[過去ﾛｸﾞ] 代数的整数論 009 (1001ﾚｽ)
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629: 2008/03/19(水) 16:27:16 AAS
b
630(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 10:36:52 AAS
命題
E と F を位相アーベル群とする。
H を E から F への連続準同型写像からなる集合とする。
このとき次の条件は同値である。
(1) H は 0 で同程度連続(>>315)である。
(2) H は同程度連続(>>315)である。
(3) H は同程度一様連続(>>316)である。
証明
(3) ⇒ (2) ⇒ (1) は明らかであるから、
(1) ⇒ (3) を証明すればよい。
仮定から F の 0 の任意の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W が存在し、
x ∈ W, f ∈ H に対して f(x) ∈ V となる。
よって、x - y ∈ W のとき f(x - y) = f(x) - f(y) ∈ V となる。
よって、H は同程度一様連続である。
証明終
631(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:37:47 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E と F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が同程度連続(>>315)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p に対して sup { pf | f ∈ H } が
E の任意の連続な半ノルムであることが必要十分である。
証明
>>540より明らかである。
632(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 11:50:38 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の単純収束の位相(>>57)に関して有界(>>35)な部分集合を
L(E, F) の単純有界な部分集合と言う。
633(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:00:14 AAS
定義
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の部分集合 H が単純有界(>>632)であるためには
F の任意の連続な半ノルム p と任意の x ∈ E に対して
{ p(f(x)) | f ∈ H } が有界であることが必要十分である。
証明
>>15より F の 0 の近傍で樽となるもの全体は 0 の基本近傍系となる。
F の連続な半ノルム p に対して
V(p, 1) = { x ∈ F | p(x) ≦ 1 } とおく。
過去スレ008の520より V(p, 1) は樽である。
よって、>>19より V(p, 1) の全体は 0 の基本近傍系である。
F の連続な半ノルム p と E の有限部分集合 A に対して
W(A, p) = { f ∈ L(E, F) | x ∈ A のとき p(f(x)) ≦ 1 } とおく。
W(A, p) の全体は L(E, F) の単純収束に位相の 0 の基本近傍系である。
H が単純有界であるとは、FE の任意の連続な半ノルム p と
E の任意の有限部分集合 A に対して、ある λ ∈ K, λ ≠ 0 があり、
H ⊂ λW(A, p) となることである。
g ∈ λW(A, p) であることは
x ∈ A のとき p((1/λ)g(x)) ≦ 1 即ち p(g(x)) ≦ |λ| と同値である。
これから命題の主張は明らかである。
証明終
634(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 13:14:28 AAS
定理(一般化されたBanach-Steinhausの定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
L(E, F) の任意の単純有界(>>632)な部分集合 H は同程度連続である。
証明
F の任意の連続な半ノルム p に対して q = sup { pf | f ∈ H } とおく。
即ち、任意の x ∈ E に対して q(x) = sup { p(f(x)) | f ∈ H } である。
>>633 より、任意の x ∈ E に対して q(x) は有限である。
従って q は E の半ノルムである。
p は連続だから f ∈ H のとき pf は連続、従って下半連続
(過去スレ008の113)である。
過去スレ008の116より q も下半連続である。
>>623 より q は連続である。
>>631 より H は同程度連続である。
証明終
635(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:04:56 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
H が同程度連続(>>315)であるためには
sup{ |f| | f ∈ H } が有限であることが必要十分である。
ここで |f| は f のノルム(過去スレ006の690)である。
即ち |f| = sup { |f(x)| | x ∈ E, |x| ≦ 1 }
証明
過去スレ006の692 より
f ∈ H と実数 a ＞ 0 に対して |f| ≦ a となることと
x ∈ E のとき |f(x)| ≦ a|x| となることは同値である。
よって >>540 より本命題の主張が得られる。
証明終
636(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:31:17 AAS
命題(一様有界性定理(the uniform boundedness theorem))
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の Banach 空間(過去スレ008の550)とし、
F を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の部分集合とする。
任意の x ∈ E に対して sup{ |f(x)| | f ∈ H } が有限なら
sup{ |f| | f ∈ H } も有限である。
証明
>>633 より H は単純有界である。
>>620 より E は樽型空間である。
従って >>634 より H は同程度連続である。
>>635 より sup{ |f| | f ∈ H } は有限である。
証明終
637(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:48:05 AAS
>>636 の命題は Banach-Steinhaus の定理とも呼ばれる。
しかし、本スレではBourbakiに従ってこの呼び名は別の命題（後述）に使う。
>>636 の命題を共鳴定理と呼ぶ文献もある
(例えば K. Yosida の Functional analysis)。
この命題は Banach と Steinhaus による1927年の共著論文
Sur le principe de condensation des singularites で証明された。
この題名を翻訳するなら「特異性の凝集について」だろうか。
638: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/20(木) 14:49:27 AAS
>>637
>この題名を翻訳するなら「特異性の凝集について」だろうか。
この題名を翻訳するなら「特異性の凝集原理について」だろうか。
639(1): 2008/03/20(木) 15:39:26 AAS
おい
KUMMER サゲで書けよ
邪魔なんだよ、おまえ専用のスレが上がってくるのは
640: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 10:54:29 AAS
Boubaki は次の命題を Banach-Steinhaus の定理と呼んでいる。
命題(Banach-Steinhaus の定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の分離的局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
(f_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) の元からなる列とし、
f を E から F への写像とする。
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するとする。
このとき f ∈ L(E, F) であり、E の任意の全有界集合(過去スレ006の302)
で (f_n) は f に一様収束する。
--------------------------------------------------------
この命題において f ∈ L(E, F) であることは >>634 と >>625 よりわかる。
E の任意の全有界集合上で (f_n) が f に一様収束することを証明するため
全有界集合における一様収束に関して>>351の命題の類似(後述)が必要である。
そのための準備を述べる。
641(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 10:59:33 AAS
定義
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
Σ を X の全有界部分集合(過去スレ006の302)全体とする。
F(X, Y) の Σ-収束の一様構造(過去スレ007の150)を全有界収束の一様構造と
言い、これで定まる位相を全有界収束の位相という。
642(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 11:28:08 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f : X → Y を任意の一様連続写像とする。
一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
すなわち次の図式は可換である。
X → Y
| |
v v
X^→ Y
証明
