-a=x，c+a-b=y とおく。(*)
x,y,zは任意の正数。
a+b+c = x+y+z,
xy = cc-(a-b)^2 ≦ cc,
yz = aa-(b-c)^2 ≦ aa,
zx = bb-(c-a)^2 ≦ bb,

log（左辺）= a log(z）+ b log(x）+ c log(y)
　= (y/2)log(yz) + (z/2)log(zx) + (x/2)log(xy)
　≦ y log(a) + z log(b) + x log(c)
　≦ a log(a) + b log(b) + c log(c)　　（←チェビシェフ）
　= log（右辺）,

81: 2017/07/14(金) 13:02:23.89 ID:54s0BI7v(5/6)調 AAS
>>69

[第5章.667]
a+b+c+d = s，ab+ac+ad+bc+bd+cd = t，abc+abd+acd+bcd = u とおく。
　2tt - (9/2)su =（ab-cd)^2 + (ac-bd)^2 + (ad-bc)^2 + (1/4)(aa+bb)(c-d)^2 + … ≧ 0,
　2st - 12u =（a+b)(c-d)^2 + (a+c)(b-d)^2 + … + (c+d)(a-b)^2 ≧ 0,
∴　2t^3 ≧ 27uu,

82: 2017/07/14(金) 18:29:25.42 ID:54s0BI7v(6/6)調 AAS
〔B.3987.改〕の略証を

>>76
　a_2 + a_3 + … + a_k = s とおく。
　(a_1+a_2+…+a_k)(a2+a3+…+a(k+1)) = (a_1 + s)(s + a_(k+1)) > s{a_1 + s + a_(k+1)}
　巡回的に掛ける。

>>79
　k=L のときは >>76
　k<L のときも
　{Ｐ_k Ｐ_L}/{Ｐ_(k-1) Ｐ_(L+1)｝=｛(Ｐ_k)^2/Ｐ_(k-1)Ｐ_(k+1)}×{(Ｐ_(k+1))^2/Ｐ_k Ｐ_(k+2)}×
…… ×{(Ｐ_L)^2/Ｐ_(L-1)Ｐ_(L+1)} > 1,

83: 2017/07/15(土) 03:33:48.86 ID:jZ3tY0g5(1/3)調 AAS
>>69

[第2章.144]
0 ≦ a ≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3 - 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧0,
等号成立は (a,b,c) = (0,2/3,1/3) とその rotation

カナダMO-1995 A.5
安藤哲哉：「不等式」数学書房（2012) 例題2.2.12(7)

84(1): 2017/07/15(土) 03:52:45.75 ID:jZ3tY0g5(2/3)調 AAS
>>69

[第6章.908]
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc とおく。
st = (aaa+bbb+ccc)＋(abb+bcc+caa)＋(aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),
pq = T+uS+3uu ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),
∴ S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3) ≧ 3√(3Su),
ここに、S=aaa+bbb+ccc、T=(ab)^3+(bc)^3+(ca)^3、U=(abc)^3.

Casphy!-不等式2-177

85: 2017/07/15(土) 04:39:34.33 ID:yYh8jteX(1/2)調 AAS
そういえば、数蝉2017.08のエレガント第２問が、関数の最大最小値問題だったね。締切まで答えは書けないけど。

86: 2017/07/15(土) 07:59:24.12 ID:OkWeDr+1(1)調 AAS
学コンの答えを締切前に発表したら刑事事件に発展するの？
業務妨害？

87: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 08:12:09.69 ID:qAOI4WFY(1/23)調 AAS
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■

￥

88: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:11.35 ID:qAOI4WFY(2/23)調 AAS
￥

89: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:30.33 ID:qAOI4WFY(3/23)調 AAS
￥

90: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:04:51.82 ID:qAOI4WFY(4/23)調 AAS
￥

91: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:10.79 ID:qAOI4WFY(5/23)調 AAS
￥

92: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:28.41 ID:qAOI4WFY(6/23)調 AAS
￥

93: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:05:46.60 ID:qAOI4WFY(7/23)調 AAS
￥

94: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:04.47 ID:qAOI4WFY(8/23)調 AAS
￥

95: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:28.55 ID:qAOI4WFY(9/23)調 AAS
￥

96: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:06:47.28 ID:qAOI4WFY(10/23)調 AAS
￥

97: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:07:05.64 ID:qAOI4WFY(11/23)調 AAS
￥

98: 2017/07/15(土) 09:30:51.82 ID:yYh8jteX(2/2)調 AAS
学コン厨がage荒らしをして、￥が荒らす。
面白スレや数セミスレでもよく見かける数学板の風物詩。

99: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 09:53:34.66 ID:qAOI4WFY(12/23)調 AAS
■■■輝かしい日本の未来の学問は、馬鹿板をしない国民一人一人が作るもの。■■■

￥

100: 2017/07/15(土) 14:30:48.60 ID:jZ3tY0g5(3/3)調 AAS
>>84 の訂正...

