[過去ﾛｸﾞ] 1=0.999… その10.999… (1001ﾚｽ)
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617(13): 2006/01/15(日) 21:12:36 AAS
>>614
すみません、そのリンク先の証明で、
ちょっとわからない事があるのですが、
lim(x→無限){ (1 - (1/x))^x }
の展開式で、先に1 - (1/x)を1へ収束させていますが、
無限って、こういう操作を許していましたっけ？
これって、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }
という操作なのでは？
620(1): ogachan 2006/01/15(日) 21:36:19 AAS
>>617
数値で表しているだけで収束はさせてませんよ。
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } } を数値的に表すると、
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
となりますよ。
623(2): 617 2006/01/15(日) 21:51:52 AAS
>>620
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
は問題なく理解できます
しかし、1=0.999…という置き換えはつまり、
(0.999…→1)(0.999…→1)(0.999…→1)…
という無限の展開式のうち、
括弧の内部のみを解決した事になるのではないのでしょうか？
628(1): 617 2006/01/15(日) 22:45:41 AAS
>>625
>>623で書いた、
> 括弧の内部のみを解決した事になるのではないのでしょうか？
とは、まさしく
lim(1-(1/x))^x)
ではなく、
lim(y→無限){ lim(x→無限){ (1 - (1/x))^y } }
ではないか？という事です。
629(1): 617 2006/01/15(日) 23:05:21 AAS
もう少し言うと、
lim(1-(1/x))^x
の極限値を考える場合、
x回累乗を行う値もxによって変化するので、
収束の様子について、述べなければなりません
つまり、
lim(1-(1/x))^x
を
(1)(1)(1)…
として極限値を求めるのではなく、
xを具体的な実数値から初めて、次第に増加させた時の値について、
その変化の様子を具体的な式を用いて示さなければ、
それは極限値ではないと思います
635: 617 2006/01/15(日) 23:47:18 AAS
>>632
では、なぜ
lim(1-(1/x))^x =
636: 617 2006/01/15(日) 23:47:59 AAS
すみません、↑は間違えました、ちょっと待ってください
637: 617 2006/01/15(日) 23:52:49 AAS
>>632
証明で定義されている記号を、
仮に「?=」と表させて頂きます
では、
> lim(1-(1/x))^x ?= (0.999…)(0.999…)(0.999…)…
> → 1/e
の部分ですが、
この1/eはどのように求められたのでしょうか？
これが示されれば、次の行が理解できそうです。
638: 617 2006/01/16(月) 00:02:00 AAS
lim(1-(1/x))^x = 1/e
である事を証明する定理や定義、公理を用いると、
どうしても
1=0.999…
になってしまうのですが？
どうやら私とは数学記号の用い方が違ってらっしゃるようですので、
もしかしたら、私の方に勘違いがあるのかもしれませんが…
639(1): 617 2006/01/16(月) 00:22:28 AAS
そうですね…
数学記号の用い方については、他にも、
> x→無限のとき 1 - (1/x) ?= 0.999… → 1
から、次のページで
> ここで、1=0.999… とすると、
のようにされてらっしゃる部分も、よくわかりません
640: 617 2006/01/16(月) 00:31:55 AAS
やはり、私がまだ「?=」の定義について、
よくわかっていないのかもしれません。
ですので、そのまま続けるのは、ogachanさんに失礼ですね。
もう少し、よく考えてみます。
642(1): 617 2006/01/16(月) 09:25:20 AAS
>>641
なるほど！
よくわかりました.。
という事は、この証明を仮に命題で表すとすると、
「?=」を述語とし、
P ≡ 1≠0.999…である
という命題定数を定めると、
?=( P )は真
でよいですか？
661: 617 2006/01/21(土) 09:35:57 AAS
デデキントカットまで行って欲しかった
極限に関わる公理と定理はガチガチの論理展開なので、
不用意には入れない気がするよ
662: 617 2006/01/21(土) 09:44:02 AAS
というのが感想だけど、新しいのが出てるな
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