過去スレ006の287を ψf : X → Y^ に適用すればよい。
643: 2008/03/22(土) 11:42:36 AAS
c
644(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 13:15:40 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
H を X から Y への一様連続写像全体のある部分集合とする。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。
H が同程度一様連続(>>316)であるたには H^ が同程度一様連続であることが
必要十分である。
証明
X の一様構造は X^ の一様構造のφによる逆像である(過去スレ006の278)。
同様に Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である。
H^ が同程度一様連続であるとする。
Y の任意の近縁 V に対して Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる
逆像である。
仮定より X^ の近縁 W^ があり (φ(x), φ(y)) ∈ W^ なら
任意の f ∈ H に対して (f^(φ(x)), f^(φ(y))) ∈ V^ となる。
これは (ψf(x), ψf(y)) ∈ V^ を意味する。
よって、(f(x), f(y)) ∈ V である。
W^ のφ×φによる逆像を W とすれば、
(x, y) ∈ W なら (φ(x), φ(y)) ∈ W^ である。
上記から (f(x), f(y)) ∈ V である。
即ち H は同程度一様連続である。
(続く)
645: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 13:16:39 AAS
>>644の続き。
逆に H が同程度一様連続であるとする。
Y^ の任意の閉近縁 V^ に対して V^ のψ×ψによる逆像を V とする。
仮定より X の近縁 W があり
(x, y) ∈ W, f ∈ H なら (f(x), f(y)) ∈ V である。
φ×φ(W) の閉包を W^ とする。
φ : X → φ(X) は全射で X の一様構造は φ(X) の一様構造の
φ×φによる逆像だから、φ×φ(W) は φ(X) の近縁である。
過去スレ006の291より W^ は X^ の近縁である。
φ×φ(W) の任意の元は (φ(x), φ(y)), (x, y) ∈ W と書ける。
このとき f ∈ H なら
(f^φ(x), f^φ(y)) = (ψf(x), ψf(y)) ∈ V^
f^ は連続で V^ は閉だから f^×f^(W^) ⊂ V^ となる。
即ち、H^ は同程度一様連続である。
証明終
646(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 14:37:47 AAS
命題
X と Y を一様空間(過去スレ006の194)とし、
F(X, Y) を X から Y への写像全体とする。
H を F(X, Y) の部分集合で同程度一様連続(>>316)とする。
D を X の稠密な部分集合とする。
このとき、H の上で全有界収束の一様構造(>>641)と
単純収束の一様構造(過去スレ007の154)と
D での単純収束の一様構造(過去スレ007の161)はすべて一致する。
証明
それぞれの一様収束の定義から、
全有界収束の一様構造は単純収束の一様構造より細かく、
単純収束収束の一様構造は D での単純収束の一様構造より細かい。
従って、H の上で D での単純収束の一様構造が全有界収束の一様構造
より細かいことを示せばよい。
すなわち、Y の近縁 V と X の全有界集合 A が与えられたとき
Y の近縁 W と D の有限集合 F があり、
f ∈ H, g ∈ H で任意の x ∈ F に対して (f(x), g(x)) ∈ W
のとき
任意の x ∈ A に対して (f(x), g(x)) ∈ V となることを示せばよい。
X^, Y^ をそれぞれ X, Y の分離完備化(過去スレ006の288)とする。
φ: X → X^
ψ: Y → Y^
をそれぞれ標準写像とする。
f ∈ H のとき>>642より一様連続写像 f^ : X^ → Y^ で
ψf = f^φ となるものが一意に存在する。
H^ = { f^ | f ∈ H } とおく。
Y の一様構造は Y^ の一様構造のψによる逆像である(過去スレ006の278)。
よって Y^ の近縁 V^ があり V は V^ のψ×ψによる逆像である。
(続く)
647: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 14:38:35 AAS
>>646の続き。
>>644 より H^ は同程度一様連続である。
φ(A) の閉包 φ(A)~ は分離かつ完備である。
>>457より φ(A)~ は A の分離完備化である。
過去スレ006の317より φ(A)~ はコンパクトである。
φ(D) は X^ で稠密である。
よって >>351 より Y^ の近縁 W^ と D の有限集合 F があり、
任意の x ∈ F に対して (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ W^ のとき
任意の x ∈ A に対して (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ V^ となる。
W を W^ のψ×ψによる逆像とする。
(f^(φ(x)), g^(φ(x))) = (ψf(x), ψg(x)) だから
(f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ W^ は (f(x), g(x)) ∈ W と同値である。
同様に (f^(φ(x)), g^(φ(x))) ∈ V^ は
(f(x), g(x)) ∈ V と同値である。
証明終
648: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/22(土) 15:04:00 AAS
命題(Banach-Steinhaus の定理)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の樽型空間(>>617))とし、F を K 上の分離的局所凸空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
(f_n), n = 1, 2, ... を L(E, F) の元からなる列とし、
f を E から F への写像とする。
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するとする。
このとき f ∈ L(E, F) であり、E の任意の全有界集合(過去スレ006の302)
で (f_n) は f に一様収束する。
証明
各点 x ∈ E で f_n(x) は f(x) に収束するから
F の任意の連続な半ノルム p に対して p(f_n(x)) は p(f(x)) に収束する。
従って { p(f_n(x)) | n = 1, 2, ... } は有界である。
>>633 より H = { f_n | n = 1, 2, ... } は単純有界である。
>>634 より H は同程度連続である。
>>625 より H~ も同程度連続で H~ ⊂ L(E, F) である。
f ∈ H~ だから f ∈ L(E, F) である。
>>630 より H~ は同程度一様連続である。
>>646 より H~ の上で全有界収束の一様構造と
単純収束の一様構造は一致する。
よって E の任意の全有界集合で (f_n) は f に一様収束する。
証明終
649: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 08:51:10 AAS
全有界収束について述べたので位相線形空間における全有界集合に
ついて述べる。
650: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:02:17 AAS
命題
X を一様空間とし A を X の全有界集合とする。
A の閉包 A~ も全有界である。
証明
V を X の閉近縁とする。
A = ∪{ B_i | i = 1, ..., n } となる。
ここで各 B_i は V 程度に小さい(過去スレ006の235) X の部分集合である。
(B_i)×(B_i) ⊂ V であり、V は閉集合だから
(B_i)~×(B_i)~ ⊂ V である。
A~ ⊂ ∪{ (B_i)~ | i = 1, ..., n } である。
X の閉近縁全体は X の基本近縁系である(過去スレ006の205)から
A~ は全有界である。
証明終
651(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:30:32 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
A_i, i = 1, 2, ..., n を E の準コンパクトな凸集合とする。
∪{ A_i | i = 1, 2, ..., n } の凸包(過去スレ008の431) B は
準コンパクトである。
証明
R を実数体とする。
Δ = { (t_1, ... , t_n) ∈ R^n | 各 t_i ≧ 0, t_1 + ... + t_n = 1 }
はコンパクトである。
従って Δ×(A_1)×...×(A_n) は準コンパクトである。
Δ×(A_1)×...×(A_n) から E への連続写像 f を
f(t_1, ... , t_n, x_1, ... , x_n) = (t_1)(x_1) + ... + (t_n)(x_n)
で定義する。
B = f(Δ×(A_1)×...×(A_n)) であるから B は準コンパクトである。
証明終
652: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 09:38:19 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の有限部分集合の凸包は準コンパクトである。
従って全有界である。
証明
E の１点からなる集合は準コンパクトな凸集合である。
よって >>651 より E の有限部分集合の凸包は準コンパクトである。
過去スレ006の313よりこれは全有界である。
証明終
653: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 10:16:41 AAS