(a+b+c)(aa+bb+cc) = (aaa+bbb+ccc) + (abb+bcc+caa) + (aab+bbc+cca) = S+p+q ≧ 3(Spq)^(1/3),

101: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 15:08:09.64 ID:qAOI4WFY(13/23)調 AAS
◆◆◆馬鹿板をスルと脳が馬鹿汁漬けになってアホになります。そやし止めるべき。◆◆◆

￥

102: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:44:30.05 ID:qAOI4WFY(14/23)調 AAS
￥

103: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:44:49.86 ID:qAOI4WFY(15/23)調 AAS
￥

104: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:08.73 ID:qAOI4WFY(16/23)調 AAS
￥

105: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:26.58 ID:qAOI4WFY(17/23)調 AAS
￥

106: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:45:44.83 ID:qAOI4WFY(18/23)調 AAS
￥

107: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:03.06 ID:qAOI4WFY(19/23)調 AAS
￥

108: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:20.52 ID:qAOI4WFY(20/23)調 AAS
￥

109: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:46:47.66 ID:qAOI4WFY(21/23)調 AAS
￥

110: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:47:07.88 ID:qAOI4WFY(22/23)調 AAS
￥

111: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/15(土) 18:47:25.53 ID:qAOI4WFY(23/23)調 AAS
￥

112(1): 2017/07/16(日) 08:39:47.83 ID:v1J8xk3o(1)調 AAS
>>70 (2)

s = st/9 + 2s/3 ≧ u + 2√(t/3) = u + 2,

113: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/16(日) 09:31:15.72 ID:lJ3jPa7S(1/2)調 AAS
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇

￥

114(1): 2017/07/16(日) 10:49:30.65 ID:kYKIO7xV(1/10)調 AA×
>>0

115: 2017/07/16(日) 10:54:46.47 ID:kYKIO7xV(2/10)調 AAS
>>114
ごめん、>>71と同じ問題だった。

116(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/16(日) 11:10:58.67 ID:lJ3jPa7S(2/2)調 AAS
◇◇◇希望に満ちた明るい日本の将来は、馬鹿板を許さないネット社会の実現から。◇◇◇

￥

117: 2017/07/16(日) 11:20:30.34 ID:kYKIO7xV(3/10)調 AAS
>>70 (2)
解答 >>112
参考外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com

118(2): 2017/07/16(日) 11:36:46.53 ID:kYKIO7xV(4/10)調 AAS
>>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(6) (a+b)^(1/2) + (b+c)^(1/3) + (c+a)^(1/4) < 4
(7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

(6) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
(7) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com

119: 2017/07/16(日) 11:38:50.17 ID:kYKIO7xV(5/10)調 AAS
(A) a,b,c>0 の AM,GM,HMをA,G,Hで表すとき、A+H ≧5*(G/6)^(1/3)
(B) a,b,c>0、a+b+c=3 のとき、a^(ab)b + b^(bc)c + c^(ca)a ≧ 5^(1/6)

(A) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
(B) 外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com

120: 2017/07/16(日) 11:45:07.73 ID:kYKIO7xV(6/10)調 AAS
条件不等式のデータベースを作りたいね。
たとえば、上のような a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 かつ a,b,c>0 のときに成り立つ不等式がいろいろあるけど、
条件を代入して検索したら、それをみたす不等式がずらーっと出てくるような。

121: 2017/07/16(日) 11:51:59.39 ID:kYKIO7xV(7/10)調 AAS
>>118
(誤) (7) 4(ab+bc+ca?abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)
(正) (7) 4(ab+bc+ca-abc) ≧ (a^2b+c)(b^2c+a)(c^2a+b)

122: 2017/07/16(日) 12:54:40.01 ID:kYKIO7xV(8/10)調 AAS
>>70
結局、a,b,c>0 かつ ab+bc+ca=3 のとき、a+b+c≧3 と 1≧abc が成立し、それをコッソリ使っていたのか…。
　a+b+c ≧ 3 ≧ 2+abc

種明かしされると何でもないけど、a+b+c≧2+abc をパッと見たとき、次数を合わせるために、
左辺と右辺の第１項に ab+bc+ca、右辺第2項に 3 を掛けてみて…、ずっと悩んでいた。

123(1): 2017/07/16(日) 13:44:04.69 ID:kYKIO7xV(9/10)調 AAS
>>70 の別解。

c = (3-ab)/(a+b) より、
(左辺)-(右辺) = [(ab-1)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2}/(a+b) ≧ 0.

