不等式への招待第８章 [無断転載禁止]©2ch.net

350(1): 2017/08/01(火) 11:40:49.38 ID:MADJ3GR6(1/3)調 AAS
>>349

φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、

φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

上限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,

なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

下限は
　（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2,

351: 2017/08/01(火) 11:53:02.53 ID:MADJ3GR6(2/3)調 AAS
>>350 訂正

次の同値な2式を入れ替えてください。

φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,

φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,

ｽﾏｿ.

352(1): 2017/08/01(火) 14:40:16.98 ID:XEmVHg+K(1/2)調 AA×

353(2): 2017/08/01(火) 15:08:14.92 ID:MADJ3GR6(3/3)調 AAS
>>352
　(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
　(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
　-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。

354: 2017/08/01(火) 15:25:30.61 ID:XEmVHg+K(2/2)調 AAS
>>353
問題自体うろ覚えなので…。

355(1): 2017/08/02(水) 01:25:07.20 ID:RQb3zemz(1/5)調 AA×

356: 2017/08/02(水) 01:35:57.66 ID:iuzeTNl6(1/6)調 AAS
>>353

3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,

　等号成立は x=y のとき。

x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,

-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,

でも出ますが...

357: 2017/08/02(水) 01:47:54.48 ID:iuzeTNl6(2/6)調 AAS
>>355

√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|

△不等式　｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1

より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき）

358(1): 2017/08/02(水) 04:05:52.99 ID:RQb3zemz(2/5)調 AA×

359(2): 2017/08/02(水) 04:16:32.01 ID:RQb3zemz(3/5)調 AA×

360(1): 2017/08/02(水) 13:10:06.22 ID:iuzeTNl6(3/6)調 AAS
>>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.

x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
　=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
　≦ 3(1-A）・A　　　(←1変数）
　≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
　≦｛(3-2A)/2}^2

(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき

>>359
｛a^n，b^n，…，b^n｝の相加-相乗平均で
　a^n +（n-1)b^n ≧ na･b^(n-1),
　（a^n)/b^(n-1）≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。

361(1): 2017/08/02(水) 17:07:11.46 ID:RQb3zemz(4/5)調 AAS
>>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.

気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小

(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。

362(1): 2017/08/02(水) 17:46:27.58 ID:RQb3zemz(5/5)調 AA×

363(1): 2017/08/02(水) 21:09:22.85 ID:iuzeTNl6(4/6)調 AAS
>>338

sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)

　| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
　| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜

= 0,

を利用するか…？

364: 2017/08/02(水) 21:26:42.42 ID:iuzeTNl6(5/6)調 AAS
>>362

（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,

（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,

等号成立はそれぞれ、x=1、x=4.

365(2): 2017/08/02(水) 22:07:04.56 ID:iuzeTNl6(6/6)調 AAS
>>361

(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。

ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
　　n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
　　n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
　循環的にたすと
　　n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
　　{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
　（S_n - S_1)/n も単調増加。

*　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。

(2)　a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと…

366(1): 2017/08/03(木) 02:08:30.11 ID:HTpcwzgX(1/5)調 AAS
>>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)

これをRavi変換（a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)

これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。

ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|

この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。

ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか？

367(1): 2017/08/03(木) 02:24:17.48 ID:HTpcwzgX(2/5)調 AAS
>>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均

ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。

> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,

これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。

これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
　(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。

368: 2017/08/03(木) 04:10:34.96 ID:HTpcwzgX(3/5)調 AAS
>>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。

369: 2017/08/03(木) 10:53:04.22 ID:Dkz1wYp5(1/3)調 AAS
>>366

（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}

　｜(x-y)(x+y)，　-1，　1｜
= ｜　1，(y-z)/(y+z)， -1｜
　｜ -1，　1，(z-x)/(z+x)｜

= 0,

ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=

　｜a-b，c，-c ｜
= ｜-a，b-c，a ｜
　｜ b，-b，c-a｜

= 0,

でござるか…？

370(1): 2017/08/03(木) 12:33:10.33 ID:Tp76V4JM(1)調 AAS
(1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3

(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。

371(1): 2017/08/03(木) 15:54:13.04 ID:HTpcwzgX(4/5)調 AAS
コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。

三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0.