>>494
>よって H はコンパクト収束の位相で C(X, Y) において相対コンパクト
>である。
これは飛躍があるので以下に補足する。
>>326 より H~ は同程度連続である。
>>351 より H~ の上でコンパクト収束の一様構造と単純収束の一様構造は
一致する。
よって H~ はコンパクト収束の位相でコンパクトである。
よって H はコンパクト収束の位相で相対コンパクトである。
654: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/23(日) 15:02:10 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F を K 上の位相線形空間とする。
L(E, F) を E から F への連続な線形写像全体とする。
H を L(E, F) の同程度連続(>>315)な部分集合する。
H は L(E, F) の有界収束の位相(>>57)で有界(>>35)である。
証明
V を F の 0 の近傍とし B を E の有界集合としたとき
U(B, V) = { f ∈ L(E, F) | f(B) ⊂ V } とおく。
B と V を動かしたとき U(B, V) の全体は L(E, F) の有界収束の位相の
0 の基本近傍系である。
H は同程度連続だから F の 0 の近傍 V に対して E の 0 の近傍 W で
H(W) ⊂ V となるものがある。
ここで H(W) = { f(x) | f ∈ H, x ∈ W } である。
B を E の有界集合としたとき K の元 λ≠ 0 で B ⊂ λW となるものがある。
(1/λ)B ⊂ W だから (1/λ)H(B) ⊂ H(W) ⊂ V
即ち (1/λ)H ⊂ U(B, V)
よって H ⊂ λU(B, V)
よって H は有界収束の位相で有界である。
証明終
655: 2008/03/24(月) 03:32:45 AAS
>>639
こぉんの、sage強要房が
>>250-251嫁や、専ブラ使って透明化する位の努力しろや
sage強要撲滅委員会 part30
2chｽﾚ:accuse
656: 2008/03/25(火) 03:38:49 AAS
d
657: 2008/03/26(水) 15:14:18 AAS
e
658: 2008/03/27(木) 15:01:59 AAS
f
659: 2008/03/28(金) 07:09:57 AAS
g
660: 2008/03/29(土) 12:17:12 AAS
h
661: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 01:35:15 AAS
過去スレ008の362で中断していた積分論に戻ることにする。
ただし、戻ると言っても必要になれば位相線形空間論に戻る。
即ち、積分論と位相線形空間論の間を自由に行き来する。
662(8): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 01:50:48 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
X から E への連続関数でコンパクトな台(過去スレ007の671)を
もつもの全体を K(X, E) と書く。
X の部分集合 A に対して
K(X, A, E) = { f ∈ K(X, E) | Supp(f) ⊂ A } と書く。
663(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 02:27:41 AAS
命題
X と Y を位相空間とする。
A と B を X の閉集合で X = A ∪ B とする。
f : X → Y を写像で f|A と f|B はそれぞれ連続とする。
このとき f は連続である。
証明
C を Y の任意の閉集合とする。
f^(-1)(C) ∩ A と f^(-1)(C) ∩ B は X の閉集合である。
よって f^(-1)(C) = (f^(-1)(C) ∩ A) ∪ (f^(-1)(C) ∩ B) も
X の閉集合である。
即ち f は連続である。
証明終
664(6): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 02:35:38 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
K(X, K, E) (>>662) は { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } と自然に同一視される。
ここで C(K, E) は X から E への連続写像全体である。
証明
S = { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } とおく。
f ∈ K(X, K, E) に f の K への制限 f|K ∈ C(K, E) を対応させる写像を
Φ とする。
Φ(f) = 0 なら f = 0 であるから Φ は単射である。
f ∈ K(X, K, E) なら { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は K に含まれる X の開集合
だから f(L) = 0 である。
即ち、Φ(f) ∈ S である。
逆に g ∈ S とする。
X から K への写像 f を x ∈ X - K のとき f(x) = 0
x ∈ X - K のとき f(x) = g(x) で定義する。
X - int(K) も K も X の閉集合であり、
f は X - int(K) で 0 であり、f|K は連続だから >>663 より
f は連続である。
よって f ∈ K(X, K, E) である。
即ち Φ は K(X, K, E) から S への全単射である。
証明終
665: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 03:26:31 AAS
>>25 の証明は E が分離的でないと間違いである。
よって次のように修正する。
666(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 03:28:10 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
>>664 より K(X, K, E) を { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } と同一視する。
C(K, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
証明
x ∈ K に対して C(K, E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続である。
E は分離的だから {0} は閉集合である。
従って T(x) = { f ∈ C(K, E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K, E) = ∩{T(x) | x ∈ L } は閉である。
証明終
667(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 04:15:31 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Frechet 空間(>>2) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は Frechet 空間である。
証明
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
E の位相は可算個の半ノルムの集合により定義される。
p_n, n = 1,2, ... を E の位相を定義する半ノルムの列とする。
f ∈ C(X, E) に対して
q_n(f) = sup{ p_n(f(x)) | x ∈ X }
とおく。
X はコンパクトだから q_n(f) は有限である。
明らかに q_n は C(X, E) の半ノルムである。
C(X, E) の位相は q_n, n = 1,2, ... で定義される。
E は分離的だから 過去スレ007の159より C(X, E) は分離的である。
過去スレ008の553とその複素数体への拡張(>>20)より
C(X, E) は距離付け可能である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Frechet 空間である。
証明終
668(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 04:39:16 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Banach 空間(過去スレ008の550) とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体である。
|f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) のノルムであり、
このノルムにより C(X, E) は Banach 空間となる。
このとき C(X, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
証明
X はコンパクトだから f ∈ C(X, E) のとき
sup{ |f(x)| | x ∈ X } は有限である。
よって |f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(X, E) の半ノルムである。
E はノルム空間だから |f| = 0 なら f = 0 である。
よって |f| はノルムである。
このノルムによる位相は C(X, E) の位相は一様収束の位相である。
E は完備だから過去スレ007の167より C(X, E) は完備である。
よって C(X, E) は Banach 空間である。
証明終
669: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 05:15:47 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Frechet 空間(>>2)とする。
K を X のコンパクト集合とする。
K(X, K, E) (>>662) は一様収束の位相(過去スレ007の150)で
Frechet 空間である。
証明
C(K, E) を K から E への連続写像全体とする。