124: 2017/07/16(日) 13:46:47.29 ID:kYKIO7xV(10/10)調 AAS
>>123
対称性を崩したくないのと、計算が面倒そうで、一文字消去は考えもしなかった。

125: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:16.95 ID:PMZXT70X(1/26)調 AAS
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126: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:36.95 ID:PMZXT70X(2/26)調 AAS
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127: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:52:56.33 ID:PMZXT70X(3/26)調 AAS
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128: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:53:12.81 ID:PMZXT70X(4/26)調 AAS
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129: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:53:30.00 ID:PMZXT70X(5/26)調 AAS
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130: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:53:48.98 ID:PMZXT70X(6/26)調 AAS
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131: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:54:06.51 ID:PMZXT70X(7/26)調 AAS
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132: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:54:32.49 ID:PMZXT70X(8/26)調 AAS
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133: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:54:49.93 ID:PMZXT70X(9/26)調 AAS
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134: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 04:55:11.29 ID:PMZXT70X(10/26)調 AAS
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135: 2017/07/17(月) 09:27:21.13 ID:2cOdQU+V(1/2)調 AAS
>>118 (6)
最大になる位置は
（a，b，c）=（1.16745、1.83254、0）≒（7/6、11/6、0)
の辺りなので、
a+b≒3、b+c≒11/6、c+a≒7/6、
を利用して相乗-相加平均する。
（a+b)^(1/2）≦｛(a+b）+ 3}/(2 √3）= 0.288675（a+b）+ 0.8660254,
（b+c)^(1/3）≦｛(b+c）+(11/6)+(11/6)}/{3 (11/6)^(2/3)｝= 0.222528（b+c）+ 0.815935
（c+a)^(1/4）≦｛(c+a) +(7/6)+(7/6)+(7/6)}/{4 (7/6)^(3/4)｝= 0.222705（c+a）+ 0.7794674

（左辺）≦ 0.511380 (a+b+c) + 2.4614278 ≦ 3.995568　　(← a+b+c≦3）

ただし、条件 a+b+c≦3 を使い、出題よりも広い範囲で考えている。

出題の最大値～ 3.9147720586
（a,b,c）=（1.17121、1.35653、0.396885）

136(2): 2017/07/17(月) 10:01:47.44 ID:SY6Y6f40(1/7)調 AAS
[2009 大阪教育大]
(1) 実数 a,b が、a>0、ab≧4 をみたすとき、a+b≧4 を示せ。
(2) 実数 x,y が、x>0、(x^8)(y-x^2)≧4 をみたすとき、x(x+y)≧4 を示せ。

(1)のヒントがなかったら、(2)はどうするんだろう。(1)があってもムズいが…。

137(1): 2017/07/17(月) 10:21:27.05 ID:SY6Y6f40(2/7)調 AAS
>>136
(2)の結論の式は、等号は成り立たんよなあ。

138: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 10:36:15.95 ID:PMZXT70X(11/26)調 AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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139: 2017/07/17(月) 13:05:29.18 ID:2cOdQU+V(2/2)調 AAS
>>136

(1)　(a+b)^2 = 4ab + (a-b)^2 ≧ 4ab ≧ 4^2

(2)　y ≧ xx + 4/x^8 = 4/x^3 + (x - 2/x^4)^2 ≧ 4/x^3,

　　x(x+y) ≧ x(x + 4/x^3) = xx + 4/xx = 4 + (x - 2/x)^2 ≧ 4,

140: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 14:25:41.60 ID:PMZXT70X(12/26)調 AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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141: 2017/07/17(月) 15:40:07.66 ID:SY6Y6f40(3/7)調 AAS
>>77
> a, b, c は a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 をみたす正の実数とする。
> (1) a+b+c ≧ ab+bc+ca
>
> 出典のmemoがないでござる。過去スレにあるかも…

過去スレを漁ってみたら、たぶん、以下の問題と混同してしまったっぽい。
条件式が ab+bc+ca+abc=4 で違う。申し訳ないでござる。
反例をうまく見つけられんけど、 a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときには成り立つのかな？