372: 2017/08/03(木) 19:23:58.55 ID:Dkz1wYp5(2/3)調 AA×
>>371

373(1): 2017/08/03(木) 19:38:29.84 ID:Dkz1wYp5(3/3)調 AAS
>>365　の続き

*　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
　それで（1）が明らかなワケではない。

相加-相乗平均
　n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。

374(1): 2017/08/03(木) 20:03:27.80 ID:HTpcwzgX(5/5)調 AAS
>>373
> *　(a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> 　それで（1）が明らかなワケではない。

巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？

375(2): 2017/08/04(金) 10:49:48.11 ID:1Od1zBAC(1)調 AAS
>>370
勘違いとかあったから訂正

(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3

(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3

(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。

376(1): 2017/08/04(金) 14:00:43.32 ID:EUBWZejf(1)調 AAS
>>2
> [3]　不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年

数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！

377: 2017/08/04(金) 19:07:55.26 ID:ajzxje+k(1/2)調 AAS
>>359
そのまま相加-相乗平均で
　(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
　S_(n+1）≧ S_1,

>>374 >>376
　そうですね。

378(1): 2017/08/04(金) 22:15:15.32 ID:ajzxje+k(2/2)調 AAS
>>338

｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.

｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,

あとは△不等式で。

379: 2017/08/05(土) 09:03:16.60 ID:Ulw6Zmyj(1/6)調 AAS
>>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。

380: 2017/08/05(土) 09:07:12.25 ID:Ulw6Zmyj(2/6)調 AAS
>>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。

>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。

381(3): 2017/08/05(土) 09:23:14.77 ID:Ulw6Zmyj(3/6)調 AAS
>>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3

(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0

382(1): 2017/08/05(土) 10:01:17.84 ID:v2fSy4wb(1/3)調 AAS
>>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない

383: 2017/08/05(土) 10:03:10.14 ID:v2fSy4wb(2/3)調 AAS
ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1)

384(1): 2017/08/05(土) 10:06:55.20 ID:Ulw6Zmyj(4/6)調 AAS
>>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c)

385: 2017/08/05(土) 10:15:05.87 ID:Ulw6Zmyj(5/6)調 AAS
>>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。

> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0

386: 2017/08/05(土) 11:17:13.28 ID:v2fSy4wb(3/3)調 AAS
>>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる

387: 2017/08/05(土) 14:47:07.90 ID:ACnIlB8L(1)調 AAS
>>381

｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3　　>>261

ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので…

388(11): 2017/08/05(土) 19:20:38.72 ID:Ulw6Zmyj(6/6)調 AAS
>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年より

(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0

a,b,cの大小関係いらないんじゃ？

(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2

⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2

a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？

(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)

aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…

(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π

[1992 東大(後)] >>2 [10] P.116
空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π

(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？

(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|

これは Hlawka's ineequality かな？

(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3

どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。

(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)

⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)

weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。

389(5): 2017/08/05(土) 22:22:51.97 ID:BdLSvd9B(1/2)調 AAS
別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので

平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0 (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)

出典：近大数コン2009-A4

390: 2017/08/05(土) 22:24:18.12 ID:BdLSvd9B(2/2)調 AAS
うっかり上げてしまった
ガハハ

391: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:03:17.52 ID:+CYdGQny(1/21)調 AAS
￥

392: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:03:37.50 ID:+CYdGQny(2/21)調 AAS
￥

393: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:03:57.17 ID:+CYdGQny(3/21)調 AAS
￥

394: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:04:15.55 ID:+CYdGQny(4/21)調 AAS
￥

395: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:04:34.48 ID:+CYdGQny(5/21)調 AAS
￥

396: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:04:54.19 ID:+CYdGQny(6/21)調 AAS
￥

397: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:05:14.68 ID:+CYdGQny(7/21)調 AAS
￥

398: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:05:33.25 ID:+CYdGQny(8/21)調 AAS
￥

399: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:05:52.81 ID:+CYdGQny(9/21)調 AAS
￥

400: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 00:06:14.31 ID:+CYdGQny(10/21)調 AAS
￥

401: 2017/08/06(日) 09:42:51.79 ID:toVHuNxr(1)調 AA×
>>388-389 >>0

402: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 10:15:43.68 ID:+CYdGQny(11/21)調 AAS
☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆

￥

403: 2017/08/06(日) 12:55:32.43 ID:pqWLs7wT(1)調 AAS
(1)
√(x+a) = A、√(x+b）= B、√(x+c）= C とおくと
(左辺）=（AA-BB)C +（BB-CC)A +（CC-AA)B =（A-B)(B-C)(C-A),
ﾔﾊﾟｰﾘ要る…

(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc）≧（2√2)(a+b)(c+c)(c+a）≧｛(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.