>>667 より C(K, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(K, E) は Frechet 空間である。
>>666 より K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
よって K(X, K, E) は完備であるから Frechet 空間である。
証明終
670: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/30(日) 05:57:36 AAS
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の Banach 空間(過去スレ008の550) とする。
K を X のコンパクト集合とする。
|f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は K(X, K, E) (>>662) のノルムであり、
K(X, K, E) はこのノルムで Banach 空間となる。
のとき K(X, K, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
証明
C(K, E) を K から E への連続写像全体とする。
>>668 より |f| = sup{ |f(x)| | x ∈ X } は C(K, E) のノルムであり、
このノルムにより C(X, E) は Banach 空間となる。
このとき C(X, E) の位相は一様収束の位相(過去スレ007の150)である。
>>666 より K(X, K, E) は C(K, E) で閉である。
よって K(X, K, E) は完備であるから Banach 空間である。
証明終
671: 2008/03/30(日) 07:58:05 AAS
Kummer ◆g2BU0D6YN2
目障りなんだよ
サゲで書けよ
672(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/31(月) 01:59:39 AAS
>>667 の前に次の命題を述べたほうが良かった。
命題
X をコンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
C(X, E) を X から E への連続写像全体とする。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与えると
C(X, E) は局所凸空間である。
証明
過去スレ008の519およびそれを複素数体上に拡張した結果(>>20)から
E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される(過去スレ008の469)。
p ∈ Γ と f ∈ C(X, E) に対して
φ(p)(f) = sup{ p(f(x)) | x ∈ X } とおく。
p は連続であるから pf も連続である。
X はコンパクトだから φ(p)(f) は有限である。
明らかに φ(p) は C(X, E) の半ノルムである。
p ∈ Γ と ε ＞ 0 に対して
W(p, ε) = { x ∈ E | p(x) ≦ ε } とおく。
{ f ∈ C(X, E) | φ(p)(f) ≦ ε }
= { f ∈ C(X, E) | p(f(x)) ≦ ε, 任意の x ∈ X }
= { f ∈ C(X, E) | f(X) ⊂ W(p, ε) }
これから C(X, E) の位相は { φ(p) | p ∈ Γ } で定義される。
証明終
673: 2008/03/31(月) 02:07:59 AAS
このスレ全削除されたら、
こいつどういう反応するのかなあ
674: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/03/31(月) 02:08:00 AAS
訂正
>>664
>ここで C(K, E) は X から E への連続写像全体である。
ここで C(K, E) は K から E への連続写像全体である。
675: 2008/03/31(月) 21:09:31 AAS
i
676: 2008/04/02(水) 16:13:48 AAS
j
677(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/02(水) 22:10:50 AAS
命題
A を可換とは限らない環とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
E を A-加群とする。
(E_i), i ∈ I を E の A-部分加群の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
(E_i) と標準単射 E_i → E_j は帰納系(過去スレ008の578)である。
f_i: E_i → E を標準単射とする。
このとき E = ind.lim E_i (過去スレ008の578)である。
証明
帰納系 (E_i) から A-加群 F への射(過去スレ008の578) (g_i) が
あるとする。
E = ∪{ E_i | i ∈ I } であるから x ∈ E のとき x ∈ E_i となる
i がある。このとき g(x) = g_i(x) と定義する。
x ∈ E_j なら i ≦ k, j ≦ k となる k がある。
g_i(x) = g_k(x), g_j(x) = g_k(x) だから g_i(x) = g_j(x) である。
よって g(x) は x ∈ E_i となる i の取り方によらない。
明らかに g: E → F は A-加群としての射である。
g の定義より、各 i で g_i = g(f_i) である。
h: E → F を A-加群としての射とし、各 i で g_i = h(f_i) とする。
x ∈ E_i のとき h(x) = g_i(x) である。
よって g = h である。
以上から E = ind.lim E_i である。
証明終
678: 2008/04/04(金) 08:56:16 AAS
k
679: 2008/04/05(土) 06:54:31 AAS
Neukirch, Winberg, Schmidt no Hon kaEeeeeee~~~~~
680(5): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:13:43 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、標準単射 E_i → E_j は連続とする。
f_i : E_i → E を標準射とする。
>>677 より E = ind.lim E_i である。
従って、E に (E_i) と (f_i) で定まる局所凸な終位相(過去スレ008の574)を
入れたものは局所凸空間 (E_i) の帰納的極限(過去スレ008の591)である。
この位相を局所凸空間 (E_i) の位相の帰納的極限と言う。
681(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:28:23 AAS
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、i ≦ j のとき E_i の位相は E_j の部分空間
としての位相と一致するとする。
このとき局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限(>>680)を
局所凸空間 E_i の位相の狭義帰納的極限(strict inductive limit)と
言う。
E にこの位相をいれたものを (E_i) の狭義帰納的極限と言う。
682: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 21:41:49 AAS
>>680
>この位相を局所凸空間 (E_i) の位相の帰納的極限と言う。
この位相を局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限と言う。
683: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/05(土) 22:26:14 AAS
命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、標準単射 E_i → E_j は連続とする。
f_i : E_i → E を標準射とする。
E の位相として局所凸空間 E_i の位相の帰納的極限(>>680)をとる。
各 i ∈ I に対して V_i を E_i の 0 の平衡的な近傍とする。
∪{ V_i | i ∈ I } の凸包を Γ((V_i)) と書く。
Γ((V_i)) の全体は E の 0 の基本近傍系となる。
証明
各 i ∈ I に対して V_i を E_i の 0 の平衡的な近傍とする。
Γ((V_i)) は凸かつ平衡的である。
x を E の任意の元とする。
E = ∪{ E_i | i ∈ I } だから x ∈ E_i となる i ∈ I がある。
V_i は E_i の 0 の近傍だから E_i において吸収的である。
よって x ∈ α(V_i) となる α ∈ K がある。
よって Γ((V_i)) は E において吸収的である。
V_i ⊂ Γ((V_i)) ∩ E_i であるから Γ((V_i)) ∩ E_i は E_i の 0 の
近傍である。
E の位相の定義から Γ((V_i)) は E の 0 の近傍である。
他方 V を E の 0 の近傍で凸かつ平衡的なものとする。
V_i = V ∩ E_i は E_i の平衡的な近傍である。
V は凸だから V ⊃ Γ((V_i)) である。
証明終
684(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:14:33 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K を X のコンパクト集合とする。
L を K の境界とする。
即ち L = K - int(K) である。
ここで int(K) は K の内部である。
S = { f ∈ C(K, E) | f(L) = 0 } とおく。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
同様に、C(K, E) に一様収束の位相を与え、
S にはその部分位相を与える。
f ∈ K(X, K, E) に f の K への制限 f|K ∈ C(K, E) を対応させる写像を
Φ とする。