[不等式スレ第４章 701]
> 701 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/08/29(日) 23:19:11
> a,b,c≧0、ab+bc+ca+abc=4のとき、a+b+c≧ab+bc+caを示せ
> 「大学への数学 2010-7 宿題」
>
> （解1） b+c=s、bc=t とおくと、a=(4-s)/(1+t)で、
> 0 < t ≦ (s^2)/4 で f(t) = -t^2+(s-1)t+s^2-4s+4 ≧ 0 を示す
>
> （解2 >>143） a≦b≦c とおくと a≦1≦c で、
> a+b+c-(ab+bc+ca) = {ac(1-a)(c-1)+(a+c-2)^2}/(1+ac) ≧ 0
>
> 解説には、「今のところ対称性を崩さない綺麗なジャイアンは見つかっていない」とある

142: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 16:26:18.13 ID:PMZXT70X(13/26)調 AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

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143(1): ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:35:37.88 ID:PMZXT70X(14/26)調 AAS
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144: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:35:56.72 ID:PMZXT70X(15/26)調 AAS
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145: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:36:15.80 ID:PMZXT70X(16/26)調 AAS
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146: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:36:34.57 ID:PMZXT70X(17/26)調 AAS
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147: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:36:54.41 ID:PMZXT70X(18/26)調 AAS
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148: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:37:14.24 ID:PMZXT70X(19/26)調 AAS
￥

149: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:37:32.38 ID:PMZXT70X(20/26)調 AAS
￥

150: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:38:01.03 ID:PMZXT70X(21/26)調 AAS
￥

151: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:38:17.73 ID:PMZXT70X(22/26)調 AAS
￥

152: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 17:38:42.94 ID:PMZXT70X(23/26)調 AAS
￥

153(2): 2017/07/17(月) 19:35:16.45 ID:SY6Y6f40(4/7)調 AAS
[不等式スレ第３章 343、第４章 627]
> cos(sinｘ)＞sin(cosｘ) をしめせ。（xは任意の実数）

改造せずにはいられない。
-π/2 < x < π/2 のとき、cos(sin x) > cos x > sin(cos x)

　 ∧,,∧
　(；`・ω・）　　｡･ﾟ･⌒）　不等式改造するよ！！
　/　　ｏ━ヽニニフ))
　しー-Ｊ

154: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 19:52:08.08 ID:PMZXT70X(24/26)調 AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

￥

155(1): 2017/07/17(月) 20:16:54.29 ID:SY6Y6f40(5/7)調 AAS
>>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)

ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」とあるけど、どのようにして分かるんでせうか？
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

156: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 20:24:26.35 ID:PMZXT70X(25/26)調 AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼

￥

157: 2017/07/17(月) 20:34:26.11 ID:SY6Y6f40(6/7)調 AA×
>>155

158: 2017/07/17(月) 21:08:58.62 ID:SY6Y6f40(7/7)調 AA×
>>77

159: ￥氏 ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月) 21:23:39.97 ID:PMZXT70X(26/26)調 AAS
￥

160(1): 2017/07/18(火) 03:40:55.13 ID:bAXQRDUT(1)調 AAS
>>77 追加

a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、

(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)

外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

どうやるんだろう…

161: 2017/07/18(火) 04:49:04.11 ID:gmN7VRE9(1)調 AAS
>>153
各辺が周期πをもつばあいは、（最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして）mπずらすことが可能でござる。
（オリジナルの周期は2πゆえ）たとえば絶対値を付けて
　cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧ ｜sin(cos(x))｜,

162: 2017/07/19(水) 04:31:14.76 ID:OXFuyCoZ(1/5)調 AAS
>>153 （続き）

-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
　cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧｜sin(cos(x))｜
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
　左の等号　x=mπ
　右の等号　x=mπ±π/2

〔類題〕
　0.107126944873 ≦ cos(sin(x)）-｜sin(cos(x))｜≦ cos(1）～ 0.54030230
　左の等号　x=mπ±0.692728570
　右の等号　x=mπ±π/2

163(2): 2017/07/19(水) 05:59:21.30 ID:3YGTFP1s(1/5)調 AAS
>>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)

基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。

164: 2017/07/19(水) 06:06:03.79 ID:3YGTFP1s(2/5)調 AAS
>>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。

165(1): 2017/07/19(水) 07:03:54.93 ID:3YGTFP1s(3/5)調 AAS
[不等式第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ

これも証明できていない…

166(1): 2017/07/19(水) 08:55:53.79 ID:3YGTFP1s(4/5)調 AAS
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
外部ﾘﾝｸ[html]:mks.mff.cuni.cz