(3)
　a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2）とおく。
（左辺）=（ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
　　≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
　　＝ AB(A+B）+ BC(B+C）+ CA(C+A）+ F_1(A,B,C)　　← Schur(n=1)
　　≧ 2{(AB)^(3/2）+（BC)^(3/2）+（CA)^(3/2)}
　　＝ 2(ab+bc+ca),

404: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 14:59:24.36 ID:+CYdGQny(12/21)調 AAS
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405: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 14:59:42.73 ID:+CYdGQny(13/21)調 AAS
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406: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:00:00.45 ID:+CYdGQny(14/21)調 AAS
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407: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:00:19.27 ID:+CYdGQny(15/21)調 AAS
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409: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:00:51.55 ID:+CYdGQny(17/21)調 AAS
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410: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:01:08.73 ID:+CYdGQny(18/21)調 AAS
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411: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:01:25.24 ID:+CYdGQny(19/21)調 AAS
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412: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:01:43.36 ID:+CYdGQny(20/21)調 AAS
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413: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/06(日) 15:02:01.70 ID:+CYdGQny(21/21)調 AAS
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414(4): 2017/08/07(月) 14:18:42.38 ID:8+FZkWXB(1)調 AAS
[不等式スレ第７章 984] 出典「平成24年第1回東大入試プレ(文科)」

> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。

> （-1000/√3, 1000/√3）に一票

エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？

415(1): 2017/08/07(月) 22:48:29.46 ID:EtB15xZg(1)調 AAS
>>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する

d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる

416: 2017/08/08(火) 06:26:42.69 ID:0ekMhM3z(1)調 AAS
>>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
　↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
　↓
「東大入試プレ代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
外部ﾘﾝｸ[html]:www.yozemi.ac.jp
　↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
外部ﾘﾝｸ[html]:www.yozemi.ac.jp

その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。まさか見つかるとは思っても見なかった。

417(2): 2017/08/09(水) 08:03:24.35 ID:A2I5YGTu(1/10)調 AAS
いつもと違う出題形式。いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。

『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか？

(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3

(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab

(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2)

418(1): 2017/08/09(水) 09:43:16.84 ID:DWUU74oj(1/2)調 AAS
>>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない

(b)
条件 ab>=1 を加えればいい

419: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 10:29:08.78 ID:WvFggA1P(1/35)調 AAS
★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★

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420: 2017/08/09(水) 13:30:53.39 ID:A2I5YGTu(2/10)調 AAS
>>418
ありがとう。
脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。
結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。

421: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:48:05.47 ID:WvFggA1P(2/35)調 AAS
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422: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:48:22.08 ID:WvFggA1P(3/35)調 AAS
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423: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:48:38.98 ID:WvFggA1P(4/35)調 AAS
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424: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:48:55.28 ID:WvFggA1P(5/35)調 AAS
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425: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:49:12.16 ID:WvFggA1P(6/35)調 AAS
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426: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:49:27.85 ID:WvFggA1P(7/35)調 AAS
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427: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:49:44.64 ID:WvFggA1P(8/35)調 AAS
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428: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:50:02.44 ID:WvFggA1P(9/35)調 AAS
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429: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:50:20.30 ID:WvFggA1P(10/35)調 AAS
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430: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 13:50:36.92 ID:WvFggA1P(11/35)調 AAS
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431: 2017/08/09(水) 14:15:40.77 ID:A2I5YGTu(3/10)調 AAS
荒れまくリング… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！

432(2): 2017/08/09(水) 14:30:22.92 ID:vWdGLnQX(1/4)調 AAS
>>388
（3）平方和で表わした。

(左辺）-（右辺) =｛(abc)^2 -3GG +2｝+｛3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),

ここで、G =（abc)^(1/3)

(abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2,

(a+b+c）-3G =（a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3),

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}

(4) (i)

OB方向をz軸とし、
OAの天頂角を ∠AOB=α
OCの天頂角を ∠BOC=γ
とする。
cosβ = cos(∠COA) =（OC・OA）= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ　（φは方位角の差、0<φ<π）
∴ cos(α+γ）< cosβ < cos(α-γ),
∴ α+γ > β > |α-γ|

433: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 14:39:57.19 ID:WvFggA1P(12/35)調 AAS
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434: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/08/09(水) 14:40:12.01 ID:WvFggA1P(13/35)調 AAS
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