Φ は位相同型である。
証明
>>664 より Φ は全単射である。
V を E の任意の近傍とする。
f ∈ K(X, K, E) のとき、f(X) ⊂ V であることと
Φ(f)(K) ⊂ V であることは同値である。
よって Φ は位相同型である。
証明終
685(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 11:36:51 AAS
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
X のコンパクト集合 K に K(X, K, E) (>>662) を対応させる。
C(X, E) に一様収束の位相(過去スレ007の150)を与え、
K(X, K, E) にはその部分位相を与える。
>>672 と >>684 より K(X, K, E) は局所凸空間である。
K と L が X のコンパクト集合で K ⊂ L のときは
K(X, K, E) の位相は K(X, L, E) の位相の部分位相である。
明らかに K(X, E) は K(X, K, E) 全体の和集合である。
従って K(X, E) (>>662) に K(X, L, E) の位相の狭義帰納的極限(>>681)
を与えることが出来る。
今後特に断らない限り K(X, E) にはこの位相を入れることにする。
686: 2008/04/06(日) 16:24:53 AAS
l
687(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 16:34:30 AAS
命題
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
E の任意の全有界(過去スレ006の302)な部分集合は有界(>>35)である。
証明
A を E の全有界な部分集合とする。
V を E の 0 の任意の近傍とする。
過去スレ006の635より 0 の平衡的な近傍 W で W + W ⊂ V となるものが
存在する。
E の有限個の点 a_1, ... , a_n があり、
A ⊂ ∪{ a_i + V | i = 1, ... , n } となる。
W は吸収的だから各 a_i に対して λ_i ＞ 0 があり、
a_i ∈ λ_iV となる。
W は平衡的だから λ_i ≦ μ なら λ_iV ⊂ μV である。
従って各 λ_i ＞ 1 と仮定してよい。
λ = max{λ_i | i = 1, ... , n} とする。
各 a_i に対して a_i ∈ λW となる。
B = {a_1, ... , a_n} とおく。
(1/λ)B ⊂ W である。
A ⊂ B + W であるから
(1/λ)A ⊂ (1/λ)B + (1/λ)W ⊂ W + W ⊂ V
よって A は有界である。
証明終
688: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 16:43:41 AAS
>>687はBourbakiのEspaces Vectoriels Topologiques(1981)の
III,§1,No 2 の命題２である。
しかし、そこではEを局所凸空間と仮定している。
この仮定は>>687の証明からわかるように不要である。
689: 空しき人生 2008/04/06(日) 16:57:29 AA×
690: 2008/04/06(日) 16:58:49 AAS
ここは間違って立ってしまったスレッドなので
ここでは質問しないように。
質問は本スレで。
【sin】高校生のための数学質問スレPART175【cos】
2chｽﾚ:math
また間違えてここに書き込んでしまって、
本スレに改めて書き込んだ問題に関しては対応してあげましょう。
(本当はマルチになりますが、この場合は多めに見てあげてください。
解答者の皆さん、お願します。)
691: 上 2008/04/06(日) 17:07:13 AAS
公共性ゼロの掲示板にふさわしくない書き込みだな
692(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 17:08:56 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
K(X, E) (>>662) に一様収束の位相(過去スレ007の149)を入れると
K(X, E) は位相線形空間となる。
さらに E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。
証明
f ∈ K(X, E) とする。
K = Supp(f) とする。
f(X) = f(K) ∪ {0} は準コンパクトである。
過去スレ006の313より f(X) は全有界である。
>>687より f(X) は有界である。
>>49より K(X, E) 一様収束の位相で位相線形空間となる。
同じく >>49より E が局所凸なら K(X, E) も局所凸である。
証明終
693(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 17:48:36 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の局所凸空間とする。
K(X, E) (>>662) に >>685 の位相 Ω をいれる。
X の任意のコンパクト集合 K に対して K(X, K, E) (>>662) の
K(X, E) の部分空間としての位相は K(X, K, E) の一様収束の位相
(過去スレ007の150)と一致する。
証明
K(X, K, E) への K(X, E) の部分空間としての位相を Ω(K) とする。
K(X, E) の一様収束の位相を Ω_u とする。
K(X, K, E) の一様収束の位相を Ω_u(K) とする。
K(X, K, E) に Ω_u(K) を入れると、
標準単射 K(X, K, E) → K(X, E) は連続である。
よって Ω(K) ⊂ Ω_u(K) である。
一方、>>692 より Ω_u は局所凸である。
Ω_u の K(X, K, E) への制限は Ω_u(K) であるから
Ωが K(X, K, E) の帰納極限であることから Ω_u ⊂ Ω である。
これから Ω_u(K) ⊂ Ω(K) である。
よって、Ω(K) = Ω_u(K) である。
証明終
694: 2008/04/06(日) 17:51:04 AAS
ここは間違って立ってしまったスレッドなので
ここでは質問しないように。
質問は本スレで。
【sin】高校生のための数学質問スレPART175【cos】
2chｽﾚ:math
また間違えてここに書き込んでしまって、
本スレに改めて書き込んだ問題に関しては対応してあげましょう。
(本当はマルチになりますが、この場合は多めに見てあげてください。
解答者の皆さん、お願します。)
695: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 18:01:55 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離的な局所凸空間とする。
K(X, E) は分離的である。
証明
過去スレ007の159より K(X, E) の一様収束の位相は分離的である。
>>693の証明より K(X, E) の位相は一様収束の位相より細かいので
分離的である。
証明終
696(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 18:21:10 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離的な位相線形空間ととする。
K と L を X のコンパクト集合で K ⊂ L とする。
K(X, K, E) と K(X, L, E) にはそれぞれ一様収束の位相を与える。
このとき K(X, K, E) は K(X, L, E) の閉部分空間である。
証明
>>664 の証明と同様に
K(X, K, E) は { f ∈ K(X, L, E) | f(L - int(K)) = 0 } と同一視
される。
よって >>696 の証明と同様に K(X, K, E) は K(X, L, E) で閉である。
証明終
697(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 18:43:38 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離的な位相線形空間とする。
K(X, K, E) は K(X, E) の一様収束の位相に関して
K(X, E) の閉部分空間である。
証明
>>664 の証明と同様に
K(X, K, E) は { f ∈ K(X, E) | f(X - int(K)) = 0 } と同一視
される。
よって >>696 の証明と同様に K(X, K, E) は K(X, E) で閉である。
証明終
698: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 18:51:35 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離的な局所凸空間とする。
X の任意のコンパクト集合 K に対して K(X, K, E) (>>662) は
K(X, E) の閉部分空間である。
証明
>>697より一様収束の位相で K(X, K, E) は K(X, E) の閉集合である。
>>693 より K(X, E) の位相は一様収束の位相より細かい。
従って K(X, K, E) は K(X, E) の閉集合である。
証明終
699: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 19:27:24 AAS
>>664は E が分離的でないと間違いである。
700(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 20:09:29 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
K(X, C) の連続な線形形式を Radon 測度または複素 Radon 測度と言う。
701(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 20:11:43 AAS
>>700 を訂正する。
定義
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
K(X, C) の連続な線形形式を X 上の Radon 測度または複素 Radon 測度と言う。