167(3): 2017/07/19(水) 08:58:35.51 ID:OXFuyCoZ(2/5)調 AAS
>>69 (1)
>>163
　0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
　この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？

(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
　　　 = 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,

　ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
　abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,

(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,

168(1): 2017/07/19(水) 09:58:00.35 ID:OXFuyCoZ(3/5)調 AAS
>>69 (1)
>>163
　3a = A, b+c-2a = x とおくと…

(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
　　　= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,

　ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
　abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
　　　≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,

(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,

>>167 と同じだが…

169: 2017/07/19(水) 10:37:49.14 ID:OXFuyCoZ(4/5)調 AAS
>>137

x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343　y=2.3855052397246037)
　3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根

170(2): 2017/07/19(水) 17:31:41.22 ID:3YGTFP1s(5/5)調 AAS
>>167
さんくす。今夜読んでみます。

Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?

171(1): 2017/07/19(水) 19:52:03.56 ID:OXFuyCoZ(5/5)調 AAS
>>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと

　B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2

コーシーより
　Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,

ゆえ
　(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。

n=3,5 の場合は
　{1/(n-1)}Σ[1≦i<j≦n] (xi-xj)^2 ≧ 0,

n=4 のとき
　(x1-x3)^2 + (x2-x4)^2 ≧ 0,

n=6 のとき
　(1/2){(y1-y2)^2 + (y2-y3)^2 + (y3-y1)^2} ≧ 0,
　ここに、y1=x1+x4、y2=x2+x5、y3=x3+x6
と思うけど…

172: 2017/07/20(木) 01:52:11.90 ID:Oabzsbx8(1/2)調 AAS
>>170

n=3（Nesbitt）の方はそれでおk ですね。ほかにも
　
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。

a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。

など種々ありますね。
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp

173: 2017/07/20(木) 02:37:10.34 ID:Oabzsbx8(2/2)調 AAS
ピコーン太郎が歌う…

I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.

I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.

mmmmmmmmmmmmmm

Picone identity

{1/u(x)^2}{u(x)[p1(x)u '(x) - p2(x)u(x)v'(x)/v(x)]} ' = {q2(x)-q1(x)} + {p1(x)-p2(x)}{u '(x)/u(x)}^2 + p2(x){u '(x)/u(x) - v '(x)/v(x)}^2,

174: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:08:31.62 ID:R+taoMN8(1/34)調 AAS
￥

175: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:08:49.75 ID:R+taoMN8(2/34)調 AAS
￥

176: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:09.70 ID:R+taoMN8(3/34)調 AAS
￥

177: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:31.05 ID:R+taoMN8(4/34)調 AAS
￥

178: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:09:50.50 ID:R+taoMN8(5/34)調 AAS
￥

179: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:08.11 ID:R+taoMN8(6/34)調 AAS
￥

180: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:25.58 ID:R+taoMN8(7/34)調 AAS
￥

181: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:10:45.60 ID:R+taoMN8(8/34)調 AAS
￥

182: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:11:06.14 ID:R+taoMN8(9/34)調 AAS
￥

183: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 07:11:26.14 ID:R+taoMN8(10/34)調 AAS
￥

184(4): 2017/07/20(木) 17:09:09.33 ID:27eqirM3(1/6)調 AAS
>>167-168
難しいです…。検索して別のを見つけたが、bを中央の項としたとき、
なぜ 4(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ca) ≦ (a+c)^2*(a+b+c)^2 となるのか分かりませぬ。
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com

さらに強い不等式が載っている。
a,b,c>0 のとき、108(a+b+c)^5 ≧ (ab+bc+ca)(3125(a^2b+b^2c+c^2a)-627abc)

>>171
n=6の式変形が神。
分かってて変形しないと出来そうにない。

185: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:16:33.16 ID:R+taoMN8(11/34)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

￥

186: 2017/07/20(木) 17:16:57.28 ID:27eqirM3(2/6)調 AA×
>>62-63

外部ﾘﾝｸ[html]:mathworld.wolfram.com

187: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:22:58.82 ID:R+taoMN8(12/34)調 AAS
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
　　～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～

佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。

隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？

（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ

中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。

近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。

■■■馬鹿板をスルと稲田朋美みたいな嘘吐きになります。そやし止めなさい。■■■

￥

188(1): 2017/07/20(木) 17:34:38.29 ID:27eqirM3(3/6)調 AA×
>>69

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189: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木) 17:41:27.43 ID:R+taoMN8(13/34)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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