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989(1): 2020/07/11(土) 07:33:07 ID:ZnhtLn45(1/4)調 AAS
>>967
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
　a + b√2 + c√3 = 3.352882344113･･･×10^(-13)

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990(1): 2020/07/11(土) 08:16:17 ID:ZnhtLn45(2/4)調 AAS
〔Zsigmondy の定理〕に関連する問題

<<Problem 3>>
Prove that the sequences a_n = 3^n - 2^n contains no three numbers in geometric progression.
〔問題3〕
数列 a_n = 3^n - 2^n は等比数列となる3項を含まないことを示せ。
　(1994年 Romania 第1回TST)

<<Problem>>
Find all triplets of positive integers (a,m,n)
　such that (a^m)+1 divides (a+1)^n.
　　　　　　　　　　　　(IMO-2000 SLP）
〔問題〕
(a^m)+1 が (a+1)^n を割り切るような正の整数の3つ組(a,m,n)をすべて求めよ。
　(→ 和のZsigmondy の定理)

〔第2問〕
正の整数の組 (a,n,p,q,r) であって、等式
　a^n - 1 = (a^p - 1)(a^q - 1)(a^r - 1)
を満たすものをすべて求めよ。　(JMO-2011 本選)
　(→ 和のZsigmondyの定理)

外部ﾘﾝｸ:science-log.com数学/number-theory-の話題（zsigmondys-theorem）/

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993: 2020/07/11(土) 14:13:55 ID:ZnhtLn45(3/4)調 AAS
〔Question 4〕
Determine all x,y∈Z　such that
　1 + 2^x + 2^(2x+1) = y^2.
　　　　　　　　(IMO-2006, Q.4)

　(2^x){1+2^(x+1)} = (y+1)(y-1)　を使う。
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
05:52

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994: 2020/07/11(土) 14:15:56 ID:ZnhtLn45(4/4)調 AAS
1 + 2^x + 2^(2x) = y^2 - 2^(2x) = (y-2^x)(y+2^x),
を使うとどうなるか？

・xが偶数のとき
　t = 2^(x/2) >0　とおく。
　1 + t^2 + t^4 = (1+t+t^2)(1-t+t^2),
　y^2 - t^4 = (y+t^2)(y-t^2),
よって
　y + t^2 = 1+t+t^2,
　y - t^2 = 1-t+t^2,
辺々引いて
　0 = 2t(1-t),
∴　t=1,　x=0,　y=±2.

・xが4の倍数のとき
　t = 2^(x/4) >0　とおく。
　1 + t^4 + t^8 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2)(1+t+t^2),
　y^2 - t^8 = (y+t^4)(y-t^4),
よって
　y + t^4 = (1-t^2+t^4)(1-t+t^2),
　y - t^4 = 1+t+t^2,
辺々引いて
　0 = -2t - t^2 + t^3 - 2t^4 - t^5 + t^6
　　= -t(1+t)(2-t)(1+t^3)
∴　t=2,　x=4,　y=±23.

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