702: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 20:28:16 AAS
>>701は過去スレ008の163の Radon 測度の定義と異なる。
しかも測度というのはある種の集合関数であるという定義が一般的で
あるので>>701の意味で Radon 測度という言葉を使うのは
抵抗がある。
しかし、K(X, C) の連続な線形形式の適当な名前が思い浮かばない。
Schwartzの超関数(distribution)に習って Radon 分布とでも呼べば
いいのかもしれないが一般的ではない。
従って、Schwartzに習って今後、Radon 測度とは >>701の意味とする。
703: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/06(日) 20:40:40 AAS
μを局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度としたとき、
f ∈ K(X, C) に対して μ(f) を <f, μ> または
∫f dμ または ∫f(x)dμ(x) と書く。
704: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 20:13:37 AAS
>>697の証明を修正する。
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を実数体または複素数体上の分離的な位相線形空間とする。
K(X, K, E) は K(X, E) の一様収束の位相に関して
K(X, E) の閉部分空間である。
証明
f ∈ K(X, K, E) とする。
E は分離的だから {0} は閉集合である。
よって { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は X の開集合である。
よって { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } ⊂ int(K) である。
よって f(X - int(K)) = 0 である。
他方、f ∈ K(X, E) で f(X - int(K)) = 0 とすれば、
Supp(f) ⊂ K である。
以上から
K(X, K, E) = { f ∈ K(X, E) | f(X - int(K)) = 0 } である。
x ∈ K に対して K(X, E) の元 f に f(x) ∈ E を対応させる写像は
K(X, E) の一様収束の位相に関して連続である。
E は分離的だから {0} は閉集合である。
従って T(x) = { f ∈ K(K, E) | f(x) = 0 } は閉である。
よって、K(X, K, E) = ∩{T(x) | x ∈ L } は閉である。
証明終
705(4): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 21:05:32 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
μ を K(X, C) (>>662) 上の線形形式とする。
μ が Radon 測度(>>701) であるためには
X の任意のコンパクト集合 K に対して K だけで決まる定数 M(K) ＞ 0 が
存在し、任意の f ∈ K(X, K, C) (>>662) に対して
|μ(f)| ≦ M(K)|f| となることが必要十分である。
ここで、|f| = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。
証明
K(X, C) の位相は局所凸空間 K(X, K, C) の帰納的極限(>>680)である。
従って、過去スレ008の561より μ が連続であるためには
X の任意のコンパクト集合 K に対して μ の K(X, K, C) への制限が
連続であることが必要十分である。
K(X, K, C) は |f| = sup{|f(x)|; x ∈ X} をノルムとするノルム空間
である。
>>537 において H = {μ} とすれば本命題の主張が得られる。
証明終
706: 2008/04/07(月) 21:25:26 AAS
m
707: 2008/04/07(月) 21:49:31 AAS
自分のノートに書けばいいじゃん？くんまーちゃん？
708(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 21:51:22 AAS
Radon 測度(>>701)の例
X を局所コンパクト空間とする。
a を X のある点とする。
K(X, C) の元 f に f(a) を対応させる写像を δ_a と書く。
X の任意のコンパクト集合 K に対して f ∈ K(X, K, C) なら
|δ_a(f)| ≦ |f| であるから δ_a は X 上の Radon 測度である。
δ_a を Dirac 測度という。
709: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 21:54:37 AAS
>>708
>|δ_a(f)| ≦ |f| であるから δ_a は X 上の Radon 測度である。
|δ_a(f)| ≦ |f| であるから >>705 より δ_a は X 上の Radon 測度である。
710(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 22:06:28 AAS
Radon 測度(>>701)の例２
R を実数体とする。
f ∈ K(R, C) に対して Supp(f) ⊂ [a, b] となる有限区間 [a, b] がある。
Riemann積分 ∫[a, b] f(x) dx は [a, b] の取り方によらない。
これを I(f) とおく。
|∫[a, b] f(x) dx| ≦ (b - a) |f| であるから f → I(f) は
R 上の Radon 測度である。
これを Lebesgue 測度と言う。
711(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/07(月) 23:02:41 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
X 上の Radon 測度全体を M(X, C) と書く。
即ち M(X, C) は K(X, C) の双対空間(>>65)である。
712(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 07:20:37 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
f を X から C への連続写像とする。
K(X, C) の元 g に対して fg は K(X, C) の元である。
g に fg を対応させる写像 ψ_g は連続である。
証明
g ∈ K(X, C) のとき Supp(fg) ⊂ Supp(g) だから fg ∈ K(X, C) である。
K を X の任意のコンパクト集合とする。
g ∈ K(X, K, C) に対して、M(K) = sup{f(x); x ∈ K} とする。
|fg| ≦ M(K)|g| であるから ψ_g の K(X, K, C) への制限は連続である。
K(X, C) の位相は局所凸空間 K(X, K, C) の帰納的極限(>>680)である。
従って、過去スレ008の561の(2)より ψ_g は連続である。
証明終
713(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 07:26:24 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
C を複素数体とする。
f を X から C への連続写像とする。
μを X 上の Radon 測度とする。
K(X, C) の元 g に対して μ(fg) を対応させる線形写像は >>712 より
連続である。したがって X 上の Radon 測度である。
この Radon 測度 を μ と f の積と言い、fμ と書く。
714: 2008/04/08(火) 12:26:31 AAS
n
715(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 20:43:55 AAS
例
R を実数体とする。
>>693 の証明より K(R, R) の位相は一様収束の位相より細かい。
これが真に細かいことを証明する。
各整数 n ≧ 1 に対して
K_n = [n + 1/3, n + 2/3], U_n = (n, n + 1) とおく。
過去スレ007の706を K_n ⊂ U_n に適用すると、
連続関数 g_n : R → [0, 1] で
K の上で 1 で Supp(g_n) ⊂ [n, n + 1]となるものが存在する。
f_n = (g_n)/n とおく。
|f_n| ≦ 1/n であるから n → ∞ のとき f_n は一様に 0 に収束する。
μを Lebesgue 測度(>>710)とする。
μ と R 上の連続関数 x → x^2 の積(>>713)をνとする。
もし、K(R, R) の位相が一様収束の位相と同じであれば、
n → ∞ のとき ν(f_n) → 0 となるはずである。
g ∈ K(R, R) のとき ν(g) = ∫[-∞, +∞] (x^2)g(x) dx である。
ν(f_n) ≧ ∫[n + 1/3, n + 2/3] x^2/n dx
この右辺 = [(n + 2/3)^3 - (n + 1/3)^3]/3n
= [n^3 + 2n^2 + 4n/3 + 4/9 - (n^3 + n^2 + n/3 + 1/9)]/3n
= (n^2 + n + 1/3)/3n
= (n + 1 + 1/3n)/3
よって n → ∞ のとき ν(f_n) → ∞ である。
以上から K(R, R) の位相は一様収束の位相より真に細かい。
716: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 20:55:51 AAS
>>715 の K(R, R) は K(R, C) の間違いである。
717(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 21:23:45 AAS
命題
μを Lebesgue 測度(>>710)とする。
f と g を R から C への連続写像とする。
f ≠ g なら fμ ≠ gμ である。
証明
fμ - gμ = (f - g)μ であるから f ≠ 0 のとき fμ ≠ 0 を示せばよい。
f を実部と虚部にわけて f = g + ih とする。
ここで g と h は実数値関数である。
fμ = gμ + ihμ である。
fμ = 0 なら p を任意の実数値関数としたとき、
gμ(p) + ihμ(p) = 0 である。
gμ(p) と hμ(p) は実数だから
gμ(p) = 0
hμ(p) = 0
である。
これから
gμ = 0
hμ = 0
となる。
よって f は初めから実数値関数と仮定してよい。
f ≠ 0 だから f(c) ≠ 0 となる c ∈ R がある。
ε を十分小さくとれば、|x - c| ≦ ε のとき f(x) ＞ 0 または f(x) ＜ 0
となる。
ψを K(R, C) の元で ψ(R) = [0, 1] で |x - c| ≦ ε のとき
ψ(x) = 1 となるものとする。
fμ(ψ) = ∫fψdμ ≠ 0 である。
よって、fμ ≠ 0 である。
証明終
718(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 21:28:22 AAS
>>717 から連続関数 R → C と Radon 測度 fμ を同一視出来る。
719: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/08(火) 21:35:01 AAS
>>718
>>717 から連続関数 f: R → C と Radon 測度 fμ を同一視出来る。
720: 2008/04/08(火) 22:45:50 AAS
o
721: 2008/04/09(水) 08:25:59 AAS
679 ：１３２人目の素数さん：2008/04/05(土) 06:54:31
Neukirch, Winberg, Schmidt no Hon kaEeeeeee~~~~~
680 ：Kummer ◆g2BU0D6YN2 ：2008/04/05(土) 21:13:43
定義
E を実数体または複素数体上の位相線形空間とする。
I を上向きの有向集合(過去スレ008の140)とする。
(E_i), i ∈ I を E の部分線形空間の族で
E = ∪{ E_i | i ∈ I }
i ≦ j のとき常に E_i ⊂ E_j となるものとする。
各 E_i は局所凸空間であり、標準単射 E_i → E_j は連続とする。
f_i : E_i → E を標準射とする。
>>677 より E = ind.lim E_i である。
従って、E に (E_i) と (f_i) で定まる局所凸な終位相(過去スレ008の574)を
入れたものは局所凸空間 (E_i) の帰納的極限(過去スレ008の591)である。
この位相を局所凸空間 (E_i) の位相の帰納的極限と言う。
722: 2008/04/09(水) 09:47:14 AAS
p
723: 2008/04/11(金) 00:09:42 AAS
q
724: 2008/04/11(金) 18:34:08 AAS
r
725(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 04:27:05 AAS
命題
X を局所コンパクト空間とする。
E を有限個の局所凸空間 E_i( 1 ≦ i ≦ n) の直積とする。
過去スレ008の558より E は局所凸である。
p_i: E → E_i を射影とする。
f に ((p_1)f, ... , (p_n)f) を対応させる写像 Ψ は
K(X, E) から ΠK(X, E_i) の上への同型写像である。
証明
各 i に対して K(X, E_i) は局所凸であるから
過去スレ008の558より ΠK(X, E_i) は局所凸である。
K を X のコンパクト集合とする。
各 i に対して V_i を E_i の 0 の近傍とする。
V = ΠV_i とおく。
W(K, V) = { f ∈ K(X, K, E) | f(X) ⊂ V } とおく。
各 i に対して W_i(K, V_i) = { g ∈ K(X, K, E_i) | g(X) ⊂ V_i } とおく。
Ψ(W(K, V)) ⊂ ΠW_i(K, V_i) である。
よって Ψ は K(X, K, E) から ΠK(X, K, E_i) への連続写像を引き起こす。
各 i に対して K(X, K, E_i) から K(X, E_i) への標準単射は連続であるから
ΠK(X, K, E_i) から ΠK(X, E_i) への標準単射は連続である。
よって、Ψ は K(X, K, E) から ΠK(X, E_i) への連続写像を引き起こす。
過去スレ008の561の(2)より Ψ は連続である。
(続く)
726(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 04:27:46 AAS
>>725 の続き。
次に Ψ が連続な逆写像をもつことを示す。
f_i ∈ K(X, E_i) に対して X から E への写像 g_i を
(p_i)g_i = f_i となり、i ≠ j のとき (p_j)g_i = 0 となるものとする。
明らかに g_i ∈ K(X, E) である。
f_i に g_i を対応させる写像を Φ_i とする。
(f_1, ... , f_n) ∈ ΠK(X, E_i) に
Φ_1(f_1) + ... + Φ_n(f_n) ∈ K(X, E) を対応させる写像を Φ とする。
Φ は Ψ の逆写像である。
各 j に対して V_j を E_j の 0 の近傍とする。
V = ΠV_j, 1 ≦ j ≦ n とおく。
K を X のコンパクト集合とする。
Φ_i(W_i(K, V_i)) ⊂ W(K, V) であるから Φ_i は
K(X, K, E_i) から K(X, K, E) への連続写像を引き起こす。
過去スレ008の561の(2)より Φ_i は連続である。
ΠK(X, E_i) から K(X, E_i) への写像を q_i とする。
Φ = (Φ_1)(q_1) + ... + (Φ_n)(q_n) であるから Φ は連続である。
証明終
727: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 05:55:25 AAS
X を局所コンパクト空間とする。
R を実数体とし C を複素数体とする。
C は R 上の線形空間として R×R に同型である。
従って、>>726 より
K(X, R)×K(X, R) の元 (f, g) に K(X, C) の元 f + ig を対応させる
写像は R 上の位相線形空間としての同型である。
L(K(X, R), C) を K(X, R) から C への連続な R-線形写像全体とする。
μ_0 ∈ L(K(X, R), C) に対して
μ(f + ig) = μ_0(f) + iμ_0(g) により μ を定義すると上記より
μ は連続である。よって μ ∈ M(X, C) (>>711) である。
μ_0 に μ を対応させる写像の逆写像は μ ∈ M(X, C) に
μ の K(X, R) への制限を対応させる写像である。
よって、μ と μ の K(X, R) への制限 μ_0 を同一視することが出来る。
728(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 06:34:14 AAS
C の元 z の実部を Re(z), 虚部を Im(z) と書く。
Re と Im は C から R への連続な R-線形写像である。
従って、μ ∈ L(K(X, R), C) に対して Reμ ∈ L(K(X, R), R),
Imμ ∈ L(K(X, R), R) である。
μ_1 = Reμ, μ_2 = Imμ とおけば、μ = μ_1 + iμ_2 である。
μ_1 - iμ_2 を μ の共役と言い μ~ と書く。
μ ∈ M(X, C) のときは μ と μ の K(X, R) への制限を同一視して
分解 μ = μ_1 + iμ_2 と μ の共役 μ~ を定義する。
μ_1 と μ_2 をそれぞれ μ の実部、虚部と言い、Re(μ), Im(μ) と書く。
μ = μ~ となるとき μ を実測度と言う。
μ ∈ M(X, C) が実測度であるためには μ(K(X, R)) ⊂ R となることが
必要十分である。
μ の実部、虚部は実測度である。
729(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 06:40:41 AAS
>>728
>μ = μ~ となるとき μ を実測度と言う。
μ = μ~ となるとき μ を実 Radon 測度と言う。
730(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 06:54:44 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
X 上の実 Radon 測度μは f ≧ 0 のとき常に μ(f) ≧ 0 となるとき
正値という。
731(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/12(土) 06:57:38 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
K(X, R) 上の（必ずしも連続とは限らない）線形形式 L は f ≧ 0 のとき
常に L(f) ≧ 0 となるとき正値という。
732: 2008/04/12(土) 07:49:57 AAS
ここは間違って立ってしまったスレッドなので
ここでは質問しないように。
質問は本スレで。
【sin】高校生のための数学質問スレPART175【cos】
2chｽﾚ:math
また間違えてここに書き込んでしまって、
本スレに改めて書き込んだ問題に関しては対応してあげましょう。
(本当はマルチになりますが、この場合は多めに見てあげてください。
解答者の皆さん、お願します。)
733: 2008/04/12(土) 14:16:10 AAS
s
734(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 13:10:31 AAS
命題
K(X, R) 上の正値線形形式 L は実 Radon 測度である。
証明
K を X の任意のコンパクト部分集合とする。
過去スレ007の717より、K のみによって決まる定数 M(K) ≧ 0 が存在し、
f ∈ K(X, K, R) のとき |L(f)| ≦ M(K) |f|_b となる。
ここで、|f|_b = sup{|f(x)|; x ∈ X} である。
よって >>705 より δ_a は X 上の Radon 測度である。
証明終
735: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 13:14:39 AAS
実Radon測度は正値Radon測度(>>730)の差として表せられる。
この証明のためにいくつか補題を述べる。
736: 2008/04/13(日) 13:23:08 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
737(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 13:38:03 AAS
定義
X を局所コンパクト空間とする。
K(X, R) 上の線形形式 L は K(X, R) の任意の元 f ≧ 0 に対して
{ L(g) | g ∈ K(X, R), 0 ≦ g ≦ f } が有界のとき相対有界と言う。
738: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 13:46:30 AAS
L を K(X, R) 上の正値線形形式(>>731)とする。
g ≦ f なら f - g ≧ 0 だから L(f - g) ≧ 0 である。
L(f - g) = L(f) - L(g) だから L(f) ≧ L(g) である。
即ち L は単調増加である。
739(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 13:53:07 AAS
命題
U と V を K(X, R) 上の正値線形形式(>>731)とする。
L = U - V は相対有界である。
証明
0 ≦ g ≦ f, f ∈ K(X, R), g ∈ K(X, R) のとき、
0 ≦ U(g) ≦ U(f)
0 ≦ V(g) ≦ V(f)
よって |U(g) - V(g)| ≦ U(g) + V(g) ≦ U(f) + V(f)
証明終
740(3): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/13(日) 14:24:00 AAS
補題
X を局所コンパクト空間とする。
K+(X, R) = { f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } とおく。
M を K+(X, R) から R への写像で次の条件を満たすとする。
(1) ｆ≧ 0 なら M(f) ≧ 0
(2) M(f + g) = M(f) + M(g)
このとき任意の実数 λ≧ 0 と f ≧ 0 に対して M(λf) = λM(f)
証明
(2) より任意の f ∈ K(X, R) と任意の整数 n ＞ 0 に対して
M(nf) = nM(f) となる。
よって nM((1/n)f) = M(f) となる。
よって M((1/n)f) = (1/n)M(f)
これから任意の整数 m ＞ 0 に対して
M((m/n)f) = (m/n)M(f)
即ち、任意の有理数 r ≧ 0 に対して
M(rf) = rM(f)
任意の実数 λ≧ 0 に対して r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f ふぇあるから
M(rf) ≦ M(λf) ≦ M(r'f)
よって
rM(f) ≦ M(λf) ≦ r'M(f)
r を下から λ に近づけると rM(f) → λM(f)
よって λM(f) ≦ M(λf)
r' を上から λ に近づけると r'M(f) → λM(f)
よって M(λf) ≦ λM(f)
よって M(λf) = λM(f)
証明終
741: 2008/04/13(日) 14:24:14 AAS
t
742: 2008/04/13(日) 18:12:14 AAS
ここは間違って立ってしまったスレッドなので
ここでは質問しないように。
質問は本スレで。
【sin】高校生のための数学質問スレPART175【cos】
2chｽﾚ:math
また間違えてここに書き込んでしまって、
本スレに改めて書き込んだ問題に関しては対応してあげましょう。
(本当はマルチになりますが、この場合は多めに見てあげてください。
解答者の皆さん、お願します。)
743: 2008/04/13(日) 22:56:03 AAS
Test
744: 2008/04/14(月) 07:38:32 AAS
u
745: Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/14(月) 07:46:08 AAS
>>740
>任意の実数 λ≧ 0 に対して r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
>rf ≦ λf ≦ r'f ふぇあるから
任意の実数 λ≧ 0 に対して 0 ≦ r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f であるから
746: 2008/04/14(月) 07:54:23 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
747: 2008/04/14(月) 07:54:55 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
748: 2008/04/14(月) 07:55:23 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
749: 2008/04/14(月) 07:55:44 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
750: 2008/04/14(月) 07:56:11 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
751: 2008/04/14(月) 07:57:18 AAS
Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
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Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
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Kummer
おまえ、邪魔
サゲにしろよ
そうじゃないと荒らしてやるぜ
752: 2008/04/14(月) 07:57:48 AAS
任意の実数 λ≧ 0 に対して 0 ≦ r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f であるから
任意の実数 λ≧ 0 に対して 0 ≦ r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f であるから
任意の実数 λ≧ 0 に対して 0 ≦ r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f であるから
任意の実数 λ≧ 0 に対して 0 ≦ r ≦ λ ≦ r' となる有理数をとる。
rf ≦ λf ≦ r'f であるから
753: 2008/04/14(月) 07:58:55 AAS
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754(1): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/14(月) 20:46:14 AAS
補題
X を局所コンパクト空間とする。
K+(X, R) = { f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } とおく。
K(X, R) = K+(X, R) - K+(X, R) である。
証明
f ∈ K(X, R) に対して sup{f, 0} ∈ K+(X, R), sup{-f, 0} ∈ K+(X, R)
である。
f(x) ≧ 0 のとき sup{f(x), 0} = f(x), sup{-f(x), 0} = 0
f(x) ≦ 0 のとき sup{f(x), 0} = 0, sup{-f(x), 0} = -f(x)
よって、f = sup{f, 0} - sup{-f, 0}
即ち K(X, R) = K+(X, R) - K+(X, R) である。
証明終
755(2): Kummer ◆g2BU0D6YN2 2008/04/14(月) 21:24:44 AAS
補題
X を局所コンパクト空間とする。
K+(X, R) = { f ∈ K(X, R) | f ≧ 0 } とおく。
M を K+(X, R) から R への写像で次の条件を満たすとする。
(1) ｆ≧ 0 なら M(f) ≧ 0
(2) M(f + g) = M(f) + M(g)
このとき M は K(X, R) 上の線形形式に一意に拡張される。
証明
>>754 より任意の f ∈ K(X, R) は
f = g - h, g ∈ K+(X, R), h ∈ K+(X, R) と書ける。
f = g' - h', g' ∈ K+(X, R), h' ∈ K+(X, R) のとき
g - h = g' - h' であるから g + h' = g' + h
よって M(g) + M(h') = M(g') + M(h)
よって M(g) - M(h) = M(g') - M(h')
よって L(f) = M(g) - M(h) は g, h の選び方によらない。
f_1 ∈ K(X, R), f_1 = g_1 - h_1, g_1 ∈ K+(X, R), h_1 ∈ K+(X, R)
f_2 ∈ K(X, R), f_2 = g_2 - h_2, g_2 ∈ K+(X, R), h_2 ∈ K+(X, R)
のとき
L(f_1 + f_2) = L(g_1 - h_1 + g_2 - h_2)
= M(g_1 + g_2) - M(h_1 + h_2) = M(g_1) - M(h_1) + M(g_2) - M(h_2)
= L(f_1) + L(f_2)
λ ≧ 0, f ∈ K(X, R), f = g - h, g ∈ K+(X, R), h ∈ K+(X, R)
のとき、>>740 より
L(λf) = M(λg) - M(λh) = λM(g) - λM(h) = λL(f)
L(-λf) = M(λh) - M(λg) = λM(h) - λM(g) = -λL(f)
以上から L はK(X, R) 上の線形形式である。
L の一意性は明らかである。
証明終
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